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从二维到一维 重讲完全背包
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programmercarl
211
problems/背包问题完全背包一维.md
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211
problems/背包问题完全背包一维.md
Normal file
@ -0,0 +1,211 @@
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# 完全背包-一维数组
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本题力扣上没有原题，大家可以去[卡码网第52题](https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1052)去练习。
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## 算法公开课
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**[《代码随想录》算法视频公开课](https://programmercarl.com/other/gongkaike.html)：[带你学透完全背包问题！ ](https://www.bilibili.com/video/BV1uK411o7c9/)，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解**。
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## 思路
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本篇我们不再做五部曲分析，核心内容 在 01背包二维 、01背包一维 和 完全背包二维 的讲解中都讲过了。
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上一篇我们刚刚讲了完全背包二维DP数组的写法：
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```CPP
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for (int i = 1; i < n; i++) { // 遍历物品
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for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
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if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
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else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
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}
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}
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```
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压缩成一维DP数组，也就是将上一层拷贝到当前层。
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将上一层dp[i-1] 的那一层拷贝到 当前层 dp[i] ，那么 递推公式由：`dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])` 变成： `dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])`
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这里有录友想，这样拷贝的话， dp[i - 1][j] 的数值会不会 覆盖了 dp[i][j] 的数值呢？
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并不会，因为 当前层 dp[i][j] 是空的，是没有计算过的。
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变成 `dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])` 我们压缩成一维dp数组，去掉 i 层数维度。
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即：`dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])`
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接下来我们重点讲一下遍历顺序。
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看过这两篇的话：
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* [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)
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* [01背包理论基础（一维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)
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就知道了，01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了，一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量。
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**在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的**！
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因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。
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遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环，状态如图：
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遍历背包容量在外层循环，遍历物品在内层循环，状态如图：
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看了这两个图，大家就会理解，完全背包中，两个for循环的先后循序，都不影响计算dp[j]所需要的值（这个值就是下标j之前所对应的dp[j]）。
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先遍历背包再遍历物品，代码如下：
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```CPP
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for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
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for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
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if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
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}
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cout << endl;
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}
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```
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先遍历物品再遍历背包：
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```CPP
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for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
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for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
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||||
if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
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||||
}
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}
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```
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整体代码如下：
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```cpp
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#include <iostream>
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#include <vector>
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using namespace std;
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int main() {
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int N, bagWeight;
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cin >> N >> bagWeight;
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vector<int> weight(N, 0);
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vector<int> value(N, 0);
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for (int i = 0; i < N; i++) {
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int w;
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int v;
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cin >> w >> v;
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weight[i] = w;
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value[i] = v;
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}
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vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
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for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
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for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
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||||
if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
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}
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}
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cout << dp[bagWeight] << endl;
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return 0;
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}
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```
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## 总结
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细心的同学可能发现，**全文我说的都是对于纯完全背包问题，其for循环的先后循环是可以颠倒的！**
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但如果题目稍稍有点变化，就会体现在遍历顺序上。
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如果问装满背包有几种方式的话？ 那么两个for循环的先后顺序就有很大区别了，而leetcode上的题目都是这种稍有变化的类型。
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这个区别，我将在后面讲解具体leetcode题目中给大家介绍，因为这块如果不结合具题目，单纯的介绍原理估计很多同学会越看越懵！
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别急，下一篇就是了！
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最后，**又可以出一道面试题了，就是纯完全背包，要求先用二维dp数组实现，然后再用一维dp数组实现，最后再问，两个for循环的先后是否可以颠倒？为什么？**
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这个简单的完全背包问题，估计就可以难住不少候选人了。
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## 其他语言版本
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### Java：
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```java
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import java.util.Scanner;
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public class Main {
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public static void main(String[] args) {
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Scanner scanner = new Scanner(System.in);
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int N = scanner.nextInt();
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int bagWeight = scanner.nextInt();
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int[] weight = new int[N];
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int[] value = new int[N];
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for (int i = 0; i < N; i++) {
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weight[i] = scanner.nextInt();
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value[i] = scanner.nextInt();
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}
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int[] dp = new int[bagWeight + 1];
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for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
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for (int i = 0; i < weight.length; i++) { // 遍历物品
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if (j >= weight[i]) {
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dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
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}
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}
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}
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System.out.println(dp[bagWeight]);
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scanner.close();
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}
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}
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```
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### Python：
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```python
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def complete_knapsack(N, bag_weight, weight, value):
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dp = [0] * (bag_weight + 1)
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for j in range(bag_weight + 1): # 遍历背包容量
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for i in range(len(weight)): # 遍历物品
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if j >= weight[i]:
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dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
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return dp[bag_weight]
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# 输入
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N, bag_weight = map(int, input().split())
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weight = []
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value = []
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for _ in range(N):
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w, v = map(int, input().split())
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weight.append(w)
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value.append(v)
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# 输出结果
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print(complete_knapsack(N, bag_weight, weight, value))
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```
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### Go：
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```go
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```
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### Javascript:
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```Javascript
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```
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@ -5,18 +5,11 @@
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<p align="center"><strong><a href="./qita/join.md">参与本项目</a>，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们受益！</strong></p>
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# 动态规划：完全背包理论基础
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# 完全背包理论基础-二维DP数组
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本题力扣上没有原题，大家可以去[卡码网第52题](https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1052)去练习，题意是一样的。
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## 算法公开课
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**[《代码随想录》算法视频公开课](https://programmercarl.com/other/gongkaike.html)：[带你学透完全背包问题！ ](https://www.bilibili.com/video/BV1uK411o7c9/)，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解**。
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## 思路
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### 完全背包
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## 完全背包
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有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。**每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次）**，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
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@ -24,14 +17,12 @@
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同样leetcode上没有纯完全背包问题，都是需要完全背包的各种应用，需要转化成完全背包问题，所以我这里还是以纯完全背包问题进行讲解理论和原理。
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在下面的讲解中，我依然举这个例子：
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在下面的讲解中，我拿下面数据举例子：
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背包最大重量为4。
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物品为：
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背包最大重量为4，物品为：
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| | 重量 | 价值 |
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| --- | --- | --- |
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| ----- | ---- | ---- |
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| 物品0 | 1 | 15 |
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| 物品1 | 3 | 20 |
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| 物品2 | 4 | 30 |
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@ -40,471 +31,292 @@
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问背包能背的物品最大价值是多少？
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01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上，所以本文就不去做动规五部曲了，我们直接针对遍历顺序经行分析！
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**如果没看到之前的01背包讲解，已经要先仔细看如下两篇，01背包是基础，本篇在讲解完全背包，之前的背包基础我将不会重复讲解**。
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关于01背包我如下两篇已经进行深入分析了：
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* [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)
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* [01背包理论基础（一维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)
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||||
* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)
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* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)
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动规五部曲分析完全背包，为了从原理上讲清楚，我们先从二维dp数组分析：
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首先再回顾一下01背包的核心代码
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```cpp
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for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
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for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
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dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
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}
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### 1. 确定dp数组以及下标的含义
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**dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品，每个物品可以取无限次，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少**。
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很多录友也会疑惑，凭什么上来就定义 dp数组，思考过程是什么样的， 这个思考过程我在 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中的 “确定dp数组以及下标的含义” 有详细讲解。
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### 2. 确定递推公式
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这里在把基本信息给出来：
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| | 重量 | 价值 |
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| ----- | ---- | ---- |
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| 物品0 | 1 | 15 |
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| 物品1 | 3 | 20 |
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| 物品2 | 4 | 30 |
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对于递推公式，首先我们要明确有哪些方向可以推导出 dp[i][j]。
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这里依然拿dp[1][4]的状态来举例： （[01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中也是这个例子，要注意下面的不同之处）
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求取 dp[1][4] 有两种情况：
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1. 放物品1
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2. 还是不放物品1
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如果不放物品1， 那么背包的价值应该是 dp[0][4] 即 容量为4的背包，只放物品0的情况。
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推导方向如图：
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如果放物品1， **那么背包要先留出物品1的容量**，目前容量是4，物品1 的容量（就是物品1的重量）为3，此时背包剩下容量为1。
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容量为1，只考虑放物品0 和物品1 的最大价值是 dp[1][1]， **注意 这里和 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 有所不同了**！
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在 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中，背包先空留出物品1的容量，此时容量为1，只考虑放物品0的最大价值是 dp[0][1]，**因为01背包每个物品只有一个，既然空出物品1，那背包中也不会再有物品1**！
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而在完全背包中，物品是可以放无限个，所以 即使空出物品1空间重量，那背包中也可能还有物品1，所以此时我们依然考虑放 物品0 和 物品1 的最大价值即： **dp[1][1]， 而不是 dp[0][1]**
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所以 放物品1 的情况 = dp[1][1] + 物品1 的价值，推导方向如图：
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（**注意上图和 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中的区别**，对于理解完全背包很重要）
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两种情况，分别是放物品1 和 不放物品1，我们要取最大值（毕竟求的是最大价值）
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`dp[1][4] = max(dp[0][4], dp[1][1] + 物品1 的价值) `
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以上过程，抽象化如下：
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* **不放物品i**：背包容量为j，里面不放物品i的最大价值是dp[i - 1][j]。
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* **放物品i**：背包空出物品i的容量后，背包容量为j - weight[i]，dp[i][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]且不放物品i的最大价值，那么dp[i][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
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递归公式： `dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);`
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（注意，完全背包二维dp数组 和 01背包二维dp数组 递推公式的区别，01背包中是 `dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])`）
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### 3. dp数组如何初始化
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**关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱**。
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首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：
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在看其他情况。
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状态转移方程 `dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);` 可以看出有一个方向 i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。
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dp[0][j]，即：存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。
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那么很明显当 `j < weight[0]`的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。
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当`j >= weight[0]`时，**dp[0][j] 如果能放下weight[0]的话，就一直装，每一种物品有无限个**。
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代码初始化如下：
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```CPP
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for (int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点。
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dp[i][0] = 0;
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}
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// 正序遍历，如果能放下就一直装物品0
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for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++)
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dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
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```
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（注意上面初始化和 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)的区别在于物品有无限个）
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此时dp数组初始化情况如图所示：
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dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？
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其实从递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由上方和左方数值推导出来了，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。
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但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。
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最后初始化代码如下：
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```CPP
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// 初始化 dp
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vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
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for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) {
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dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
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}
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```
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我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。
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而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：
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### 4. 确定遍历顺序
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```CPP
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// 先遍历物品，再遍历背包
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for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
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for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
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dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
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[01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中我们讲过，01背包二维DP数组，先遍历物品还是先遍历背包都是可以的。
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}
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}
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```
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因为两种遍历顺序，对于二维dp数组来说，递推公式所需要的值，二维dp数组里对应的位置都有。
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至于为什么，我在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)中也做了讲解。
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详细可以看 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中的 【遍历顺序】的讲解
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dp状态图如下：
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相信很多同学看网上的文章，关于完全背包介绍基本就到为止了。
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**其实还有一个很重要的问题，为什么遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环？**
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这个问题很多题解关于这里都是轻描淡写就略过了，大家都默认 遍历物品在外层，遍历背包容量在内层，好像本应该如此一样，那么为什么呢？
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难道就不能遍历背包容量在外层，遍历物品在内层？
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看过这两篇的话：
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* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)
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* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)
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就知道了，01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了，一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量。
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**在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的！**
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因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。
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遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环，状态如图：
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遍历背包容量在外层循环，遍历物品在内层循环，状态如图：
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看了这两个图，大家就会理解，完全背包中，两个for循环的先后循序，都不影响计算dp[j]所需要的值（这个值就是下标j之前所对应的dp[j]）。
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先遍历背包在遍历物品，代码如下：
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```CPP
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||||
// 先遍历背包，再遍历物品
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||||
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
|
||||
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
|
||||
if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
|
||||
}
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||||
cout << endl;
|
||||
}
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||||
```
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||||
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||||
完整的C++测试代码如下：
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||||
```CPP
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||||
// 先遍历物品，在遍历背包
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||||
void test_CompletePack() {
|
||||
vector<int> weight = {1, 3, 4};
|
||||
vector<int> value = {15, 20, 30};
|
||||
int bagWeight = 4;
|
||||
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
|
||||
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
|
||||
for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
|
||||
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
cout << dp[bagWeight] << endl;
|
||||
}
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||||
int main() {
|
||||
test_CompletePack();
|
||||
}
|
||||
|
||||
```
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||||
|
||||
```CPP
|
||||
|
||||
// 先遍历背包，再遍历物品
|
||||
void test_CompletePack() {
|
||||
vector<int> weight = {1, 3, 4};
|
||||
vector<int> value = {15, 20, 30};
|
||||
int bagWeight = 4;
|
||||
|
||||
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
|
||||
所以既可以 先遍历物品再遍历背包：
|
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||||
```CPP
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||||
for (int i = 1; i < n; i++) { // 遍历物品
|
||||
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
|
||||
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
|
||||
if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
|
||||
}
|
||||
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
|
||||
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
|
||||
}
|
||||
cout << dp[bagWeight] << endl;
|
||||
}
|
||||
int main() {
|
||||
test_CompletePack();
|
||||
}
|
||||
|
||||
```
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||||
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||||
本题力扣上没有原题，大家可以去[卡码网第52题](https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1052)去练习，题意是一样的，C++代码如下：
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||||
也可以 先遍历背包再遍历物品：
|
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|
||||
```cpp
|
||||
```CPP
|
||||
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
|
||||
for (int i = 1; i < n; i++) { // 遍历物品
|
||||
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
|
||||
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
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### 5. 举例推导dp数组
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以本篇举例数据为例，填满了dp二维数组如图：
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因为 物品0 的性价比是最高的，而且 在完全背包中，每一类物品都有无限个，所以有无限个物品0，既然物品0 性价比最高，当然是优先放物品0。
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### 本题代码：
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```CPP
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||||
#include <iostream>
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||||
#include <vector>
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||||
using namespace std;
|
||||
|
||||
// 先遍历背包，再遍历物品
|
||||
void test_CompletePack(vector<int> weight, vector<int> value, int bagWeight) {
|
||||
int main() {
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||||
int n, bagWeight;
|
||||
int w, v;
|
||||
cin >> n >> bagWeight;
|
||||
vector<int> weight(n);
|
||||
vector<int> value(n);
|
||||
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
||||
cin >> weight[i] >> value[i];
|
||||
}
|
||||
|
||||
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
|
||||
vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(bagWeight + 1, 0));
|
||||
|
||||
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
|
||||
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
|
||||
if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
|
||||
// 初始化
|
||||
for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++)
|
||||
dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
|
||||
|
||||
for (int i = 1; i < n; i++) { // 遍历物品
|
||||
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
|
||||
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
|
||||
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
cout << dp[bagWeight] << endl;
|
||||
}
|
||||
int main() {
|
||||
int N, V;
|
||||
cin >> N >> V;
|
||||
vector<int> weight;
|
||||
vector<int> value;
|
||||
for (int i = 0; i < N; i++) {
|
||||
int w;
|
||||
int v;
|
||||
cin >> w >> v;
|
||||
weight.push_back(w);
|
||||
value.push_back(v);
|
||||
}
|
||||
test_CompletePack(weight, value, V);
|
||||
|
||||
cout << dp[n - 1][bagWeight] << endl;
|
||||
|
||||
return 0;
|
||||
}
|
||||
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||||
```
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||||
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## 总结
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细心的同学可能发现，**全文我说的都是对于纯完全背包问题，其for循环的先后循环是可以颠倒的！**
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但如果题目稍稍有点变化，就会体现在遍历顺序上。
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||||
如果问装满背包有几种方式的话？ 那么两个for循环的先后顺序就有很大区别了，而leetcode上的题目都是这种稍有变化的类型。
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||||
这个区别，我将在后面讲解具体leetcode题目中给大家介绍，因为这块如果不结合具题目，单纯的介绍原理估计很多同学会越看越懵！
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||||
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||||
别急，下一篇就是了！
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|
||||
最后，**又可以出一道面试题了，就是纯完全背包，要求先用二维dp数组实现，然后再用一维dp数组实现，最后再问，两个for循环的先后是否可以颠倒？为什么？**
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||||
这个简单的完全背包问题，估计就可以难住不少候选人了。
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||||
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||||
关于一维dp数组，大家看这里：[完全背包一维dp数组讲解](./背包问题完全背包一维.md)
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## 其他语言版本
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### Java：
|
||||
### Java
|
||||
|
||||
```java
|
||||
//先遍历物品，再遍历背包
|
||||
private static void testCompletePack(){
|
||||
int[] weight = {1, 3, 4};
|
||||
int[] value = {15, 20, 30};
|
||||
int bagWeight = 4;
|
||||
int[] dp = new int[bagWeight + 1];
|
||||
for (int i = 0; i < weight.length; i++){ // 遍历物品
|
||||
for (int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++){ // 遍历背包容量
|
||||
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
|
||||
```Java
|
||||
import java.util.Scanner;
|
||||
|
||||
public class Main {
|
||||
public static void main(String[] args) {
|
||||
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
|
||||
int n = scanner.nextInt();
|
||||
int bagWeight = scanner.nextInt();
|
||||
|
||||
int[] weight = new int[n];
|
||||
int[] value = new int[n];
|
||||
|
||||
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
||||
weight[i] = scanner.nextInt();
|
||||
value[i] = scanner.nextInt();
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
for (int maxValue : dp){
|
||||
System.out.println(maxValue + " ");
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
//先遍历背包，再遍历物品
|
||||
private static void testCompletePackAnotherWay(){
|
||||
int[] weight = {1, 3, 4};
|
||||
int[] value = {15, 20, 30};
|
||||
int bagWeight = 4;
|
||||
int[] dp = new int[bagWeight + 1];
|
||||
for (int i = 1; i <= bagWeight; i++){ // 遍历背包容量
|
||||
for (int j = 0; j < weight.length; j++){ // 遍历物品
|
||||
if (i - weight[j] >= 0){
|
||||
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - weight[j]] + value[j]);
|
||||
}
|
||||
int[][] dp = new int[n][bagWeight + 1];
|
||||
|
||||
// 初始化
|
||||
for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) {
|
||||
dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
for (int maxValue : dp){
|
||||
System.out.println(maxValue + " ");
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
### Python：
|
||||
|
||||
先遍历物品，再遍历背包（无参版）
|
||||
```python
|
||||
def test_CompletePack():
|
||||
weight = [1, 3, 4]
|
||||
value = [15, 20, 30]
|
||||
bagWeight = 4
|
||||
dp = [0] * (bagWeight + 1)
|
||||
for i in range(len(weight)): # 遍历物品
|
||||
for j in range(weight[i], bagWeight + 1): # 遍历背包容量
|
||||
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
|
||||
print(dp[bagWeight])
|
||||
|
||||
test_CompletePack()
|
||||
|
||||
```
|
||||
|
||||
先遍历物品，再遍历背包（有参版）
|
||||
```python
|
||||
def test_CompletePack(weight, value, bagWeight):
|
||||
dp = [0] * (bagWeight + 1)
|
||||
for i in range(len(weight)): # 遍历物品
|
||||
for j in range(weight[i], bagWeight + 1): # 遍历背包容量
|
||||
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
|
||||
return dp[bagWeight]
|
||||
|
||||
if __name__ == "__main__":
|
||||
weight = [1, 3, 4]
|
||||
value = [15, 20, 30]
|
||||
bagWeight = 4
|
||||
result = test_CompletePack(weight, value, bagWeight)
|
||||
print(result)
|
||||
|
||||
```
|
||||
先遍历背包，再遍历物品（无参版）
|
||||
```python
|
||||
def test_CompletePack():
|
||||
weight = [1, 3, 4]
|
||||
value = [15, 20, 30]
|
||||
bagWeight = 4
|
||||
|
||||
dp = [0] * (bagWeight + 1)
|
||||
|
||||
for j in range(bagWeight + 1): # 遍历背包容量
|
||||
for i in range(len(weight)): # 遍历物品
|
||||
if j - weight[i] >= 0:
|
||||
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
|
||||
|
||||
print(dp[bagWeight])
|
||||
|
||||
test_CompletePack()
|
||||
|
||||
|
||||
```
|
||||
|
||||
先遍历背包，再遍历物品（有参版）
|
||||
```python
|
||||
def test_CompletePack(weight, value, bagWeight):
|
||||
dp = [0] * (bagWeight + 1)
|
||||
for j in range(bagWeight + 1): # 遍历背包容量
|
||||
for i in range(len(weight)): # 遍历物品
|
||||
if j - weight[i] >= 0:
|
||||
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
|
||||
return dp[bagWeight]
|
||||
|
||||
|
||||
if __name__ == "__main__":
|
||||
weight = [1, 3, 4]
|
||||
value = [15, 20, 30]
|
||||
bagWeight = 4
|
||||
result = test_CompletePack(weight, value, bagWeight)
|
||||
print(result)
|
||||
|
||||
```
|
||||
|
||||
### Go：
|
||||
|
||||
```go
|
||||
|
||||
// test_CompletePack1 先遍历物品, 在遍历背包
|
||||
func test_CompletePack1(weight, value []int, bagWeight int) int {
|
||||
// 定义dp数组 和初始化
|
||||
dp := make([]int, bagWeight+1)
|
||||
// 遍历顺序
|
||||
for i := 0; i < len(weight); i++ {
|
||||
// 正序会多次添加 value[i]
|
||||
for j := weight[i]; j <= bagWeight; j++ {
|
||||
// 推导公式
|
||||
dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight[i]]+value[i])
|
||||
// debug
|
||||
//fmt.Println(dp)
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
return dp[bagWeight]
|
||||
}
|
||||
|
||||
// test_CompletePack2 先遍历背包, 在遍历物品
|
||||
func test_CompletePack2(weight, value []int, bagWeight int) int {
|
||||
// 定义dp数组 和初始化
|
||||
dp := make([]int, bagWeight+1)
|
||||
// 遍历顺序
|
||||
// j从0 开始
|
||||
for j := 0; j <= bagWeight; j++ {
|
||||
for i := 0; i < len(weight); i++ {
|
||||
if j >= weight[i] {
|
||||
// 推导公式
|
||||
dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight[i]]+value[i])
|
||||
}
|
||||
// debug
|
||||
//fmt.Println(dp)
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
return dp[bagWeight]
|
||||
}
|
||||
|
||||
func max(a, b int) int {
|
||||
if a > b {
|
||||
return a
|
||||
}
|
||||
return b
|
||||
}
|
||||
|
||||
func main() {
|
||||
weight := []int{1, 3, 4}
|
||||
price := []int{15, 20, 30}
|
||||
fmt.Println(test_CompletePack1(weight, price, 4))
|
||||
fmt.Println(test_CompletePack2(weight, price, 4))
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
### Javascript:
|
||||
|
||||
```Javascript
|
||||
// 先遍历物品，再遍历背包容量
|
||||
function test_completePack1() {
|
||||
let weight = [1, 3, 5]
|
||||
let value = [15, 20, 30]
|
||||
let bagWeight = 4
|
||||
let dp = new Array(bagWeight + 1).fill(0)
|
||||
for(let i = 0; i <= weight.length; i++) {
|
||||
for(let j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) {
|
||||
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
console.log(dp)
|
||||
}
|
||||
|
||||
// 先遍历背包容量，再遍历物品
|
||||
function test_completePack2() {
|
||||
let weight = [1, 3, 5]
|
||||
let value = [15, 20, 30]
|
||||
let bagWeight = 4
|
||||
let dp = new Array(bagWeight + 1).fill(0)
|
||||
for(let j = 0; j <= bagWeight; j++) {
|
||||
for(let i = 0; i < weight.length; i++) {
|
||||
if (j >= weight[i]) {
|
||||
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
console.log(2, dp);
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
### TypeScript：
|
||||
|
||||
```typescript
|
||||
// 先遍历物品，再遍历背包容量
|
||||
function test_CompletePack(): void {
|
||||
const weight: number[] = [1, 3, 4];
|
||||
const value: number[] = [15, 20, 30];
|
||||
const bagSize: number = 4;
|
||||
const dp: number[] = new Array(bagSize + 1).fill(0);
|
||||
for (let i = 0; i < weight.length; i++) {
|
||||
for (let j = weight[i]; j <= bagSize; j++) {
|
||||
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
console.log(dp);
|
||||
}
|
||||
test_CompletePack();
|
||||
```
|
||||
|
||||
### Scala:
|
||||
|
||||
```scala
|
||||
// 先遍历物品，再遍历背包容量
|
||||
object Solution {
|
||||
def test_CompletePack() {
|
||||
var weight = Array[Int](1, 3, 4)
|
||||
var value = Array[Int](15, 20, 30)
|
||||
var baseweight = 4
|
||||
|
||||
var dp = new Array[Int](baseweight + 1)
|
||||
|
||||
for (i <- 0 until weight.length) {
|
||||
for (j <- weight(i) to baseweight) {
|
||||
dp(j) = math.max(dp(j), dp(j - weight(i)) + value(i))
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
dp(baseweight)
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
### Rust:
|
||||
|
||||
```rust
|
||||
impl Solution {
|
||||
// 先遍历物品
|
||||
fn complete_pack() {
|
||||
let (goods, bag_size) = (vec![(1, 15), (3, 20), (4, 30)], 4);
|
||||
let mut dp = vec![0; bag_size + 1];
|
||||
for (weight, value) in goods {
|
||||
for j in weight..=bag_size {
|
||||
dp[j] = dp[j].max(dp[j - weight] + value);
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
println!("先遍历物品：{}", dp[bag_size]);
|
||||
}
|
||||
|
||||
// 先遍历背包
|
||||
fn complete_pack_after() {
|
||||
let (goods, bag_size) = (vec![(1, 15), (3, 20), (4, 30)], 4);
|
||||
let mut dp = vec![0; bag_size + 1];
|
||||
for i in 0..=bag_size {
|
||||
for (weight, value) in &goods {
|
||||
if i >= *weight {
|
||||
dp[i] = dp[i].max(dp[i - weight] + value);
|
||||
// 动态规划
|
||||
for (int i = 1; i < n; i++) {
|
||||
for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) {
|
||||
if (j < weight[i]) {
|
||||
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
|
||||
} else {
|
||||
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
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||||
}
|
||||
}
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||||
}
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||||
println!("先遍历背包：{}", dp[bag_size]);
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||||
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||||
System.out.println(dp[n - 1][bagWeight]);
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||||
scanner.close();
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||||
}
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||||
}
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||||
#[test]
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fn test_complete_pack() {
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Solution::complete_pack();
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||||
Solution::complete_pack_after();
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}
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```
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### Go
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### Python
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```python
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def knapsack(n, bag_weight, weight, value):
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dp = [[0] * (bag_weight + 1) for _ in range(n)]
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# 初始化
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for j in range(weight[0], bag_weight + 1):
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dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0]
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# 动态规划
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for i in range(1, n):
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||||
for j in range(bag_weight + 1):
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if j < weight[i]:
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dp[i][j] = dp[i - 1][j]
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||||
else:
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dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])
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||||
return dp[n - 1][bag_weight]
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||||
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# 输入
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n, bag_weight = map(int, input().split())
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weight = []
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value = []
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for _ in range(n):
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||||
w, v = map(int, input().split())
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||||
weight.append(w)
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value.append(v)
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# 输出结果
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print(knapsack(n, bag_weight, weight, value))
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```
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### JavaScript
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<p align="center">
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<a href="https://programmercarl.com/other/kstar.html" target="_blank">
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