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<p align="center">
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<a href="https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ"><img src="https://img.shields.io/badge/知识星球-代码随想录-blue" alt=""></a>
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<a href="https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw"><img src="https://img.shields.io/badge/刷题-微信群-green" alt=""></a>
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<a href="https://img-blog.csdnimg.cn/20201210231711160.png"><img src="https://img.shields.io/badge/公众号-代码随想录-brightgreen" alt=""></a>
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<a href="https://space.bilibili.com/525438321"><img src="https://img.shields.io/badge/B站-代码随想录-orange" alt=""></a>
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</p>
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<p align="center"><strong>欢迎大家参与本项目，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们收益！</strong></p>
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## 39. 组合总和
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题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum/
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给定一个无重复元素的数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。
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candidates 中的数字可以无限制重复被选取。
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说明：
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* 所有数字（包括 target）都是正整数。
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* 解集不能包含重复的组合。
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示例 1：
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输入：candidates = [2,3,6,7], target = 7,
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所求解集为：
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[
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[7],
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[2,2,3]
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]
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示例 2：
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输入：candidates = [2,3,5], target = 8,
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所求解集为：
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[
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[2,2,2,2],
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[2,3,3],
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[3,5]
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]
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## 思路
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[B站视频讲解-组合总和](https://www.bilibili.com/video/BV1KT4y1M7HJ)
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题目中的**无限制重复被选取，吓得我赶紧想想 出现0 可咋办**，然后看到下面提示：1 <= candidates[i] <= 200，我就放心了。
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本题和[回溯算法：求组合问题！](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ)，[回溯算法：求组合总和！](https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w)和区别是：本题没有数量要求，可以无限重复，但是有总和的限制，所以间接的也是有个数的限制。
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本题搜索的过程抽象成树形结构如下：
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注意图中叶子节点的返回条件，因为本题没有组合数量要求，仅仅是总和的限制，所以递归没有层数的限制，只要选取的元素总和超过target，就返回！
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而在[回溯算法：求组合问题！](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ)和[回溯算法：求组合总和！](https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w) 中都可以知道要递归K层，因为要取k个元素的组合。
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## 回溯三部曲
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* 递归函数参数
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这里依然是定义两个全局变量，二维数组result存放结果集，数组path存放符合条件的结果。（这两个变量可以作为函数参数传入）
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首先是题目中给出的参数，集合candidates, 和目标值target。
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此外我还定义了int型的sum变量来统计单一结果path里的总和，其实这个sum也可以不用，用target做相应的减法就可以了，最后如何target==0就说明找到符合的结果了，但为了代码逻辑清晰，我依然用了sum。
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**本题还需要startIndex来控制for循环的起始位置，对于组合问题，什么时候需要startIndex呢？**
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我举过例子，如果是一个集合来求组合的话，就需要startIndex，例如：[回溯算法：求组合问题！](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ)，[回溯算法：求组合总和！](https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w)。
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如果是多个集合取组合，各个集合之间相互不影响，那么就不用startIndex，例如：[回溯算法：电话号码的字母组合](https://mp.weixin.qq.com/s/e2ua2cmkE_vpYjM3j6HY0A)
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**注意以上我只是说求组合的情况，如果是排列问题，又是另一套分析的套路，后面我再讲解排列的时候就重点介绍**。
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代码如下：
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```C++
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vector<vector<int>> result;
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vector<int> path;
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void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex)
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```
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* 递归终止条件
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在如下树形结构中：
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从叶子节点可以清晰看到，终止只有两种情况，sum大于target和sum等于target。
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sum等于target的时候，需要收集结果，代码如下：
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```C++
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if (sum > target) {
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return;
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}
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if (sum == target) {
|
||
result.push_back(path);
|
||
return;
|
||
}
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```
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* 单层搜索的逻辑
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单层for循环依然是从startIndex开始，搜索candidates集合。
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**注意本题和[回溯算法：求组合问题！](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ)、[回溯算法：求组合总和！](https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w)的一个区别是：本题元素为可重复选取的**。
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如何重复选取呢，看代码，注释部分：
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```C++
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for (int i = startIndex; i < candidates.size(); i++) {
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sum += candidates[i];
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path.push_back(candidates[i]);
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backtracking(candidates, target, sum, i); // 关键点:不用i+1了，表示可以重复读取当前的数
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||
sum -= candidates[i]; // 回溯
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||
path.pop_back(); // 回溯
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||
}
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```
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按照[关于回溯算法，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/gjSgJbNbd1eAA5WkA-HeWw)中给出的模板，不难写出如下C++完整代码：
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```C++
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// 版本一
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class Solution {
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private:
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vector<vector<int>> result;
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||
vector<int> path;
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||
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
|
||
if (sum > target) {
|
||
return;
|
||
}
|
||
if (sum == target) {
|
||
result.push_back(path);
|
||
return;
|
||
}
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||
|
||
for (int i = startIndex; i < candidates.size(); i++) {
|
||
sum += candidates[i];
|
||
path.push_back(candidates[i]);
|
||
backtracking(candidates, target, sum, i); // 不用i+1了，表示可以重复读取当前的数
|
||
sum -= candidates[i];
|
||
path.pop_back();
|
||
}
|
||
}
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||
public:
|
||
vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
|
||
result.clear();
|
||
path.clear();
|
||
backtracking(candidates, target, 0, 0);
|
||
return result;
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||
}
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||
};
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||
```
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## 剪枝优化
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在这个树形结构中：
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以及上面的版本一的代码大家可以看到，对于sum已经大于target的情况，其实是依然进入了下一层递归，只是下一层递归结束判断的时候，会判断sum > target的话就返回。
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其实如果已经知道下一层的sum会大于target，就没有必要进入下一层递归了。
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那么可以在for循环的搜索范围上做做文章了。
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**对总集合排序之后，如果下一层的sum（就是本层的 sum + candidates[i]）已经大于target，就可以结束本轮for循环的遍历**。
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如图：
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for循环剪枝代码如下：
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```
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for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++)
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```
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整体代码如下：（注意注释的部分）
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```C++
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class Solution {
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||
private:
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||
vector<vector<int>> result;
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||
vector<int> path;
|
||
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
|
||
if (sum == target) {
|
||
result.push_back(path);
|
||
return;
|
||
}
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||
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||
// 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
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for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
|
||
sum += candidates[i];
|
||
path.push_back(candidates[i]);
|
||
backtracking(candidates, target, sum, i);
|
||
sum -= candidates[i];
|
||
path.pop_back();
|
||
|
||
}
|
||
}
|
||
public:
|
||
vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
|
||
result.clear();
|
||
path.clear();
|
||
sort(candidates.begin(), candidates.end()); // 需要排序
|
||
backtracking(candidates, target, 0, 0);
|
||
return result;
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||
}
|
||
};
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||
```
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## 总结
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本题和我们之前讲过的[回溯算法：求组合问题！](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ)、[回溯算法：求组合总和！](https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w)有两点不同：
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* 组合没有数量要求
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* 元素可无限重复选取
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针对这两个问题，我都做了详细的分析。
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并且给出了对于组合问题，什么时候用startIndex，什么时候不用，并用[回溯算法：电话号码的字母组合](https://mp.weixin.qq.com/s/e2ua2cmkE_vpYjM3j6HY0A)做了对比。
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最后还给出了本题的剪枝优化，这个优化如果是初学者的话并不容易想到。
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**在求和问题中，排序之后加剪枝是常见的套路！**
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可以看出我写的文章都会大量引用之前的文章，就是要不断作对比，分析其差异，然后给出代码解决的方法，这样才能彻底理解题目的本质与难点。
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## 其他语言版本
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Java：
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```Java
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class Solution {
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List<List<Integer>> lists = new ArrayList<>();
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||
Deque<Integer> deque = new LinkedList<>();
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||
public List<List<Integer>> combinationSum3(int k, int n) {
|
||
int[] arr = new int[]{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
|
||
backTracking(arr, n, k, 0);
|
||
return lists;
|
||
}
|
||
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||
public void backTracking(int[] arr, int n, int k, int startIndex) {
|
||
//如果 n 小于0，没必要继续本次递归，已经不符合要求了
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if (n < 0) {
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||
return;
|
||
}
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||
if (deque.size() == k) {
|
||
if (n == 0) {
|
||
lists.add(new ArrayList(deque));
|
||
}
|
||
return;
|
||
}
|
||
for (int i = startIndex; i < arr.length - (k - deque.size()) + 1; i++) {
|
||
deque.push(arr[i]);
|
||
//减去当前元素
|
||
n -= arr[i];
|
||
backTracking(arr, n, k, i + 1);
|
||
//恢复n
|
||
n += deque.pop();
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
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||
Python：
|
||
|
||
|
||
Go：
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||
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||
|
||
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||
-----------------------
|
||
* 作者微信：[程序员Carl](https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw)
|
||
* B站视频：[代码随想录](https://space.bilibili.com/525438321)
|
||
* 知识星球：[代码随想录](https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ)
|
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<div align="center"><img src=../pics/公众号.png width=450 alt=> </img></div>
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