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youngyangyang04
@ -251,8 +251,8 @@
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4. [回溯算法：求组合总和！](./problems/0216.组合总和III.md)
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5. [回溯算法：电话号码的字母组合](./problems/0017.电话号码的字母组合.md)
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6. [本周小结！（回溯算法系列一）](./problems/周总结/20201030回溯周末总结.md)
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7. [回溯算法：求组合总和（二）](https://mp.weixin.qq.com/s/FLg8G6EjVcxBjwCbzpACPw)
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8. [回溯算法：求组合总和（三）](https://mp.weixin.qq.com/s/_1zPYk70NvHsdY8UWVGXmQ)
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7. [回溯算法：求组合总和（二）](./problems/0039.组合总和.md)
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8. [回溯算法：求组合总和（三）](./problems/0040.组合总和II.md)
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9. [回溯算法：分割回文串](https://mp.weixin.qq.com/s/Pb1epUTbU8fHIht-g_MS5Q)
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10. [回溯算法：复原IP地址](https://mp.weixin.qq.com/s/v--VmA8tp9vs4bXCqHhBuA)
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11. [回溯算法：求子集问题！](https://mp.weixin.qq.com/s/NNRzX-vJ_pjK4qxohd_LtA)
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236
problems/0039.组合总和.md
Normal file
236
problems/0039.组合总和.md
Normal file
@ -0,0 +1,236 @@
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<p align="center">
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<a href="https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ"><img src="https://img.shields.io/badge/知识星球-代码随想录-blue" alt=""></a>
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<a href="https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw"><img src="https://img.shields.io/badge/刷题-微信群-green" alt=""></a>
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<a href="https://img-blog.csdnimg.cn/20201210231711160.png"><img src="https://img.shields.io/badge/公众号-代码随想录-brightgreen" alt=""></a>
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<a href="https://space.bilibili.com/525438321"><img src="https://img.shields.io/badge/B站-代码随想录-orange" alt=""></a>
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</p>
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## 39. 组合总和
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题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum/
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给定一个无重复元素的数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。
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candidates 中的数字可以无限制重复被选取。
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说明：
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* 所有数字（包括 target）都是正整数。
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* 解集不能包含重复的组合。
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示例 1：
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输入：candidates = [2,3,6,7], target = 7,
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所求解集为：
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[
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[7],
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[2,2,3]
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]
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示例 2：
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输入：candidates = [2,3,5], target = 8,
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所求解集为：
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[
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[2,2,2,2],
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[2,3,3],
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[3,5]
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]
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## 思路
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[B站视频讲解-组合总和](https://www.bilibili.com/video/BV1KT4y1M7HJ)
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题目中的**无限制重复被选取，吓得我赶紧想想 出现0 可咋办**，然后看到下面提示：1 <= candidates[i] <= 200，我就放心了。
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本题和[回溯算法：求组合问题！](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ)，[回溯算法：求组合总和！](https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w)和区别是：本题没有数量要求，可以无限重复，但是有总和的限制，所以间接的也是有个数的限制。
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本题搜索的过程抽象成树形结构如下：
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注意图中叶子节点的返回条件，因为本题没有组合数量要求，仅仅是总和的限制，所以递归没有层数的限制，只要选取的元素总和超过target，就返回！
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而在[回溯算法：求组合问题！](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ)和[回溯算法：求组合总和！](https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w) 中都可以知道要递归K层，因为要取k个元素的组合。
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## 回溯三部曲
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* 递归函数参数
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这里依然是定义两个全局变量，二维数组result存放结果集，数组path存放符合条件的结果。（这两个变量可以作为函数参数传入）
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首先是题目中给出的参数，集合candidates, 和目标值target。
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此外我还定义了int型的sum变量来统计单一结果path里的总和，其实这个sum也可以不用，用target做相应的减法就可以了，最后如何target==0就说明找到符合的结果了，但为了代码逻辑清晰，我依然用了sum。
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||||
**本题还需要startIndex来控制for循环的起始位置，对于组合问题，什么时候需要startIndex呢？**
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我举过例子，如果是一个集合来求组合的话，就需要startIndex，例如：[回溯算法：求组合问题！](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ)，[回溯算法：求组合总和！](https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w)。
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||||
如果是多个集合取组合，各个集合之间相互不影响，那么就不用startIndex，例如：[回溯算法：电话号码的字母组合](https://mp.weixin.qq.com/s/e2ua2cmkE_vpYjM3j6HY0A)
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||||
**注意以上我只是说求组合的情况，如果是排列问题，又是另一套分析的套路，后面我再讲解排列的时候就重点介绍**。
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代码如下：
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```C++
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vector<vector<int>> result;
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vector<int> path;
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||||
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex)
|
||||
```
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* 递归终止条件
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在如下树形结构中：
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从叶子节点可以清晰看到，终止只有两种情况，sum大于target和sum等于target。
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sum等于target的时候，需要收集结果，代码如下：
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```C++
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if (sum > target) {
|
||||
return;
|
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}
|
||||
if (sum == target) {
|
||||
result.push_back(path);
|
||||
return;
|
||||
}
|
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```
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* 单层搜索的逻辑
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单层for循环依然是从startIndex开始，搜索candidates集合。
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||||
**注意本题和[回溯算法：求组合问题！](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ)、[回溯算法：求组合总和！](https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w)的一个区别是：本题元素为可重复选取的**。
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||||
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如何重复选取呢，看代码，注释部分：
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||||
```C++
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||||
for (int i = startIndex; i < candidates.size(); i++) {
|
||||
sum += candidates[i];
|
||||
path.push_back(candidates[i]);
|
||||
backtracking(candidates, target, sum, i); // 关键点:不用i+1了，表示可以重复读取当前的数
|
||||
sum -= candidates[i]; // 回溯
|
||||
path.pop_back(); // 回溯
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
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||||
按照[关于回溯算法，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/gjSgJbNbd1eAA5WkA-HeWw)中给出的模板，不难写出如下C++完整代码：
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||||
|
||||
```C++
|
||||
// 版本一
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||||
class Solution {
|
||||
private:
|
||||
vector<vector<int>> result;
|
||||
vector<int> path;
|
||||
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
|
||||
if (sum > target) {
|
||||
return;
|
||||
}
|
||||
if (sum == target) {
|
||||
result.push_back(path);
|
||||
return;
|
||||
}
|
||||
|
||||
for (int i = startIndex; i < candidates.size(); i++) {
|
||||
sum += candidates[i];
|
||||
path.push_back(candidates[i]);
|
||||
backtracking(candidates, target, sum, i); // 不用i+1了，表示可以重复读取当前的数
|
||||
sum -= candidates[i];
|
||||
path.pop_back();
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
public:
|
||||
vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
|
||||
result.clear();
|
||||
path.clear();
|
||||
backtracking(candidates, target, 0, 0);
|
||||
return result;
|
||||
}
|
||||
};
|
||||
```
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||||
## 剪枝优化
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在这个树形结构中：
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以及上面的版本一的代码大家可以看到，对于sum已经大于target的情况，其实是依然进入了下一层递归，只是下一层递归结束判断的时候，会判断sum > target的话就返回。
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其实如果已经知道下一层的sum会大于target，就没有必要进入下一层递归了。
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那么可以在for循环的搜索范围上做做文章了。
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||||
**对总集合排序之后，如果下一层的sum（就是本层的 sum + candidates[i]）已经大于target，就可以结束本轮for循环的遍历**。
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如图：
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for循环剪枝代码如下：
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```
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for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++)
|
||||
```
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整体代码如下：（注意注释的部分）
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```C++
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||||
class Solution {
|
||||
private:
|
||||
vector<vector<int>> result;
|
||||
vector<int> path;
|
||||
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
|
||||
if (sum == target) {
|
||||
result.push_back(path);
|
||||
return;
|
||||
}
|
||||
|
||||
// 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
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for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
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||||
sum += candidates[i];
|
||||
path.push_back(candidates[i]);
|
||||
backtracking(candidates, target, sum, i);
|
||||
sum -= candidates[i];
|
||||
path.pop_back();
|
||||
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
public:
|
||||
vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
|
||||
result.clear();
|
||||
path.clear();
|
||||
sort(candidates.begin(), candidates.end()); // 需要排序
|
||||
backtracking(candidates, target, 0, 0);
|
||||
return result;
|
||||
}
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||||
};
|
||||
```
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||||
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## 总结
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本题和我们之前讲过的[回溯算法：求组合问题！](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ)、[回溯算法：求组合总和！](https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w)有两点不同：
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* 组合没有数量要求
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* 元素可无限重复选取
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针对这两个问题，我都做了详细的分析。
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||||
并且给出了对于组合问题，什么时候用startIndex，什么时候不用，并用[回溯算法：电话号码的字母组合](https://mp.weixin.qq.com/s/e2ua2cmkE_vpYjM3j6HY0A)做了对比。
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||||
最后还给出了本题的剪枝优化，这个优化如果是初学者的话并不容易想到。
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|
||||
**在求和问题中，排序之后加剪枝是常见的套路！**
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||||
可以看出我写的文章都会大量引用之前的文章，就是要不断作对比，分析其差异，然后给出代码解决的方法，这样才能彻底理解题目的本质与难点。
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------------------------
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||||
* 微信：[程序员Carl](https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw)
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||||
* B站：[代码随想录](https://space.bilibili.com/525438321)
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||||
* 知识星球：[代码随想录](https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ)
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||||
256
problems/0040.组合总和II.md
Normal file
256
problems/0040.组合总和II.md
Normal file
@ -0,0 +1,256 @@
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<p align="center">
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<a href="https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ"><img src="https://img.shields.io/badge/知识星球-代码随想录-blue" alt=""></a>
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<a href="https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw"><img src="https://img.shields.io/badge/刷题-微信群-green" alt=""></a>
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<a href="https://img-blog.csdnimg.cn/20201210231711160.png"><img src="https://img.shields.io/badge/公众号-代码随想录-brightgreen" alt=""></a>
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<a href="https://space.bilibili.com/525438321"><img src="https://img.shields.io/badge/B站-代码随想录-orange" alt=""></a>
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||||
</p>
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||||
> 这篇可以说是全网把组合问题如何去重，讲的最清晰的了！
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## 40.组合总和II
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题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum-ii/
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给定一个数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。
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||||
|
||||
candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。
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|
||||
说明：
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所有数字（包括目标数）都是正整数。
|
||||
解集不能包含重复的组合。
|
||||
|
||||
示例 1:
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||||
输入: candidates = [10,1,2,7,6,1,5], target = 8,
|
||||
所求解集为:
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[
|
||||
[1, 7],
|
||||
[1, 2, 5],
|
||||
[2, 6],
|
||||
[1, 1, 6]
|
||||
]
|
||||
|
||||
示例 2:
|
||||
输入: candidates = [2,5,2,1,2], target = 5,
|
||||
所求解集为:
|
||||
[
|
||||
[1,2,2],
|
||||
[5]
|
||||
]
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## 思路
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这道题目和[39.组合总和](https://mp.weixin.qq.com/s/FLg8G6EjVcxBjwCbzpACPw)如下区别：
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1. 本题candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。
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||||
2. 本题数组candidates的元素是有重复的，而[39.组合总和](https://mp.weixin.qq.com/s/FLg8G6EjVcxBjwCbzpACPw)是无重复元素的数组candidates
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||||
|
||||
最后本题和[39.组合总和](https://mp.weixin.qq.com/s/FLg8G6EjVcxBjwCbzpACPw)要求一样，解集不能包含重复的组合。
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||||
|
||||
**本题的难点在于区别2中：集合（数组candidates）有重复元素，但还不能有重复的组合**。
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|
||||
一些同学可能想了：我把所有组合求出来，再用set或者map去重，这么做很容易超时！
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||||
所以要在搜索的过程中就去掉重复组合。
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||||
很多同学在去重的问题上想不明白，其实很多题解也没有讲清楚，反正代码是能过的，感觉是那么回事，稀里糊涂的先把题目过了。
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||||
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||||
这个去重为什么很难理解呢，**所谓去重，其实就是使用过的元素不能重复选取。** 这么一说好像很简单！
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||||
|
||||
都知道组合问题可以抽象为树形结构，那么“使用过”在这个树形结构上是有两个维度的，一个维度是同一树枝上使用过，一个维度是同一树层上使用过。**没有理解这两个层面上的“使用过” 是造成大家没有彻底理解去重的根本原因。**
|
||||
|
||||
那么问题来了，我们是要同一树层上使用过，还是统一树枝上使用过呢？
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||||
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||||
回看一下题目，元素在同一个组合内是可以重复的，怎么重复都没事，但两个组合不能相同。
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||||
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||||
|
||||
**所以我们要去重的是同一树层上的“使用过”，同一树枝上的都是一个组合里的元素，不用去重**。
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||||
为了理解去重我们来举一个例子，candidates = [1, 1, 2], target = 3，（方便起见candidates已经排序了）
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|
||||
**强调一下，树层去重的话，需要对数组排序！**
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选择过程树形结构如图所示：
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可以看到图中，每个节点相对于 [39.组合总和](https://mp.weixin.qq.com/s/FLg8G6EjVcxBjwCbzpACPw)我多加了used数组，这个used数组下面会重点介绍。
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||||
## 回溯三部曲
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||||
* **递归函数参数**
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||||
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||||
与[39.组合总和](https://mp.weixin.qq.com/s/FLg8G6EjVcxBjwCbzpACPw)套路相同，此题还需要加一个bool型数组used，用来记录同一树枝上的元素是否使用过。
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||||
|
||||
这个集合去重的重任就是used来完成的。
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||||
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||||
代码如下：
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||||
```C++
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||||
vector<vector<int>> result; // 存放组合集合
|
||||
vector<int> path; // 符合条件的组合
|
||||
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex, vector<bool>& used) {
|
||||
```
|
||||
|
||||
* **递归终止条件**
|
||||
|
||||
与[39.组合总和](https://mp.weixin.qq.com/s/FLg8G6EjVcxBjwCbzpACPw)相同，终止条件为 `sum > target` 和 `sum == target`。
|
||||
|
||||
代码如下：
|
||||
|
||||
```C++
|
||||
if (sum > target) { // 这个条件其实可以省略
|
||||
return;
|
||||
}
|
||||
if (sum == target) {
|
||||
result.push_back(path);
|
||||
return;
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
`sum > target` 这个条件其实可以省略，因为和在递归单层遍历的时候，会有剪枝的操作，下面会介绍到。
|
||||
|
||||
* **单层搜索的逻辑**
|
||||
|
||||
这里与[39.组合总和](https://mp.weixin.qq.com/s/FLg8G6EjVcxBjwCbzpACPw)最大的不同就是要去重了。
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||||
|
||||
前面我们提到：要去重的是“同一树层上的使用过”，如果判断同一树层上元素（相同的元素）是否使用过了呢。
|
||||
|
||||
**如果`candidates[i] == candidates[i - 1]` 并且 `used[i - 1] == false`，就说明：前一个树枝，使用了candidates[i - 1]，也就是说同一树层使用过candidates[i - 1]**。
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||||
|
||||
此时for循环里就应该做continue的操作。
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||||
这块比较抽象，如图：
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||||
我在图中将used的变化用橘黄色标注上，可以看出在candidates[i] == candidates[i - 1]相同的情况下：
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||||
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||||
* used[i - 1] == true，说明同一树支candidates[i - 1]使用过
|
||||
* used[i - 1] == false，说明同一树层candidates[i - 1]使用过
|
||||
|
||||
**这块去重的逻辑很抽象，网上搜的题解基本没有能讲清楚的，如果大家之前思考过这个问题或者刷过这道题目，看到这里一定会感觉通透了很多！**
|
||||
|
||||
那么单层搜索的逻辑代码如下：
|
||||
|
||||
```C++
|
||||
for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
|
||||
// used[i - 1] == true，说明同一树支candidates[i - 1]使用过
|
||||
// used[i - 1] == false，说明同一树层candidates[i - 1]使用过
|
||||
// 要对同一树层使用过的元素进行跳过
|
||||
if (i > 0 && candidates[i] == candidates[i - 1] && used[i - 1] == false) {
|
||||
continue;
|
||||
}
|
||||
sum += candidates[i];
|
||||
path.push_back(candidates[i]);
|
||||
used[i] = true;
|
||||
backtracking(candidates, target, sum, i + 1, used); // 和39.组合总和的区别1：这里是i+1，每个数字在每个组合中只能使用一次
|
||||
used[i] = false;
|
||||
sum -= candidates[i];
|
||||
path.pop_back();
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
**注意sum + candidates[i] <= target为剪枝操作，在[39.组合总和](https://mp.weixin.qq.com/s/FLg8G6EjVcxBjwCbzpACPw)有讲解过！**
|
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## C++代码
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回溯三部曲分析完了，整体C++代码如下：
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```C++
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class Solution {
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private:
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vector<vector<int>> result;
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vector<int> path;
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void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex, vector<bool>& used) {
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if (sum == target) {
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result.push_back(path);
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return;
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}
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for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
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// used[i - 1] == true，说明同一树支candidates[i - 1]使用过
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// used[i - 1] == false，说明同一树层candidates[i - 1]使用过
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// 要对同一树层使用过的元素进行跳过
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if (i > 0 && candidates[i] == candidates[i - 1] && used[i - 1] == false) {
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continue;
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}
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sum += candidates[i];
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path.push_back(candidates[i]);
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used[i] = true;
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backtracking(candidates, target, sum, i + 1, used); // 和39.组合总和的区别1，这里是i+1，每个数字在每个组合中只能使用一次
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used[i] = false;
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sum -= candidates[i];
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path.pop_back();
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}
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}
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public:
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vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {
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vector<bool> used(candidates.size(), false);
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path.clear();
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result.clear();
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// 首先把给candidates排序，让其相同的元素都挨在一起。
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sort(candidates.begin(), candidates.end());
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backtracking(candidates, target, 0, 0, used);
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return result;
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}
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};
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```
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## 补充
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这里直接用startIndex来去重也是可以的， 就不用used数组了。
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```C++
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class Solution {
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private:
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vector<vector<int>> result;
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vector<int> path;
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void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
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if (sum == target) {
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result.push_back(path);
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return;
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}
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for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
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// 要对同一树层使用过的元素进行跳过
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if (i > startIndex && candidates[i] == candidates[i - 1]) {
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continue;
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}
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sum += candidates[i];
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path.push_back(candidates[i]);
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backtracking(candidates, target, sum, i + 1); // 和39.组合总和的区别1，这里是i+1，每个数字在每个组合中只能使用一次
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sum -= candidates[i];
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path.pop_back();
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}
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}
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public:
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vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {
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path.clear();
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||||
result.clear();
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||||
// 首先把给candidates排序，让其相同的元素都挨在一起。
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sort(candidates.begin(), candidates.end());
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backtracking(candidates, target, 0, 0);
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return result;
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}
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};
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```
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## 总结
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本题同样是求组合总和，但就是因为其数组candidates有重复元素，而要求不能有重复的组合，所以相对于[39.组合总和](https://mp.weixin.qq.com/s/FLg8G6EjVcxBjwCbzpACPw)难度提升了不少。
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**关键是去重的逻辑，代码很简单，网上一搜一大把，但几乎没有能把这块代码含义讲明白的，基本都是给出代码，然后说这就是去重了，究竟怎么个去重法也是模棱两可**。
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所以Carl有必要把去重的这块彻彻底底的给大家讲清楚，**就连“树层去重”和“树枝去重”都是我自创的词汇，希望对大家理解有帮助！**
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* 微信：[程序员Carl](https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw)
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* B站：[代码随想录](https://space.bilibili.com/525438321)
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* 知识星球：[代码随想录](https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ)
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Reference in New Issue
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