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## 第51题. N皇后
题目链接： https://leetcode-cn.com/problems/n-queens/
n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。
上图为 8 皇后问题的一种解法。
给定一个整数 n，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。
每一种解法包含一个明确的 n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。
示例:
输入: 4
输出: [
[".Q..", // 解法 1
"...Q",
"Q...",
"..Q."],
["..Q.", // 解法 2
"Q...",
"...Q",
".Q.."]
]
解释: 4 皇后问题存在两个不同的解法。
提示：
> 皇后，是国际象棋中的棋子，意味着国王的妻子。皇后只做一件事，那就是“吃子”。当她遇见可以吃的棋子时，就迅速冲上去吃掉棋子。当然，她横、竖、斜都可走一到七步，可进可退。（引用自 百度百科 - 皇后 ）
## 思路
都知道n皇后问题是回溯算法解决的经典问题，但是用回溯解决多了组合、切割、子集、排列问题之后，遇到这种二位矩阵还会有点不知所措。
首先来看一下皇后们的约束条件：
1. 不能同行
2. 不能同列
3. 不能同斜线
确定完约束条件，来看看究竟要怎么去搜索皇后们的位置，其实搜索皇后的位置，可以抽象为一棵树。
下面我用一个3 * 3 的棋牌，将搜索过程抽象为一颗树，如图：
从图中，可以看出，二维矩阵中矩阵的高就是这颗树的高度，矩阵的宽就是树形结构中每一个节点的宽度。
那么我们用皇后们的约束条件，来回溯搜索这颗树，**只要搜索到了树的叶子节点，说明就找到了皇后们的合理位置了**。
## 回溯三部曲
按照我总结的如下回溯模板，我们来依次分析：
```
void backtracking(参数) {
if (终止条件) {
存放结果;
return;
}
for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
处理节点;
backtracking(路径，选择列表); // 递归
回溯，撤销处理结果
}
}
```
* 递归函数参数
我依然是定义全局变量二维数组result来记录最终结果。
参数n是棋牌的大小，然后用row来记录当前遍历到棋盘的第几层了。
代码如下：
```
vector> result;
void backtracking(int n, int row, vector& chessboard) {
```
* 递归终止条件
在如下树形结构中：
可以看出，当递归到棋盘最底层（也就是叶子节点）的时候，就可以收集结果并返回了。
代码如下：
```
if (row == n) {
result.push_back(chessboard);
return;
}
```
* 单层搜索的逻辑
递归深度就是row控制棋盘的行，每一层里for循环的col控制棋盘的列，一行一列，确定了放置皇后的位置。
每次都是要从新的一行的起始位置开始搜，所以都是从0开始。
代码如下：
```
for (int col = 0; col < n; col++) {
if (isValid(row, col, chessboard, n)) { // 验证合法就可以放
chessboard[row][col] = 'Q'; // 放置皇后
backtracking(n, row + 1, chessboard);
chessboard[row][col] = '.'; // 回溯，撤销皇后
}
}
```
* 验证棋牌是否合法
按照如下标准去重：
1. 不能同行
2. 不能同列
3. 不能同斜线 （45度和135度角）
代码如下：
```
bool isValid(int row, int col, vector& chessboard, int n) {
int count = 0;
// 检查列
for (int i = 0; i < row; i++) { // 这是一个剪枝
if (chessboard[i][col] == 'Q') {
return false;
}
}
// 检查 45度角是否有皇后
for (int i = row - 1, j = col - 1; i >=0 && j >= 0; i--, j--) {
if (chessboard[i][j] == 'Q') {
return false;
}
}
// 检查 135度角是否有皇后
for(int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) {
if (chessboard[i][j] == 'Q') {
return false;
}
}
return true;
}
```
在这份代码中，细心的同学可以发现为什么没有在同行进行检查呢？
因为在单层搜索的过程中，每一层递归，只会选for循环（也就是同一行）里的一个元素，所以不用去重了。
那么按照这个模板不难写出如下C++代码：
## C++代码
```C++
class Solution {
private:
vector> result;
// n 为输入的棋盘大小
// row 是当前递归到棋牌的第几行了
void backtracking(int n, int row, vector& chessboard) {
if (row == n) {
result.push_back(chessboard);
return;
}
for (int col = 0; col < n; col++) {
if (isValid(row, col, chessboard, n)) { // 验证合法就可以放
chessboard[row][col] = 'Q'; // 放置皇后
backtracking(n, row + 1, chessboard);
chessboard[row][col] = '.'; // 回溯，撤销皇后
}
}
}
bool isValid(int row, int col, vector& chessboard, int n) {
int count = 0;
// 检查列
for (int i = 0; i < row; i++) { // 这是一个剪枝
if (chessboard[i][col] == 'Q') {
return false;
}
}
// 检查 45度角是否有皇后
for (int i = row - 1, j = col - 1; i >=0 && j >= 0; i--, j--) {
if (chessboard[i][j] == 'Q') {
return false;
}
}
// 检查 135度角是否有皇后
for(int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) {
if (chessboard[i][j] == 'Q') {
return false;
}
}
return true;
}
public:
vector> solveNQueens(int n) {
result.clear();
std::vector chessboard(n, std::string(n, '.'));
backtracking(n, 0, chessboard);
return result;
}
};
```
可以看出，除了验证棋盘合法性的代码，省下来部分就是按照回溯法模板来的。
## 总结
本题是我们解决棋盘问题的第一道题目。
如果从来没有接触过N皇后问题的同学看着这样的题会感觉无从下手，可能知道要用回溯法，但也不知道该怎么去搜。
**这里我明确给出了棋盘的宽度就是for循环的长度，递归的深度就是棋盘的高度，这样就可以套进回溯法的模板里了**。
大家可以在仔细体会体会！
## 其他语言补充
Python：
```python
class Solution:
def solveNQueens(self, n: int) -> List[List[str]]:
if not n: return []
board = [['.'] * n for _ in range(n)]
res = []
def isVaild(board,row, col):
#判断同一列是否冲突
for i in range(len(board)):
if board[i][col] == 'Q':
return False
# 判断左上角是否冲突
i = row -1
j = col -1
while i>=0 and j>=0:
if board[i][j] == 'Q':
return False
i -= 1
j -= 1
# 判断右上角是否冲突
i = row - 1
j = col + 1
while i>=0 and j < len(board):
if board[i][j] == 'Q':
return False
i -= 1
j += 1
return True
def backtracking(board, row, n):
# 如果走到最后一行，说明已经找到一个解
if row == n:
temp_res = []
for temp in board:
temp_str = "".join(temp)
temp_res.append(temp_str)
res.append(temp_res)
for col in range(n):
if not isVaild(board, row, col):
continue
board[row][col] = 'Q'
backtracking(board, row+1, n)
board[row][col] = '.'
backtracking(board, 0, n)
return res
```
Java：
```java
class Solution {
List> res = new ArrayList<>();
public List> solveNQueens(int n) {
char[][] chessboard = new char[n][n];
for (char[] c : chessboard) {
Arrays.fill(c, '.');
}
backTrack(n, 0, chessboard);
return res;
}
public void backTrack(int n, int row, char[][] chessboard) {
if (row == n) {
res.add(Array2List(chessboard));
return;
}
for (int col = 0;col < n; ++col) {
if (isValid (row, col, n, chessboard)) {
chessboard[row][col] = 'Q';
backTrack(n, row+1, chessboard);
chessboard[row][col] = '.';
}
}
}
public List Array2List(char[][] chessboard) {
List list = new ArrayList<>();
for (char[] c : chessboard) {
list.add(String.copyValueOf(c));
}
return list;
}
public boolean isValid(int row, int col, int n, char[][] chessboard) {
// 检查列
for (int i=0; i=0 && j>=0; i--, j--) {
if (chessboard[i][j] == 'Q') {
return false;
}
}
// 检查135度对角线
for (int i=row-1, j=col+1; i>=0 && j<=n-1; i--, j++) {
if (chessboard[i][j] == 'Q') {
return false;
}
}
return true;
}
}
```
## 其他语言版本
Java：
Python：
Go：
-----------------------
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