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youngyangyang04
@ -126,6 +126,8 @@
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* [二叉树：搜索树转成累加树](https://mp.weixin.qq.com/s/hZtJh4T5lIGBarY-lZJf6Q)
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* [二叉树：总结篇！（需要掌握的二叉树技能都在这里了）](https://mp.weixin.qq.com/s/-ZJn3jJVdF683ap90yIj4Q)
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* 回溯算法
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* [关于回溯算法，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/gjSgJbNbd1eAA5WkA-HeWw)
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（持续更新中....）
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@ -1,47 +1,49 @@
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> 回溯法的第一道题目，就不简单呀！
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# 第77题. 组合
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题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/combinations/
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给定两个整数 n 和 k，返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。
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示例:
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输入: n = 4, k = 2
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输出:
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[
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[2,4],
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[3,4],
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[2,3],
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[1,2],
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[1,3],
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[1,4],
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]
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给定两个整数 n 和 k，返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。
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示例:
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输入: n = 4, k = 2
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输出:
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[
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[2,4],
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[3,4],
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[2,3],
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[1,2],
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[1,3],
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[1,4],
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]
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# 思路
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这是回溯法的经典题目。
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本题这是回溯法的经典题目。
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直觉上当然是使用for循环，例如示例中k为2，很容易想到 用两个for循环，这样就可以输出 和示例中一样的结果。
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直接的解法当然是使用for循环，例如示例中k为2，很容易想到 用两个for循环，这样就可以输出 和示例中一样的结果。
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代码如下：
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```
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int n = 4;
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
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cout << i << " " << j << endl;
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}
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int n = 4;
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||||
for (int i = 1; i <= n; i++) {
|
||||
for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
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||||
cout << i << " " << j << endl;
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}
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||||
}
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```
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输入：n = 100, k = 3
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那么就三层for循环，代码如下：
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```
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int n = 100;
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
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for (int u = j + 1; u <=n; n++) {
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||||
for (int u = j + 1; u <= n; n++) {
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cout << i << " " << j << " " << u << endl;
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}
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}
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}
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@ -49,46 +51,50 @@ for (int i = 1; i <= n; i++) {
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**如果n为100，k为50呢，那就50层for循环，是不是开始窒息**。
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那么回溯法就能解决这个问题了。
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**此时就会发现虽然想暴力搜索，但是用for循环嵌套连暴力都写不出来！**
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回溯是用来做选择，递归用来做节点层叠嵌套（可以理解是随便开K的for循环），**每一次的递归相当于嵌套一个for循环，可以用于解决多层嵌套循环的问题了**。
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咋整？
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**回溯问题都可以抽象为一棵树形结构！用树形结构来理解回溯就容易多了**。
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回溯搜索法来了，虽然回溯法也是暴力，但至少能写出来，不像for循环嵌套k层让人绝望。
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那么我们把组合问题抽象为如下树形结构：
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那么回溯法怎么暴力搜呢？
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上面我们说了**要解决 n为100，k为50的情况，暴力写法需要嵌套50层for循环，那么回溯法就用递归来解决嵌套层数的问题**。
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递归来做层叠嵌套（可以理解是开k层for循环），**每一次的递归中嵌套一个for循环，那么递归就可以用于解决多层嵌套循环的问题了**。
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此时递归的层数大家应该知道了，例如：n为100，k为50的情况下，就是递归50层。
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一些同学本来对递归就懵，回溯法中递归还要嵌套for循环，可能就直接晕倒了！
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如果脑洞模拟回溯搜索的过程，绝对可以让人窒息，所以需要抽象图形结构来进一步理解。
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**我们在[关于回溯算法，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/gjSgJbNbd1eAA5WkA-HeWw)中说道回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构（N叉树），用树形结构来理解回溯就容易多了**。
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那么我把组合问题抽象为如下树形结构：
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<img src='../pics/77.组合.png' width=600> </img></div>
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可以看出这个棵树，一开始集合是 1，2，3，4， 从左向右取数，取过的数，不在重复取。
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第一次取1，集合变为2，3，4 ，因为k为2，我们只需要再取一个数就可以了，分别取，2，3，4， 得到集合[1,2] [1,3] [1,4]，以此类推。
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第一次取1，集合变为2，3，4 ，因为k为2，我们只需要再取一个数就可以了，分别取2，3，4，得到集合[1,2] [1,3] [1,4]，以此类推。
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||||
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||||
**回溯的问题都可以抽象为一个树形结构，在求解组合问题的过程中，n相当于树的宽度，k相当于树的深度**。
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||||
**每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围**。
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**每次从集合中选组元素，可选择的范围随着选择的进行而限缩，调整可选择的范围**
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**图中可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度**。
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如何在这个树上遍历，然后收集到我们要的结果集呢？
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那么如何在这个树上遍历，然后收集到我们要的结果集呢？
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用的就是回溯搜索法，**可以发现，每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果**。
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||||
**图中每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果**。
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相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来，就可以求得 n个数中k个数的组合集合。
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在[关于回溯算法，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/gjSgJbNbd1eAA5WkA-HeWw)中我们提到了回溯法三部曲，那么我们按照回溯法三部曲开始正式讲解代码了。
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**一些同学对递归操作本来就不熟练，递归上面又加上一个for循环，直接晕倒！**
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## 回溯法三部曲
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##
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我再给大家捋顺一下。
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这个backtracking（递归函数）是从根节点向树的叶子节点方向遍历，**for循环可以理解是横向遍历，backtracking（递归）就是纵向遍历**，这样就把这棵树全遍历完了，如图所示：
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<img src='../pics/77.组合1.png' width=600> </img></div>
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backtracking一直往深处遍历，总会遇到叶子节点，遇到了叶子节点就要返回，那么backtracking的下面部分就是回溯的操作了，撤销本次处理的结果。
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## 求组合
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掌握了模板之后，我们再来看一下这道求组合的题目。
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* 回溯函数返回值以及参数
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* 递归函数的返回值以及参数
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在这里要定义两个全局变量，一个用来存放符合条件单一结果，一个用来存放符合条件结果的集合。
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@ -99,14 +105,16 @@ vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
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vector<int> path; // 用来存放符合条件结果
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```
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其实不定义这两个全局遍历也是可以的，把这两个变量放进回溯函数的参数里，但为了函数里参数太多影响可读性，所以我定义全局变量。
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其实不定义这两个全局遍历也是可以的，把这两个变量放进递归函数的参数里，但函数里参数太多影响可读性，所以我定义全局变量了。
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首先两个参数，集合n里面取k的数，是两个int型的变量。
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函数里一定有两个参数，既然是集合n里面取k的数，那么n和k是两个int型的参数。
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然后还需要一个参数，也为int型变量startIndex，这个参数用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。
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然后还需要一个参数，为int型变量startIndex，这个参数用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。
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为什么要有这个startIndex呢？
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**每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围，就是要靠startIndex**。
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从下图中红线部分可以看出，在集合[1,2,3,4]取1之后，下一层递归，就要在[2,3,4]中取数了，那么下一层递归如何知道从[2,3,4]中取数呢，靠的就是startIndex。
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<img src='../pics/77.组合2.png' width=600> </img></div>
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@ -125,7 +133,7 @@ void backtracking(int n, int k, int startIndex)
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什么时候到达所谓的叶子节点了呢？
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就是path这个数组的大小如果达到k，说明我们找到了一个集合大小为k的组合了，在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。
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path这个数组的大小如果达到k，说明我们找到了一个子集大小为k的组合了，在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。
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如图红色部分：
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@ -142,26 +150,30 @@ if (path.size() == k) {
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}
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```
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* 单层搜索的过程
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* 回溯搜索的遍历过程
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回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程，在如下图中，可以看出for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。
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在如下如中，我们知道for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。
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<img src='../pics/77.组合1.png' width=600> </img></div>
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如此我们才遍历完图中的这棵树。
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那么for循环每次就是从startIndex开始遍历，然后用path保存每次遍历到的节点。
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for循环每次从startIndex开始遍历，然后用path保存取到的节点i。
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代码如下：
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```
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for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
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for (int i = startIndex; i <= n; i++) { // 控制树的横向遍历
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path.push_back(i); // 处理节点
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backtracking(n, k, i + 1); // 注意下一层搜索要从i+1开始
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backtracking(n, k, i + 1); // 递归：控制树的纵向遍历，注意下一层搜索要从i+1开始
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path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
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}
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```
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可以看出backtracking（递归函数）通过不断调用自己一直往深处遍历，总会遇到叶子节点，遇到了叶子节点就要返回。
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backtracking的下面部分就是回溯的操作了，撤销本次处理的结果。
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关键地方都讲完了，组合问题C++完整代码如下：
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@ -177,71 +189,51 @@ private:
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}
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for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
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path.push_back(i); // 处理节点
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||||
backtracking(n, k, i + 1);
|
||||
backtracking(n, k, i + 1); // 递归
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||||
path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
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}
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||||
}
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public:
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||||
vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
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||||
result.clear(); // 可以不写
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path.clear(); // 可以不写
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||||
result.clear(); // 可以不写
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||||
path.clear(); // 可以不写
|
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backtracking(n, k, 1);
|
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return result;
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}
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};
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```
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## 剪枝优化
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在遍历的过程中如下代码 ：
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还记得我们在[关于回溯算法，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/gjSgJbNbd1eAA5WkA-HeWw)中给出的回溯法模板么？
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如下：
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```
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for (int i = startIndex; i <= n; i++)
|
||||
```
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||||
这个遍历的范围是可以剪枝优化的，怎么优化呢？
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||||
来举一个例子，n = 4， k = 4的话，那么从2开始的遍历都没有意义了。
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已经选择的元素个数：path.size();
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||||
要选择的元素个数 : k - path.size();
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||||
在集合n中开始选择的起始位置 : n - (k - path.size());
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||||
因为起始位置是从1开始的，而且代码里是n <= 起始位置，所以 集合n中开始选择的起始位置 : n - (k - path.size()) + 1;
|
||||
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||||
所以优化之后是：
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||||
|
||||
```
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||||
for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++)
|
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```
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||||
优化后整体代码如下：
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||||
|
||||
```
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||||
class Solution {
|
||||
private:
|
||||
vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
|
||||
vector<int> path; // 用来存放符合条件结果
|
||||
void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
|
||||
if (path.size() == k) {
|
||||
result.push_back(path);
|
||||
return;
|
||||
}
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||||
for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) {
|
||||
path.push_back(i); // 处理节点
|
||||
backtracking(n, k, i + 1);
|
||||
path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
|
||||
}
|
||||
void backtracking(参数) {
|
||||
if (终止条件) {
|
||||
存放结果;
|
||||
return;
|
||||
}
|
||||
public:
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||||
|
||||
vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
|
||||
backtracking(n, k, 1);
|
||||
return result;
|
||||
for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
|
||||
处理节点;
|
||||
backtracking(路径，选择列表); // 递归
|
||||
回溯，撤销处理结果
|
||||
}
|
||||
};
|
||||
}
|
||||
```
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||||
**对比一下本题的代码，是不是发现有点像！** 所以有了这个模板，就有解题的大体方向，不至于毫无头绪。
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# 总结
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组合问题是回溯法解决的经典问题，我们开始的时候给大家列举一个很形象的例子，就是n为100，k为50的话，直接想法就需要50层for循环。
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从而引出了回溯法就是解决这种k层for循环嵌套的问题。
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然后进一步把回溯法的搜索过程抽象为树形结构，可以直观的看出搜索的过程。
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接着用回溯法三部曲，逐步分析了函数参数、终止条件和单层搜索的过程。
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**本题其实是可以剪枝优化的，大家可以思考一下，具体如何剪枝我会在下一篇详细讲解，敬请期待！**
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||||
**就酱，如果对你有帮助，就帮Carl转发一下吧，让更多的同学发现这里！**
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59
problems/0077.组合优化.md
Normal file
59
problems/0077.组合优化.md
Normal file
@ -0,0 +1,59 @@
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||||
## 剪枝优化
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我们说过，回溯法虽然是暴力搜索，但也有时候可以有点剪枝优化一下的。
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在遍历的过程中有如下代码 ：
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```
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for (int i = startIndex; i <= n; i++)
|
||||
```
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||||
这个遍历的范围是可以剪枝优化的，怎么优化呢？
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||||
来举一个例子，n = 4， k = 4的话，那么从2开始的遍历都没有意义了。
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所以，可以优化递归中每一层中for循环搜索的起始位置。
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优化过程如下：
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1. 已经选择的元素个数：path.size();
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2. 要选择的元素个数 : k - path.size();
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3. 在集合n中开始选择的起始位置 : n - (k - path.size());
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||||
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||||
因为起始位置是从1开始的，而且代码里是n <= 起始位置，所以 集合n中开始选择的起始位置 : n - (k - path.size()) + 1;
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|
||||
所以优化之后是：
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```
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||||
for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++)
|
||||
```
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||||
优化后整体代码如下：
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||||
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||||
```
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||||
class Solution {
|
||||
private:
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||||
vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
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||||
vector<int> path; // 用来存放符合条件结果
|
||||
void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
|
||||
if (path.size() == k) {
|
||||
result.push_back(path);
|
||||
return;
|
||||
}
|
||||
for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) {
|
||||
path.push_back(i); // 处理节点
|
||||
backtracking(n, k, i + 1);
|
||||
path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
public:
|
||||
|
||||
vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
|
||||
backtracking(n, k, 1);
|
||||
return result;
|
||||
}
|
||||
};
|
||||
```
|
||||
@ -222,16 +222,16 @@ int countNodes(TreeNode* root) {
|
||||
```
|
||||
|
||||
## 回溯算法
|
||||
|
||||
```
|
||||
backtracking() {
|
||||
void backtracking(参数) {
|
||||
if (终止条件) {
|
||||
存放结果;
|
||||
return;
|
||||
}
|
||||
|
||||
for (选择：选择列表（可以想成树中节点孩子的数量）) {
|
||||
递归，处理节点;
|
||||
backtracking();
|
||||
for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
|
||||
处理节点;
|
||||
backtracking(路径，选择列表); // 递归
|
||||
回溯，撤销处理结果
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
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