diff --git a/README.md b/README.md index 080865a5..567b362b 100644 --- a/README.md +++ b/README.md @@ -251,8 +251,8 @@ 4. [回溯算法:求组合总和!](./problems/0216.组合总和III.md) 5. [回溯算法:电话号码的字母组合](./problems/0017.电话号码的字母组合.md) 6. [本周小结!(回溯算法系列一)](./problems/周总结/20201030回溯周末总结.md) -7. [回溯算法:求组合总和(二)](https://mp.weixin.qq.com/s/FLg8G6EjVcxBjwCbzpACPw) -8. [回溯算法:求组合总和(三)](https://mp.weixin.qq.com/s/_1zPYk70NvHsdY8UWVGXmQ) +7. [回溯算法:求组合总和(二)](./problems/0039.组合总和.md) +8. [回溯算法:求组合总和(三)](./problems/0040.组合总和II.md) 9. [回溯算法:分割回文串](https://mp.weixin.qq.com/s/Pb1epUTbU8fHIht-g_MS5Q) 10. [回溯算法:复原IP地址](https://mp.weixin.qq.com/s/v--VmA8tp9vs4bXCqHhBuA) 11. [回溯算法:求子集问题!](https://mp.weixin.qq.com/s/NNRzX-vJ_pjK4qxohd_LtA) diff --git a/problems/0039.组合总和.md b/problems/0039.组合总和.md new file mode 100644 index 00000000..ecec542e --- /dev/null +++ b/problems/0039.组合总和.md @@ -0,0 +1,236 @@ + +

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+ +## 39. 组合总和 + +题目链接:https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum/ + +给定一个无重复元素的数组 candidates 和一个目标数 target ,找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。 + +candidates 中的数字可以无限制重复被选取。 + +说明: + +* 所有数字(包括 target)都是正整数。 +* 解集不能包含重复的组合。  + +示例 1: +输入:candidates = [2,3,6,7], target = 7, +所求解集为: +[ + [7], + [2,2,3] +] + +示例 2: +输入:candidates = [2,3,5], target = 8, +所求解集为: +[ +  [2,2,2,2], +  [2,3,3], +  [3,5] +] + +## 思路 + +[B站视频讲解-组合总和](https://www.bilibili.com/video/BV1KT4y1M7HJ) + + +题目中的**无限制重复被选取,吓得我赶紧想想 出现0 可咋办**,然后看到下面提示:1 <= candidates[i] <= 200,我就放心了。 + +本题和[回溯算法:求组合问题!](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ),[回溯算法:求组合总和!](https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w)和区别是:本题没有数量要求,可以无限重复,但是有总和的限制,所以间接的也是有个数的限制。 + +本题搜索的过程抽象成树形结构如下: + +![39.组合总和](https://img-blog.csdnimg.cn/20201223170730367.png) +注意图中叶子节点的返回条件,因为本题没有组合数量要求,仅仅是总和的限制,所以递归没有层数的限制,只要选取的元素总和超过target,就返回! + +而在[回溯算法:求组合问题!](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ)和[回溯算法:求组合总和!](https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w) 中都可以知道要递归K层,因为要取k个元素的组合。 + +## 回溯三部曲 + +* 递归函数参数 + +这里依然是定义两个全局变量,二维数组result存放结果集,数组path存放符合条件的结果。(这两个变量可以作为函数参数传入) + +首先是题目中给出的参数,集合candidates, 和目标值target。 + +此外我还定义了int型的sum变量来统计单一结果path里的总和,其实这个sum也可以不用,用target做相应的减法就可以了,最后如何target==0就说明找到符合的结果了,但为了代码逻辑清晰,我依然用了sum。 + +**本题还需要startIndex来控制for循环的起始位置,对于组合问题,什么时候需要startIndex呢?** + +我举过例子,如果是一个集合来求组合的话,就需要startIndex,例如:[回溯算法:求组合问题!](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ),[回溯算法:求组合总和!](https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w)。 + +如果是多个集合取组合,各个集合之间相互不影响,那么就不用startIndex,例如:[回溯算法:电话号码的字母组合](https://mp.weixin.qq.com/s/e2ua2cmkE_vpYjM3j6HY0A) + +**注意以上我只是说求组合的情况,如果是排列问题,又是另一套分析的套路,后面我再讲解排列的时候就重点介绍**。 + +代码如下: + +```C++ +vector> result; +vector path; +void backtracking(vector& candidates, int target, int sum, int startIndex) +``` + +* 递归终止条件 + +在如下树形结构中: + +![39.组合总和](https://img-blog.csdnimg.cn/20201223170730367.png) + +从叶子节点可以清晰看到,终止只有两种情况,sum大于target和sum等于target。 + +sum等于target的时候,需要收集结果,代码如下: + +```C++ +if (sum > target) { + return; +} +if (sum == target) { + result.push_back(path); + return; +} +``` + +* 单层搜索的逻辑 + +单层for循环依然是从startIndex开始,搜索candidates集合。 + +**注意本题和[回溯算法:求组合问题!](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ)、[回溯算法:求组合总和!](https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w)的一个区别是:本题元素为可重复选取的**。 + +如何重复选取呢,看代码,注释部分: + +```C++ +for (int i = startIndex; i < candidates.size(); i++) { + sum += candidates[i]; + path.push_back(candidates[i]); + backtracking(candidates, target, sum, i); // 关键点:不用i+1了,表示可以重复读取当前的数 + sum -= candidates[i]; // 回溯 + path.pop_back(); // 回溯 +} +``` + +按照[关于回溯算法,你该了解这些!](https://mp.weixin.qq.com/s/gjSgJbNbd1eAA5WkA-HeWw)中给出的模板,不难写出如下C++完整代码: + +```C++ +// 版本一 +class Solution { +private: + vector> result; + vector path; + void backtracking(vector& candidates, int target, int sum, int startIndex) { + if (sum > target) { + return; + } + if (sum == target) { + result.push_back(path); + return; + } + + for (int i = startIndex; i < candidates.size(); i++) { + sum += candidates[i]; + path.push_back(candidates[i]); + backtracking(candidates, target, sum, i); // 不用i+1了,表示可以重复读取当前的数 + sum -= candidates[i]; + path.pop_back(); + } + } +public: + vector> combinationSum(vector& candidates, int target) { + result.clear(); + path.clear(); + backtracking(candidates, target, 0, 0); + return result; + } +}; +``` + +## 剪枝优化 + +在这个树形结构中: + +![39.组合总和](https://img-blog.csdnimg.cn/20201223170730367.png) + +以及上面的版本一的代码大家可以看到,对于sum已经大于target的情况,其实是依然进入了下一层递归,只是下一层递归结束判断的时候,会判断sum > target的话就返回。 + +其实如果已经知道下一层的sum会大于target,就没有必要进入下一层递归了。 + +那么可以在for循环的搜索范围上做做文章了。 + +**对总集合排序之后,如果下一层的sum(就是本层的 sum + candidates[i])已经大于target,就可以结束本轮for循环的遍历**。 + +如图: + + +![39.组合总和1](https://img-blog.csdnimg.cn/20201223170809182.png) + +for循环剪枝代码如下: + +``` +for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) +``` + +整体代码如下:(注意注释的部分) + +```C++ +class Solution { +private: + vector> result; + vector path; + void backtracking(vector& candidates, int target, int sum, int startIndex) { + if (sum == target) { + result.push_back(path); + return; + } + + // 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历 + for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) { + sum += candidates[i]; + path.push_back(candidates[i]); + backtracking(candidates, target, sum, i); + sum -= candidates[i]; + path.pop_back(); + + } + } +public: + vector> combinationSum(vector& candidates, int target) { + result.clear(); + path.clear(); + sort(candidates.begin(), candidates.end()); // 需要排序 + backtracking(candidates, target, 0, 0); + return result; + } +}; +``` + +## 总结 + +本题和我们之前讲过的[回溯算法:求组合问题!](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ)、[回溯算法:求组合总和!](https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w)有两点不同: + +* 组合没有数量要求 +* 元素可无限重复选取 + +针对这两个问题,我都做了详细的分析。 + +并且给出了对于组合问题,什么时候用startIndex,什么时候不用,并用[回溯算法:电话号码的字母组合](https://mp.weixin.qq.com/s/e2ua2cmkE_vpYjM3j6HY0A)做了对比。 + +最后还给出了本题的剪枝优化,这个优化如果是初学者的话并不容易想到。 + +**在求和问题中,排序之后加剪枝是常见的套路!** + +可以看出我写的文章都会大量引用之前的文章,就是要不断作对比,分析其差异,然后给出代码解决的方法,这样才能彻底理解题目的本质与难点。 + +------------------------ + +* 微信:[程序员Carl](https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw) +* B站:[代码随想录](https://space.bilibili.com/525438321) +* 知识星球:[代码随想录](https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ) + +![](https://img-blog.csdnimg.cn/20210416110157800.png) diff --git a/problems/0040.组合总和II.md b/problems/0040.组合总和II.md new file mode 100644 index 00000000..24780a92 --- /dev/null +++ b/problems/0040.组合总和II.md @@ -0,0 +1,256 @@ + +

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+ +> 这篇可以说是全网把组合问题如何去重,讲的最清晰的了! + +## 40.组合总和II + +题目链接:https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum-ii/ + +给定一个数组 candidates 和一个目标数 target ,找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。 + +candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。 + +说明: +所有数字(包括目标数)都是正整数。 +解集不能包含重复的组合。  + +示例 1: +输入: candidates = [10,1,2,7,6,1,5], target = 8, +所求解集为: +[ + [1, 7], + [1, 2, 5], + [2, 6], + [1, 1, 6] +] + +示例 2: +输入: candidates = [2,5,2,1,2], target = 5, +所求解集为: +[ +  [1,2,2], +  [5] +] + +## 思路 + +这道题目和[39.组合总和](https://mp.weixin.qq.com/s/FLg8G6EjVcxBjwCbzpACPw)如下区别: + +1. 本题candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。 +2. 本题数组candidates的元素是有重复的,而[39.组合总和](https://mp.weixin.qq.com/s/FLg8G6EjVcxBjwCbzpACPw)是无重复元素的数组candidates + +最后本题和[39.组合总和](https://mp.weixin.qq.com/s/FLg8G6EjVcxBjwCbzpACPw)要求一样,解集不能包含重复的组合。 + +**本题的难点在于区别2中:集合(数组candidates)有重复元素,但还不能有重复的组合**。 + +一些同学可能想了:我把所有组合求出来,再用set或者map去重,这么做很容易超时! + +所以要在搜索的过程中就去掉重复组合。 + +很多同学在去重的问题上想不明白,其实很多题解也没有讲清楚,反正代码是能过的,感觉是那么回事,稀里糊涂的先把题目过了。 + +这个去重为什么很难理解呢,**所谓去重,其实就是使用过的元素不能重复选取。** 这么一说好像很简单! + +都知道组合问题可以抽象为树形结构,那么“使用过”在这个树形结构上是有两个维度的,一个维度是同一树枝上使用过,一个维度是同一树层上使用过。**没有理解这两个层面上的“使用过” 是造成大家没有彻底理解去重的根本原因。** + +那么问题来了,我们是要同一树层上使用过,还是统一树枝上使用过呢? + +回看一下题目,元素在同一个组合内是可以重复的,怎么重复都没事,但两个组合不能相同。 + + +**所以我们要去重的是同一树层上的“使用过”,同一树枝上的都是一个组合里的元素,不用去重**。 + +为了理解去重我们来举一个例子,candidates = [1, 1, 2], target = 3,(方便起见candidates已经排序了) + +**强调一下,树层去重的话,需要对数组排序!** + +选择过程树形结构如图所示: + +![40.组合总和II](https://img-blog.csdnimg.cn/20201123202736384.png) + +可以看到图中,每个节点相对于 [39.组合总和](https://mp.weixin.qq.com/s/FLg8G6EjVcxBjwCbzpACPw)我多加了used数组,这个used数组下面会重点介绍。 + +## 回溯三部曲 + +* **递归函数参数** + +与[39.组合总和](https://mp.weixin.qq.com/s/FLg8G6EjVcxBjwCbzpACPw)套路相同,此题还需要加一个bool型数组used,用来记录同一树枝上的元素是否使用过。 + +这个集合去重的重任就是used来完成的。 + +代码如下: + +```C++ +vector> result; // 存放组合集合 +vector path; // 符合条件的组合 +void backtracking(vector& candidates, int target, int sum, int startIndex, vector& used) { +``` + +* **递归终止条件** + +与[39.组合总和](https://mp.weixin.qq.com/s/FLg8G6EjVcxBjwCbzpACPw)相同,终止条件为 `sum > target` 和 `sum == target`。 + +代码如下: + +```C++ +if (sum > target) { // 这个条件其实可以省略 + return; +} +if (sum == target) { + result.push_back(path); + return; +} +``` + +`sum > target` 这个条件其实可以省略,因为和在递归单层遍历的时候,会有剪枝的操作,下面会介绍到。 + +* **单层搜索的逻辑** + +这里与[39.组合总和](https://mp.weixin.qq.com/s/FLg8G6EjVcxBjwCbzpACPw)最大的不同就是要去重了。 + +前面我们提到:要去重的是“同一树层上的使用过”,如果判断同一树层上元素(相同的元素)是否使用过了呢。 + +**如果`candidates[i] == candidates[i - 1]` 并且 `used[i - 1] == false`,就说明:前一个树枝,使用了candidates[i - 1],也就是说同一树层使用过candidates[i - 1]**。 + +此时for循环里就应该做continue的操作。 + +这块比较抽象,如图: + +![40.组合总和II1](https://img-blog.csdnimg.cn/20201123202817973.png) + +我在图中将used的变化用橘黄色标注上,可以看出在candidates[i] == candidates[i - 1]相同的情况下: + +* used[i - 1] == true,说明同一树支candidates[i - 1]使用过 +* used[i - 1] == false,说明同一树层candidates[i - 1]使用过 + +**这块去重的逻辑很抽象,网上搜的题解基本没有能讲清楚的,如果大家之前思考过这个问题或者刷过这道题目,看到这里一定会感觉通透了很多!** + +那么单层搜索的逻辑代码如下: + +```C++ +for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) { + // used[i - 1] == true,说明同一树支candidates[i - 1]使用过 + // used[i - 1] == false,说明同一树层candidates[i - 1]使用过 + // 要对同一树层使用过的元素进行跳过 + if (i > 0 && candidates[i] == candidates[i - 1] && used[i - 1] == false) { + continue; + } + sum += candidates[i]; + path.push_back(candidates[i]); + used[i] = true; + backtracking(candidates, target, sum, i + 1, used); // 和39.组合总和的区别1:这里是i+1,每个数字在每个组合中只能使用一次 + used[i] = false; + sum -= candidates[i]; + path.pop_back(); +} +``` + +**注意sum + candidates[i] <= target为剪枝操作,在[39.组合总和](https://mp.weixin.qq.com/s/FLg8G6EjVcxBjwCbzpACPw)有讲解过!** + +## C++代码 + +回溯三部曲分析完了,整体C++代码如下: + +```C++ +class Solution { +private: + vector> result; + vector path; + void backtracking(vector& candidates, int target, int sum, int startIndex, vector& used) { + if (sum == target) { + result.push_back(path); + return; + } + for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) { + // used[i - 1] == true,说明同一树支candidates[i - 1]使用过 + // used[i - 1] == false,说明同一树层candidates[i - 1]使用过 + // 要对同一树层使用过的元素进行跳过 + if (i > 0 && candidates[i] == candidates[i - 1] && used[i - 1] == false) { + continue; + } + sum += candidates[i]; + path.push_back(candidates[i]); + used[i] = true; + backtracking(candidates, target, sum, i + 1, used); // 和39.组合总和的区别1,这里是i+1,每个数字在每个组合中只能使用一次 + used[i] = false; + sum -= candidates[i]; + path.pop_back(); + } + } + +public: + vector> combinationSum2(vector& candidates, int target) { + vector used(candidates.size(), false); + path.clear(); + result.clear(); + // 首先把给candidates排序,让其相同的元素都挨在一起。 + sort(candidates.begin(), candidates.end()); + backtracking(candidates, target, 0, 0, used); + return result; + } +}; + +``` + +## 补充 + +这里直接用startIndex来去重也是可以的, 就不用used数组了。 + +```C++ +class Solution { +private: + vector> result; + vector path; + void backtracking(vector& candidates, int target, int sum, int startIndex) { + if (sum == target) { + result.push_back(path); + return; + } + for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) { + // 要对同一树层使用过的元素进行跳过 + if (i > startIndex && candidates[i] == candidates[i - 1]) { + continue; + } + sum += candidates[i]; + path.push_back(candidates[i]); + backtracking(candidates, target, sum, i + 1); // 和39.组合总和的区别1,这里是i+1,每个数字在每个组合中只能使用一次 + sum -= candidates[i]; + path.pop_back(); + } + } + +public: + vector> combinationSum2(vector& candidates, int target) { + path.clear(); + result.clear(); + // 首先把给candidates排序,让其相同的元素都挨在一起。 + sort(candidates.begin(), candidates.end()); + backtracking(candidates, target, 0, 0); + return result; + } +}; + +``` + +## 总结 + +本题同样是求组合总和,但就是因为其数组candidates有重复元素,而要求不能有重复的组合,所以相对于[39.组合总和](https://mp.weixin.qq.com/s/FLg8G6EjVcxBjwCbzpACPw)难度提升了不少。 + +**关键是去重的逻辑,代码很简单,网上一搜一大把,但几乎没有能把这块代码含义讲明白的,基本都是给出代码,然后说这就是去重了,究竟怎么个去重法也是模棱两可**。 + +所以Carl有必要把去重的这块彻彻底底的给大家讲清楚,**就连“树层去重”和“树枝去重”都是我自创的词汇,希望对大家理解有帮助!** + + +------------------------ + +* 微信:[程序员Carl](https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw) +* B站:[代码随想录](https://space.bilibili.com/525438321) +* 知识星球:[代码随想录](https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ) + +![](https://img-blog.csdnimg.cn/20210416110157800.png)