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<p align="center">
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<a href="https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ"><img src="https://img.shields.io/badge/知识星球-代码随想录-blue" alt=""></a>
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</p>
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<p align="center"><strong>欢迎大家参与本项目，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们收益！</strong></p>
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# 动态规划：一和零！
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## 474.一和零
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题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/ones-and-zeroes/
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给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。
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请你找出并返回 strs 的最大子集的大小，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。
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如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。
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示例 1：
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输入：strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3
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输出：4
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解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ，因此答案是 4 。
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其他满足题意但较小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。{"111001"} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。
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示例 2：
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输入：strs = ["10", "0", "1"], m = 1, n = 1
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输出：2
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解释：最大的子集是 {"0", "1"} ，所以答案是 2 。
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提示：
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* 1 <= strs.length <= 600
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* 1 <= strs[i].length <= 100
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* strs[i] 仅由 '0' 和 '1' 组成
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* 1 <= m, n <= 100
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## 思路
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这道题目，还是比较难的，也有点像程序员自己给自己出个脑筋急转弯，程序员何苦为难程序员呢哈哈。
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来说题，本题不少同学会认为是多重背包，一些题解也是这么写的。
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其实本题并不是多重背包，再来看一下这个图，捋清几种背包的关系
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多重背包是每个物品，数量不同的情况。
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**本题中strs 数组里的元素就是物品，每个物品都是一个！**
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**而m 和 n相当于是一个背包，两个维度的背包**。
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理解成多重背包的同学主要是把m和n混淆为物品了，感觉这是不同数量的物品，所以以为是多重背包。
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但本题其实是01背包问题！
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这不过这个背包有两个维度，一个是m 一个是n，而不同长度的字符串就是不同大小的待装物品。
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开始动规五部曲：
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1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
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**dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]**。
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2. 确定递推公式
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dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。
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dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。
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然后我们在遍历的过程中，取dp[i][j]的最大值。
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所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
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此时大家可以回想一下01背包的递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
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对比一下就会发现，字符串的zeroNum和oneNum相当于物品的重量（weight[i]），字符串本身的个数相当于物品的价值（value[i]）。
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**这就是一个典型的01背包！** 只不过物品的重量有了两个维度而已。
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3. dp数组如何初始化
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在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://mp.weixin.qq.com/s/M4uHxNVKRKm5HPjkNZBnFA)中已经讲解了，01背包的dp数组初始化为0就可以。
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因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。
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4. 确定遍历顺序
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在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://mp.weixin.qq.com/s/M4uHxNVKRKm5HPjkNZBnFA)中，我们讲到了01背包为什么一定是外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历！
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那么本题也是，物品就是strs里的字符串，背包容量就是题目描述中的m和n。
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代码如下：
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```C++
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for (string str : strs) { // 遍历物品
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int oneNum = 0, zeroNum = 0;
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for (char c : str) {
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if (c == '0') zeroNum++;
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else oneNum++;
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}
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for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！
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for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
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dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
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}
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}
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}
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```
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有同学可能想，那个遍历背包容量的两层for循环先后循序有没有什么讲究？
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没讲究，都是物品重量的一个维度，先遍历那个都行！
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5. 举例推导dp数组
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以输入：["10","0001","111001","1","0"]，m = 3，n = 3为例
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最后dp数组的状态如下所示：
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以上动规五部曲分析完毕，C++代码如下：
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```C++
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class Solution {
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public:
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int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
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vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int> (n + 1, 0)); // 默认初始化0
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for (string str : strs) { // 遍历物品
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int oneNum = 0, zeroNum = 0;
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for (char c : str) {
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if (c == '0') zeroNum++;
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else oneNum++;
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}
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for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！
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for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
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dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
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}
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}
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}
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return dp[m][n];
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}
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};
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```
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## 总结
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不少同学刷过这道提，可能没有总结这究竟是什么背包。
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这道题的本质是有两个维度的01背包，如果大家认识到这一点，对这道题的理解就比较深入了。
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## 其他语言版本
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Java：
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```Java
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class Solution {
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public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
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//dp[i][j]表示i个0和j个1时的最大子集
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int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
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||
int oneNum, zeroNum;
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||
for (String str : strs) {
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oneNum = 0;
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||
zeroNum = 0;
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||
for (char ch : str.toCharArray()) {
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||
if (ch == '0') {
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||
zeroNum++;
|
||
} else {
|
||
oneNum++;
|
||
}
|
||
}
|
||
//倒序遍历
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||
for (int i = m; i >= zeroNum; i--) {
|
||
for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
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||
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
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||
}
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||
}
|
||
}
|
||
return dp[m][n];
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||
}
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||
}
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||
```
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Python：
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Go：
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* 作者微信：[程序员Carl](https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw)
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* B站视频：[代码随想录](https://space.bilibili.com/525438321)
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* 知识星球：[代码随想录](https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ)
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