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96. 城市间货物运输 III

题目链接

【题目描述】

某国为促进城市间经济交流，决定对货物运输提供补贴。共有 n 个编号为 1 到 n 的城市，通过道路网络连接，网络中的道路仅允许从某个城市单向通行到另一个城市，不能反向通行。

网络中的道路都有各自的运输成本和政府补贴，道路的权值计算方式为：运输成本 - 政府补贴。

权值为正表示扣除了政府补贴后运输货物仍需支付的费用；

权值为负则表示政府的补贴超过了支出的运输成本，实际表现为运输过程中还能赚取一定的收益。

请计算在最多经过 k 个城市的条件下，从城市 src 到城市 dst 的最低运输成本。

【输入描述】

第一行包含两个正整数，第一个正整数 n 表示该国一共有 n 个城市，第二个整数 m 表示这些城市中共有 m 条道路。

接下来为 m 行，每行包括三个整数，s、t 和 v，表示 s 号城市运输货物到达 t 号城市，道路权值为 v。

最后一行包含三个正整数，src、dst、和 k，src 和 dst 为城市编号，从 src 到 dst 经过的城市数量限制。

【输出描述】

输出一个整数，表示从城市 src 到城市 dst 的最低运输成本，如果无法在给定经过城市数量限制下找到从 src 到 dst 的路径，则输出 "unreachable"，表示不存在符合条件的运输方案。

输入示例：

6 7
1 2 1
2 4 -3
2 5 2
1 3 5
3 5 1
4 6 4
5 6 -2
2 6 1

输出示例：

0

思路

本题为单源有限最短路问题，同样是 kama94.城市间货物运输I 延伸题目。

注意题目中描述是 最多经过 k 个城市的条件下，而不是一定经过k个城市，也可以经过的城市数量比k小，但要最短的路径。

在 kama94.城市间货物运输I 中我们讲了：对所有边松弛一次，相当于计算 起点到达 与起点一条边相连的节点 的最短距离。

节点数量为n，起点到终点，最多是 n-1 条边相连。 那么对所有边松弛 n-1 次 就一定能得到 起点到达 终点的最短距离。

（如果对以上讲解看不懂，建议详看 kama94.城市间货物运输I ）

本题是最多经过 k 个城市， 那么是 k + 1条边相连的节点。 这里可能有录友想不懂为什么是k + 1，来看这个图：

图中，节点2 最多已经经过2个节点 到达节点4，那么中间是有多少条边呢，是 3 条边对吧。

所以本题就是求，起点最多经过k + 1 条边到达终点的最短距离。

对所有边松弛一次，相当于计算 起点到达 与起点一条边相连的节点 的最短距离，那么对所有边松弛 k + 1次，就是求 起点到达 与起点k + 1条边相连的节点的 最短距离。

注意： 本题是 kama94.城市间货物运输I 的拓展题，如果对 bellman_ford 没有深入了解，强烈建议先看 kama94.城市间货物运输I 再做本题。

理解以上内容，其实本题代码就很容易了，bellman_ford 标准写法是松弛 n-1 次，本题就松弛 k + 1次就好。

此时我们可以写出如下代码：

// 版本一
#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
#include <climits>
using namespace std;

int main() {
    int src, dst,k ,p1, p2, val ,m , n;
    
    cin >> n >> m;

    vector<vector<int>> grid;

    for(int i = 0; i < m; i++){
        cin >> p1 >> p2 >> val;
        // p1 指向 p2，权值为 val
        grid.push_back({p1, p2, val});
    }

    cin >> src >> dst >> k;

    vector<int> minDist(n + 1 , INT_MAX);
    minDist[src] = 0;
    for (int i = 1; i <= k + 1; i++) { // 对所有边松弛 k + 1次
        for (vector<int> &side : grid) {
            int from = side[0];
            int to = side[1];
            int price = side[2];
            if (minDist[from] != INT_MAX && minDist[to] > minDist[from] + price) minDist[to] = minDist[from] + price;
        }

    }

    if (minDist[dst] == INT_MAX) cout << "unreachable" << endl; // 不能到达终点
    else cout << minDist[dst] << endl; // 到达终点最短路径

}

以上代码 标准 bellman_ford 写法，松弛 k + 1次，看上去没什么问题。

但大家提交后，居然没通过！

这是为什么呢？

接下来我们拿这组数据来举例：

4 4
1 2 -1
2 3 1
3 1 -1
3 4 1
1 4 3

（注意上面的示例是有负权回路的，只有带负权回路的图才能说明问题）

负权回路是指一条道路的总权值为负，这样的回路使得通过反复经过回路中的道路，理论上可以无限地减少总成本或无限地增加总收益。

正常来说，这组数据输出应该是 1，但以上代码输出的是 -2。

在讲解原因的时候，强烈建议大家，先把 minDist数组打印出来，看看minDist数组是不是按照自己的想法变化的，这样更容易理解我接下来的讲解内容。 （一定要动手，实践出真实，脑洞模拟不靠谱）

打印的代码可以是这样：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
#include <climits>
using namespace std;

int main() {
    int src, dst,k ,p1, p2, val ,m , n;
    
    cin >> n >> m;

    vector<vector<int>> grid;

    for(int i = 0; i < m; i++){
        cin >> p1 >> p2 >> val;
        // p1 指向 p2，权值为 val
        grid.push_back({p1, p2, val});
    }

    cin >> src >> dst >> k;

    vector<int> minDist(n + 1 , INT_MAX);
    minDist[src] = 0;
    for (int i = 1; i <= k + 1; i++) { // 对所有边松弛 k + 1次
        for (vector<int> &side : grid) {
            int from = side[0];
            int to = side[1];
            int price = side[2];
            if (minDist[from] != INT_MAX && minDist[to] > minDist[from] + price) minDist[to] = minDist[from] + price;
        }
        // 打印 minDist 数组 
        for (int j = 1; j <= n; j++) cout << minDist[j] << " ";
        cout << endl;

    }

    if (minDist[dst] == INT_MAX) cout << "unreachable" << endl; // 不能到达终点
    else cout << minDist[dst] << endl; // 到达终点最短路径

}

接下来，我按照上面的示例带大家 画图举例 对所有边松弛一次 的效果图。

起点为节点1， 起点到起点的距离为0，所以 minDist[1] 初始化为0 ，如图：

其他节点对应的minDist初始化为max，因为我们要求最小距离，那么还没有计算过的节点 默认是一个最大数，这样才能更新最小距离。

当我们开始对所有边开始第一次松弛：

边：节点1 -> 节点2，权值为-1 ，minDist[2] > minDist[1] + (-1)，更新 minDist[2] = minDist[1] + (-1) = 0 - 1 = -1 ，如图：

边：节点2 -> 节点3，权值为1 ，minDist[3] > minDist[2] + 1 ，更新 minDist[3] = minDist[2] + 1 = -1 + 1 = 0 ，如图：

边：节点3 -> 节点1，权值为-1 ，minDist[1] > minDist[3] + (-1)，更新 minDist[1] = 0 + (-1) = -1 ，如图：

边：节点3 -> 节点4，权值为1 ，minDist[4] > minDist[3] + 1，更新 minDist[4] = 0 + (-1) = -1 ，如图：

以上是对所有边进行的第一次松弛，最后 minDist数组为 ：-1 -1 0 1 ，（从下标1算起）

后面几次松弛我就不挨个画图了，过程大同小异，我直接给出minDist数组的变化：

所有边进行的第二次松弛，minDist数组为 ： -2 -2 -1 0 所有边进行的第三次松弛，minDist数组为 ： -3 -3 -2 -1 所有边进行的第四次松弛，minDist数组为 ： -4 -4 -3 -2 （本示例中k为3，所以松弛4次）

最后计算的结果minDist[4] = -2，即 起点到 节点4，最多经过 3 个节点的最短距离是 -2，但 正确的结果应该是 1，即路径：节点1 -> 节点2 -> 节点3 -> 节点4。

理论上来说，对所有边松弛一次，相当于计算 起点到达 与起点一条边相连的节点 的最短距离。

对所有边松弛两次，相当于计算 起点到达 与起点两条边相连的节点的最短距离。

对所有边松弛三次，以此类推。

但在对所有边松弛第一次的过程中，大家会发现，不仅仅 与起点一条边相连的节点更新了，所有节点都更新了。

而且对所有边的后面几次松弛，同样是更新了所有的节点，说明 至多经过k 个节点 这个限制 根本没有限制住，每个节点的数值都被更新了。

这是为什么？

在上面画图距离中，对所有边进行第一次松弛，在计算 边（节点2 -> 节点3） 的时候，更新了 节点3。

理论上来说节点3 应该在对所有边第二次松弛的时候才更新。 这因为当时是基于已经计算好的 节点2（minDist[2]）来做计算了。

minDist[2]在计算边：（节点1 -> 节点2）的时候刚刚被赋值为 -1。

这样就造成了一个情况，即：计算minDist数组的时候，基于了本次松弛的 minDist数值，而不是上一次 松弛时候minDist的数值。
所以在每次计算 minDist 时候，要基于 对所有边上一次松弛的 minDist 数值才行，所以我们要记录上一次松弛的minDist。

代码修改如下： （关键地方已经注释）

// 版本二
#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
#include <climits>
using namespace std;

int main() {
    int src, dst,k ,p1, p2, val ,m , n;
    
    cin >> n >> m;

    vector<vector<int>> grid;

    for(int i = 0; i < m; i++){
        cin >> p1 >> p2 >> val;
        grid.push_back({p1, p2, val});
    }

    cin >> src >> dst >> k;

    vector<int> minDist(n + 1 , INT_MAX);
    minDist[src] = 0;
    vector<int> minDist_copy(n + 1); // 用来记录上一次遍历的结果
    for (int i = 1; i <= k + 1; i++) {
        minDist_copy = minDist; // 获取上一次计算的结果
        for (vector<int> &side : grid) {
            int from = side[0];
            int to = side[1];
            int price = side[2];
            // 注意使用 minDist_copy 来计算 minDist 
            if (minDist_copy[from] != INT_MAX && minDist[to] > minDist_copy[from] + price) {  
                minDist[to] = minDist_copy[from] + price;
            }
        }
    }
    if (minDist[dst] == INT_MAX) cout << "unreachable" << endl; // 不能到达终点
    else cout << minDist[dst] << endl; // 到达终点最短路径

}

• 时间复杂度： O(K * E) , K为至多经过K个节点，E为图中边的数量
• 空间复杂度： O(N) ，即 minDist 数组所开辟的空间

拓展一（边的顺序的影响）

其实边的顺序会影响我们每一次拓展的结果。

我来给大家举个例子。

我上面讲解中，给出的示例是这样的：

4 4
1 2 -1
2 3 1
3 1 -1
3 4 1
1 4 3

我将示例中边的顺序改一下，给成：

4 4
3 1 -1
3 4 1
2 3 1
1 2 -1
1 4 3

所构成是图是一样的，都是如下的这个图，但给出的边的顺序是不一样的。

再用版本一的代码是运行一下，发现结果输出是 1， 是对的。

分明刚刚输出的结果是 -2，是错误的，怎么 一样的图，这次输出的结果就对了呢？

其实这是和示例中给出的边的顺序是有关的，

我们按照我修改后的示例再来模拟 对所有边的第一次拓展情况。

初始化：

边：节点3 -> 节点1，权值为-1 ，节点3还没有被计算过，节点1 不更新。

边：节点3 -> 节点4，权值为1 ，节点3还没有被计算过，节点4 不更新。

边：节点2 -> 节点3，权值为 1 ，节点2还没有被计算过，节点3 不更新。

边：节点1 -> 节点2，权值为 -1 ，minDist[2] > minDist[1] + (-1)，更新 minDist[2] = 0 + (-1) = -1 ，如图：

以上是对所有边 松弛一次的状态。

可以发现 同样的图，边的顺序不一样，使用版本一的代码 每次松弛更新的节点也是不一样的。

而边的顺序是随机的，是题目给我们的，所以本题我们才需要 记录上一次松弛的minDist，来保障 每一次对所有边松弛的结果。

拓展二（本题本质）

那么前面讲解过的 94.城市间货物运输I 和 95.城市间货物运输II 也是bellman_ford经典算法，也没使用 minDist_copy，怎么就没问题呢？

如果没看过我上面这两篇讲解的话，建议详细学习上面两篇，在看我下面讲的区别，否则容易看不懂。

94.城市间货物运输I， 是没有 负权回路的，那么 多松弛多少次，对结果都没有影响。

求 节点1 到 节点n 的最短路径，松弛n-1 次就够了，松弛 大于 n-1次，结果也不会变。

那么在对所有边进行第一次松弛的时候，如果基于 最近计算的 minDist 来计算 minDist （相当于多做松弛了），也是对最终结果没影响。

95.城市间货物运输II 是判断是否有 负权回路，一旦有负权回路， 对所有边松弛 n -1 次以后，在做松弛 minDist 数值一定会变，根据这一点是判断是否有负权回路。

所以 在对所有边进行第一次松弛的时候，如果基于 最近计算的 minDist 来计算 minDist （相当于多做松弛了），对最后判断是否有负权回路同样没有影响。

你可以理解 minDist的数组其实是不准确了，但它只要变化了就可以让我们来判断 是否有 负权回路。

那么本题 为什么计算minDist 一定要基于上次 的 minDist 数值。

其关键在于本题的两个因素：

• 本题可以有负权回路，说明只要多做松弛，结果是会变的。
• 本题要求最多经过k个节点，对松弛次数是有限制的。

如果本题中 没有负权回路的测试用例， 那版本一的代码就可以过了，也就不用我费这么大口舌去讲解的这个坑了。