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# 动态规划：一和零！ ## 474.一和零 题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/ones-and-zeroes/ 给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。 请你找出并返回 strs 的最大子集的大小，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。 如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。 示例 1： 输入：strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3 输出：4 解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ，因此答案是 4 。 其他满足题意但较小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。{"111001"} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。 示例 2： 输入：strs = ["10", "0", "1"], m = 1, n = 1 输出：2 解释：最大的子集是 {"0", "1"} ，所以答案是 2 。 提示： * 1 <= strs.length <= 600 * 1 <= strs[i].length <= 100 * strs[i] 仅由 '0' 和 '1' 组成 * 1 <= m, n <= 100 ## 思路 这道题目，还是比较难的，也有点像程序员自己给自己出个脑筋急转弯，程序员何苦为难程序员呢哈哈。 来说题，本题不少同学会认为是多重背包，一些题解也是这么写的。 其实本题并不是多重背包，再来看一下这个图，捋清几种背包的关系 ![416.分割等和子集1](https://img-blog.csdnimg.cn/20210117171307407.png) 多重背包是每个物品，数量不同的情况。 **本题中strs 数组里的元素就是物品，每个物品都是一个！** **而m 和 n相当于是一个背包，两个维度的背包**。 理解成多重背包的同学主要是把m和n混淆为物品了，感觉这是不同数量的物品，所以以为是多重背包。 但本题其实是01背包问题！ 这不过这个背包有两个维度，一个是m 一个是n，而不同长度的字符串就是不同大小的待装物品。 开始动规五部曲： 1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义 **dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]**。 2. 确定递推公式 dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。 dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。 然后我们在遍历的过程中，取dp[i][j]的最大值。 所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1); 此时大家可以回想一下01背包的递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); 对比一下就会发现，字符串的zeroNum和oneNum相当于物品的重量（weight[i]），字符串本身的个数相当于物品的价值（value[i]）。 **这就是一个典型的01背包！** 只不过物品的重量有了两个维度而已。 3. dp数组如何初始化 在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://mp.weixin.qq.com/s/M4uHxNVKRKm5HPjkNZBnFA)中已经讲解了，01背包的dp数组初始化为0就可以。 因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。 4. 确定遍历顺序 在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://mp.weixin.qq.com/s/M4uHxNVKRKm5HPjkNZBnFA)中，我们讲到了01背包为什么一定是外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历！ 那么本题也是，物品就是strs里的字符串，背包容量就是题目描述中的m和n。 代码如下： ```C++ for (string str : strs) { // 遍历物品 int oneNum = 0, zeroNum = 0; for (char c : str) { if (c == '0') zeroNum++; else oneNum++; } for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！ for (int j = n; j >= oneNum; j--) { dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1); } } } ``` 有同学可能想，那个遍历背包容量的两层for循环先后循序有没有什么讲究？ 没讲究，都是物品重量的一个维度，先遍历那个都行！ 5. 举例推导dp数组 以输入：["10","0001","111001","1","0"]，m = 3，n = 3为例 最后dp数组的状态如下所示： ![474.一和零](https://img-blog.csdnimg.cn/20210120111201512.jpg) 以上动规五部曲分析完毕，C++代码如下： ```C++ class Solution { public: int findMaxForm(vector& strs, int m, int n) { vector> dp(m + 1, vector (n + 1, 0)); // 默认初始化0 for (string str : strs) { // 遍历物品 int oneNum = 0, zeroNum = 0; for (char c : str) { if (c == '0') zeroNum++; else oneNum++; } for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！ for (int j = n; j >= oneNum; j--) { dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1); } } } return dp[m][n]; } }; ``` ## 总结 不少同学刷过这道提，可能没有总结这究竟是什么背包。 这道题的本质是有两个维度的01背包，如果大家认识到这一点，对这道题的理解就比较深入了。 ## 其他语言版本 Java： ```Java class Solution { public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) { //dp[i][j]表示i个0和j个1时的最大子集 int[][] dp = new int[m + 1][n + 1]; int oneNum, zeroNum; for (String str : strs) { oneNum = 0; zeroNum = 0; for (char ch : str.toCharArray()) { if (ch == '0') { zeroNum++; } else { oneNum++; } } //倒序遍历 for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { for (int j = n; j >= oneNum; j--) { dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1); } } } return dp[m][n]; } } ``` Python： Go： ----------------------- * 作者微信：[程序员Carl](https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw) * B站视频：[代码随想录](https://space.bilibili.com/525438321) * 知识星球：[代码随想录](https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ)