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</p>
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<p align="center"><strong>欢迎大家参与本项目，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们收益！</strong></p>
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## 第51题. N皇后
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题目链接： https://leetcode-cn.com/problems/n-queens/
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n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。
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上图为 8 皇后问题的一种解法。
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给定一个整数 n，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。
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每一种解法包含一个明确的 n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。
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示例:
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输入: 4
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输出: [
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[".Q..", // 解法 1
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"...Q",
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"Q...",
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"..Q."],
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["..Q.", // 解法 2
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"Q...",
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"...Q",
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".Q.."]
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]
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解释: 4 皇后问题存在两个不同的解法。
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提示：
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> 皇后，是国际象棋中的棋子，意味着国王的妻子。皇后只做一件事，那就是“吃子”。当她遇见可以吃的棋子时，就迅速冲上去吃掉棋子。当然，她横、竖、斜都可走一到七步，可进可退。（引用自 百度百科 - 皇后 ）
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## 思路
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都知道n皇后问题是回溯算法解决的经典问题，但是用回溯解决多了组合、切割、子集、排列问题之后，遇到这种二位矩阵还会有点不知所措。
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首先来看一下皇后们的约束条件：
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1. 不能同行
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2. 不能同列
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3. 不能同斜线
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确定完约束条件，来看看究竟要怎么去搜索皇后们的位置，其实搜索皇后的位置，可以抽象为一棵树。
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下面我用一个3 * 3 的棋牌，将搜索过程抽象为一颗树，如图：
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从图中，可以看出，二维矩阵中矩阵的高就是这颗树的高度，矩阵的宽就是树形结构中每一个节点的宽度。
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那么我们用皇后们的约束条件，来回溯搜索这颗树，**只要搜索到了树的叶子节点，说明就找到了皇后们的合理位置了**。
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## 回溯三部曲
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按照我总结的如下回溯模板，我们来依次分析：
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```
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void backtracking(参数) {
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if (终止条件) {
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存放结果;
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return;
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}
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for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
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处理节点;
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backtracking(路径，选择列表); // 递归
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回溯，撤销处理结果
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}
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}
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```
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* 递归函数参数
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我依然是定义全局变量二维数组result来记录最终结果。
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参数n是棋牌的大小，然后用row来记录当前遍历到棋盘的第几层了。
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代码如下：
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```
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vector<vector<string>> result;
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void backtracking(int n, int row, vector<string>& chessboard) {
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```
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* 递归终止条件
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在如下树形结构中：
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可以看出，当递归到棋盘最底层（也就是叶子节点）的时候，就可以收集结果并返回了。
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代码如下：
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```
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if (row == n) {
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result.push_back(chessboard);
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return;
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}
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```
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* 单层搜索的逻辑
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递归深度就是row控制棋盘的行，每一层里for循环的col控制棋盘的列，一行一列，确定了放置皇后的位置。
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每次都是要从新的一行的起始位置开始搜，所以都是从0开始。
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代码如下：
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```
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for (int col = 0; col < n; col++) {
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if (isValid(row, col, chessboard, n)) { // 验证合法就可以放
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||
chessboard[row][col] = 'Q'; // 放置皇后
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||
backtracking(n, row + 1, chessboard);
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||
chessboard[row][col] = '.'; // 回溯，撤销皇后
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}
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||
}
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```
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* 验证棋牌是否合法
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按照如下标准去重：
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1. 不能同行
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2. 不能同列
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3. 不能同斜线 （45度和135度角）
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代码如下：
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```
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bool isValid(int row, int col, vector<string>& chessboard, int n) {
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int count = 0;
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||
// 检查列
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for (int i = 0; i < row; i++) { // 这是一个剪枝
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if (chessboard[i][col] == 'Q') {
|
||
return false;
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}
|
||
}
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// 检查 45度角是否有皇后
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for (int i = row - 1, j = col - 1; i >=0 && j >= 0; i--, j--) {
|
||
if (chessboard[i][j] == 'Q') {
|
||
return false;
|
||
}
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||
}
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||
// 检查 135度角是否有皇后
|
||
for(int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) {
|
||
if (chessboard[i][j] == 'Q') {
|
||
return false;
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||
}
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||
}
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return true;
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||
}
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```
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在这份代码中，细心的同学可以发现为什么没有在同行进行检查呢？
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因为在单层搜索的过程中，每一层递归，只会选for循环（也就是同一行）里的一个元素，所以不用去重了。
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那么按照这个模板不难写出如下C++代码：
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## C++代码
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```C++
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class Solution {
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private:
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vector<vector<string>> result;
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// n 为输入的棋盘大小
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// row 是当前递归到棋牌的第几行了
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void backtracking(int n, int row, vector<string>& chessboard) {
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if (row == n) {
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result.push_back(chessboard);
|
||
return;
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||
}
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for (int col = 0; col < n; col++) {
|
||
if (isValid(row, col, chessboard, n)) { // 验证合法就可以放
|
||
chessboard[row][col] = 'Q'; // 放置皇后
|
||
backtracking(n, row + 1, chessboard);
|
||
chessboard[row][col] = '.'; // 回溯，撤销皇后
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
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bool isValid(int row, int col, vector<string>& chessboard, int n) {
|
||
int count = 0;
|
||
// 检查列
|
||
for (int i = 0; i < row; i++) { // 这是一个剪枝
|
||
if (chessboard[i][col] == 'Q') {
|
||
return false;
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||
}
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||
}
|
||
// 检查 45度角是否有皇后
|
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for (int i = row - 1, j = col - 1; i >=0 && j >= 0; i--, j--) {
|
||
if (chessboard[i][j] == 'Q') {
|
||
return false;
|
||
}
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||
}
|
||
// 检查 135度角是否有皇后
|
||
for(int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) {
|
||
if (chessboard[i][j] == 'Q') {
|
||
return false;
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}
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||
}
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return true;
|
||
}
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public:
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vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
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result.clear();
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std::vector<std::string> chessboard(n, std::string(n, '.'));
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||
backtracking(n, 0, chessboard);
|
||
return result;
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}
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||
};
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```
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可以看出，除了验证棋盘合法性的代码，省下来部分就是按照回溯法模板来的。
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## 总结
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本题是我们解决棋盘问题的第一道题目。
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如果从来没有接触过N皇后问题的同学看着这样的题会感觉无从下手，可能知道要用回溯法，但也不知道该怎么去搜。
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**这里我明确给出了棋盘的宽度就是for循环的长度，递归的深度就是棋盘的高度，这样就可以套进回溯法的模板里了**。
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大家可以在仔细体会体会！
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## 其他语言补充
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Python：
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```python
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class Solution:
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def solveNQueens(self, n: int) -> List[List[str]]:
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if not n: return []
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board = [['.'] * n for _ in range(n)]
|
||
res = []
|
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def isVaild(board,row, col):
|
||
#判断同一列是否冲突
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for i in range(len(board)):
|
||
if board[i][col] == 'Q':
|
||
return False
|
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# 判断左上角是否冲突
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i = row -1
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||
j = col -1
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while i>=0 and j>=0:
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if board[i][j] == 'Q':
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return False
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i -= 1
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j -= 1
|
||
# 判断右上角是否冲突
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i = row - 1
|
||
j = col + 1
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||
while i>=0 and j < len(board):
|
||
if board[i][j] == 'Q':
|
||
return False
|
||
i -= 1
|
||
j += 1
|
||
return True
|
||
|
||
def backtracking(board, row, n):
|
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# 如果走到最后一行，说明已经找到一个解
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if row == n:
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temp_res = []
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for temp in board:
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||
temp_str = "".join(temp)
|
||
temp_res.append(temp_str)
|
||
res.append(temp_res)
|
||
for col in range(n):
|
||
if not isVaild(board, row, col):
|
||
continue
|
||
board[row][col] = 'Q'
|
||
backtracking(board, row+1, n)
|
||
board[row][col] = '.'
|
||
backtracking(board, 0, n)
|
||
return res
|
||
```
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||
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Java：
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```java
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class Solution {
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||
List<List<String>> res = new ArrayList<>();
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||
|
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public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
|
||
char[][] chessboard = new char[n][n];
|
||
for (char[] c : chessboard) {
|
||
Arrays.fill(c, '.');
|
||
}
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||
backTrack(n, 0, chessboard);
|
||
return res;
|
||
}
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|
||
|
||
public void backTrack(int n, int row, char[][] chessboard) {
|
||
if (row == n) {
|
||
res.add(Array2List(chessboard));
|
||
return;
|
||
}
|
||
|
||
for (int col = 0;col < n; ++col) {
|
||
if (isValid (row, col, n, chessboard)) {
|
||
chessboard[row][col] = 'Q';
|
||
backTrack(n, row+1, chessboard);
|
||
chessboard[row][col] = '.';
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
}
|
||
|
||
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||
public List Array2List(char[][] chessboard) {
|
||
List<String> list = new ArrayList<>();
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||
|
||
for (char[] c : chessboard) {
|
||
list.add(String.copyValueOf(c));
|
||
}
|
||
return list;
|
||
}
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||
|
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|
||
public boolean isValid(int row, int col, int n, char[][] chessboard) {
|
||
// 检查列
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||
for (int i=0; i<n; ++i) {
|
||
if (chessboard[i][col] == 'Q') {
|
||
return false;
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
// 检查45度对角线
|
||
for (int i=row-1, j=col-1; i>=0 && j>=0; i--, j--) {
|
||
if (chessboard[i][j] == 'Q') {
|
||
return false;
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
// 检查135度对角线
|
||
for (int i=row-1, j=col+1; i>=0 && j<=n-1; i--, j++) {
|
||
if (chessboard[i][j] == 'Q') {
|
||
return false;
|
||
}
|
||
}
|
||
return true;
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
## 其他语言版本
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||
Java：
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||
Python：
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Go：
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||
* 作者微信：[程序员Carl](https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw)
|
||
* B站视频：[代码随想录](https://space.bilibili.com/525438321)
|
||
* 知识星球：[代码随想录](https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ)
|
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<div align="center"><img src=../pics/公众号.png width=450 alt=> </img></div>
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