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## 39. 组合总和
题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum/
给定一个无重复元素的数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。
candidates 中的数字可以无限制重复被选取。
说明：
* 所有数字（包括 target）都是正整数。
* 解集不能包含重复的组合。
示例 1：
输入：candidates = [2,3,6,7], target = 7,
所求解集为：
[
[7],
[2,2,3]
]
示例 2：
输入：candidates = [2,3,5], target = 8,
所求解集为：
[
[2,2,2,2],
[2,3,3],
[3,5]
]
## 思路
[B站视频讲解-组合总和](https://www.bilibili.com/video/BV1KT4y1M7HJ)
题目中的**无限制重复被选取，吓得我赶紧想想 出现0 可咋办**，然后看到下面提示：1 <= candidates[i] <= 200，我就放心了。
本题和[回溯算法：求组合问题！](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ)，[回溯算法：求组合总和！](https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w)和区别是：本题没有数量要求，可以无限重复，但是有总和的限制，所以间接的也是有个数的限制。
本题搜索的过程抽象成树形结构如下：
注意图中叶子节点的返回条件，因为本题没有组合数量要求，仅仅是总和的限制，所以递归没有层数的限制，只要选取的元素总和超过target，就返回！
而在[回溯算法：求组合问题！](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ)和[回溯算法：求组合总和！](https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w) 中都可以知道要递归K层，因为要取k个元素的组合。
## 回溯三部曲
* 递归函数参数
这里依然是定义两个全局变量，二维数组result存放结果集，数组path存放符合条件的结果。（这两个变量可以作为函数参数传入）
首先是题目中给出的参数，集合candidates, 和目标值target。
此外我还定义了int型的sum变量来统计单一结果path里的总和，其实这个sum也可以不用，用target做相应的减法就可以了，最后如何target==0就说明找到符合的结果了，但为了代码逻辑清晰，我依然用了sum。
**本题还需要startIndex来控制for循环的起始位置，对于组合问题，什么时候需要startIndex呢？**
我举过例子，如果是一个集合来求组合的话，就需要startIndex，例如：[回溯算法：求组合问题！](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ)，[回溯算法：求组合总和！](https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w)。
如果是多个集合取组合，各个集合之间相互不影响，那么就不用startIndex，例如：[回溯算法：电话号码的字母组合](https://mp.weixin.qq.com/s/e2ua2cmkE_vpYjM3j6HY0A)
**注意以上我只是说求组合的情况，如果是排列问题，又是另一套分析的套路，后面我再讲解排列的时候就重点介绍**。
代码如下：
```C++
vector> result;
vector path;
void backtracking(vector& candidates, int target, int sum, int startIndex)
```
* 递归终止条件
在如下树形结构中：
从叶子节点可以清晰看到，终止只有两种情况，sum大于target和sum等于target。
sum等于target的时候，需要收集结果，代码如下：
```C++
if (sum > target) {
return;
}
if (sum == target) {
result.push_back(path);
return;
}
```
* 单层搜索的逻辑
单层for循环依然是从startIndex开始，搜索candidates集合。
**注意本题和[回溯算法：求组合问题！](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ)、[回溯算法：求组合总和！](https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w)的一个区别是：本题元素为可重复选取的**。
如何重复选取呢，看代码，注释部分：
```C++
for (int i = startIndex; i < candidates.size(); i++) {
sum += candidates[i];
path.push_back(candidates[i]);
backtracking(candidates, target, sum, i); // 关键点:不用i+1了，表示可以重复读取当前的数
sum -= candidates[i]; // 回溯
path.pop_back(); // 回溯
}
```
按照[关于回溯算法，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/gjSgJbNbd1eAA5WkA-HeWw)中给出的模板，不难写出如下C++完整代码：
```C++
// 版本一
class Solution {
private:
vector> result;
vector path;
void backtracking(vector& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
if (sum > target) {
return;
}
if (sum == target) {
result.push_back(path);
return;
}
for (int i = startIndex; i < candidates.size(); i++) {
sum += candidates[i];
path.push_back(candidates[i]);
backtracking(candidates, target, sum, i); // 不用i+1了，表示可以重复读取当前的数
sum -= candidates[i];
path.pop_back();
}
}
public:
vector> combinationSum(vector& candidates, int target) {
result.clear();
path.clear();
backtracking(candidates, target, 0, 0);
return result;
}
};
```
## 剪枝优化
在这个树形结构中：
以及上面的版本一的代码大家可以看到，对于sum已经大于target的情况，其实是依然进入了下一层递归，只是下一层递归结束判断的时候，会判断sum > target的话就返回。
其实如果已经知道下一层的sum会大于target，就没有必要进入下一层递归了。
那么可以在for循环的搜索范围上做做文章了。
**对总集合排序之后，如果下一层的sum（就是本层的 sum + candidates[i]）已经大于target，就可以结束本轮for循环的遍历**。
如图：
for循环剪枝代码如下：
```
for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++)
```
整体代码如下：（注意注释的部分）
```C++
class Solution {
private:
vector> result;
vector path;
void backtracking(vector& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
if (sum == target) {
result.push_back(path);
return;
}
// 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
sum += candidates[i];
path.push_back(candidates[i]);
backtracking(candidates, target, sum, i);
sum -= candidates[i];
path.pop_back();
}
}
public:
vector> combinationSum(vector& candidates, int target) {
result.clear();
path.clear();
sort(candidates.begin(), candidates.end()); // 需要排序
backtracking(candidates, target, 0, 0);
return result;
}
};
```
## 总结
本题和我们之前讲过的[回溯算法：求组合问题！](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ)、[回溯算法：求组合总和！](https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w)有两点不同：
* 组合没有数量要求
* 元素可无限重复选取
针对这两个问题，我都做了详细的分析。
并且给出了对于组合问题，什么时候用startIndex，什么时候不用，并用[回溯算法：电话号码的字母组合](https://mp.weixin.qq.com/s/e2ua2cmkE_vpYjM3j6HY0A)做了对比。
最后还给出了本题的剪枝优化，这个优化如果是初学者的话并不容易想到。
**在求和问题中，排序之后加剪枝是常见的套路！**
可以看出我写的文章都会大量引用之前的文章，就是要不断作对比，分析其差异，然后给出代码解决的方法，这样才能彻底理解题目的本质与难点。
## 其他语言版本
Java：
```Java
class Solution {
List> lists = new ArrayList<>();
Deque deque = new LinkedList<>();
public List> combinationSum3(int k, int n) {
int[] arr = new int[]{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
backTracking(arr, n, k, 0);
return lists;
}
public void backTracking(int[] arr, int n, int k, int startIndex) {
//如果 n 小于0，没必要继续本次递归，已经不符合要求了
if (n < 0) {
return;
}
if (deque.size() == k) {
if (n == 0) {
lists.add(new ArrayList(deque));
}
return;
}
for (int i = startIndex; i < arr.length - (k - deque.size()) + 1; i++) {
deque.push(arr[i]);
//减去当前元素
n -= arr[i];
backTracking(arr, n, k, i + 1);
//恢复n
n += deque.pop();
}
}
}
```
Python：
Go：
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* 作者微信：[程序员Carl](https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw)
* B站视频：[代码随想录](https://space.bilibili.com/525438321)
* 知识星球：[代码随想录](https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ)
