diff --git a/README.md b/README.md index d74d5e91..f75138b9 100644 --- a/README.md +++ b/README.md @@ -126,6 +126,8 @@ * [二叉树：搜索树转成累加树](https://mp.weixin.qq.com/s/hZtJh4T5lIGBarY-lZJf6Q) * [二叉树：总结篇！（需要掌握的二叉树技能都在这里了）](https://mp.weixin.qq.com/s/-ZJn3jJVdF683ap90yIj4Q) +* 回溯算法 + * [关于回溯算法，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/gjSgJbNbd1eAA5WkA-HeWw) （持续更新中....） diff --git a/problems/0077.组合.md b/problems/0077.组合.md index b3aeb25c..74b0d95a 100644 --- a/problems/0077.组合.md +++ b/problems/0077.组合.md @@ -1,47 +1,49 @@ +> 回溯法的第一道题目，就不简单呀！ + # 第77题. 组合 题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/combinations/ -给定两个整数 n 和 k，返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。 -示例: - -输入: n = 4, k = 2 -输出: -[ - [2,4], - [3,4], - [2,3], - [1,2], - [1,3], - [1,4], -] +给定两个整数 n 和 k，返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。 +示例: +输入: n = 4, k = 2 +输出: +[ + [2,4], + [3,4], + [2,3], + [1,2], + [1,3], + [1,4], +] # 思路 -这是回溯法的经典题目。 +本题这是回溯法的经典题目。 -直觉上当然是使用for循环，例如示例中k为2，很容易想到 用两个for循环，这样就可以输出 和示例中一样的结果。 +直接的解法当然是使用for循环，例如示例中k为2，很容易想到 用两个for循环，这样就可以输出 和示例中一样的结果。 代码如下： ``` - int n = 4; - for (int i = 1; i <= n; i++) { - for (int j = i + 1; j <= n; j++) { - cout << i << " " << j << endl; - } +int n = 4; +for (int i = 1; i <= n; i++) { + for (int j = i + 1; j <= n; j++) { + cout << i << " " << j << endl; } +} ``` 输入：n = 100, k = 3 那么就三层for循环，代码如下： ``` +int n = 100; for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = i + 1; j <= n; j++) { - for (int u = j + 1; u <=n; n++) { - + for (int u = j + 1; u <= n; n++) { + cout << i << " " << j << " " << u << endl; } } } @@ -49,46 +51,50 @@ for (int i = 1; i <= n; i++) { **如果n为100，k为50呢，那就50层for循环，是不是开始窒息**。 -那么回溯法就能解决这个问题了。 +**此时就会发现虽然想暴力搜索，但是用for循环嵌套连暴力都写不出来！** -回溯是用来做选择，递归用来做节点层叠嵌套（可以理解是随便开K的for循环），**每一次的递归相当于嵌套一个for循环，可以用于解决多层嵌套循环的问题了**。 +咋整？ -**回溯问题都可以抽象为一棵树形结构！用树形结构来理解回溯就容易多了**。 +回溯搜索法来了，虽然回溯法也是暴力，但至少能写出来，不像for循环嵌套k层让人绝望。 -那么我们把组合问题抽象为如下树形结构： +那么回溯法怎么暴力搜呢？ + +上面我们说了**要解决 n为100，k为50的情况，暴力写法需要嵌套50层for循环，那么回溯法就用递归来解决嵌套层数的问题**。 + +递归来做层叠嵌套（可以理解是开k层for循环），**每一次的递归中嵌套一个for循环，那么递归就可以用于解决多层嵌套循环的问题了**。 + +此时递归的层数大家应该知道了，例如：n为100，k为50的情况下，就是递归50层。 + +一些同学本来对递归就懵，回溯法中递归还要嵌套for循环，可能就直接晕倒了！ + +如果脑洞模拟回溯搜索的过程，绝对可以让人窒息，所以需要抽象图形结构来进一步理解。 + +**我们在[关于回溯算法，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/gjSgJbNbd1eAA5WkA-HeWw)中说道回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构（N叉树），用树形结构来理解回溯就容易多了**。 + +那么我把组合问题抽象为如下树形结构： 可以看出这个棵树，一开始集合是 1，2，3，4， 从左向右取数，取过的数，不在重复取。 -第一次取1，集合变为2，3，4 ，因为k为2，我们只需要再取一个数就可以了，分别取，2，3，4， 得到集合[1,2] [1,3] [1,4]，以此类推。 +第一次取1，集合变为2，3，4 ，因为k为2，我们只需要再取一个数就可以了，分别取2，3，4，得到集合[1,2] [1,3] [1,4]，以此类推。 -**回溯的问题都可以抽象为一个树形结构，在求解组合问题的过程中，n相当于树的宽度，k相当于树的深度**。 +**每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围**。 -**每次从集合中选组元素，可选择的范围随着选择的进行而限缩，调整可选择的范围** +**图中可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度**。 -如何在这个树上遍历，然后收集到我们要的结果集呢？ +那么如何在这个树上遍历，然后收集到我们要的结果集呢？ -用的就是回溯搜索法，**可以发现，每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果**。 +**图中每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果**。 + +相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来，就可以求得 n个数中k个数的组合集合。 + +在[关于回溯算法，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/gjSgJbNbd1eAA5WkA-HeWw)中我们提到了回溯法三部曲，那么我们按照回溯法三部曲开始正式讲解代码了。 -**一些同学对递归操作本来就不熟练，递归上面又加上一个for循环，直接晕倒！** +## 回溯法三部曲 -## - -我再给大家捋顺一下。 - -这个backtracking（递归函数）是从根节点向树的叶子节点方向遍历，**for循环可以理解是横向遍历，backtracking（递归）就是纵向遍历**，这样就把这棵树全遍历完了，如图所示： - - - -backtracking一直往深处遍历，总会遇到叶子节点，遇到了叶子节点就要返回，那么backtracking的下面部分就是回溯的操作了，撤销本次处理的结果。 - -## 求组合 - -掌握了模板之后，我们再来看一下这道求组合的题目。 - -* 回溯函数返回值以及参数 +* 递归函数的返回值以及参数 在这里要定义两个全局变量，一个用来存放符合条件单一结果，一个用来存放符合条件结果的集合。 @@ -99,14 +105,16 @@ vector> result; // 存放符合条件结果的集合 vector path; // 用来存放符合条件结果 ``` -其实不定义这两个全局遍历也是可以的，把这两个变量放进回溯函数的参数里，但为了函数里参数太多影响可读性，所以我定义全局变量。 +其实不定义这两个全局遍历也是可以的，把这两个变量放进递归函数的参数里，但函数里参数太多影响可读性，所以我定义全局变量了。 -首先两个参数，集合n里面取k的数，是两个int型的变量。 +函数里一定有两个参数，既然是集合n里面取k的数，那么n和k是两个int型的参数。 -然后还需要一个参数，也为int型变量startIndex，这个参数用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。 +然后还需要一个参数，为int型变量startIndex，这个参数用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。 为什么要有这个startIndex呢？ +**每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围，就是要靠startIndex**。 + 从下图中红线部分可以看出，在集合[1,2,3,4]取1之后，下一层递归，就要在[2,3,4]中取数了，那么下一层递归如何知道从[2,3,4]中取数呢，靠的就是startIndex。 @@ -125,7 +133,7 @@ void backtracking(int n, int k, int startIndex) 什么时候到达所谓的叶子节点了呢？ -就是path这个数组的大小如果达到k，说明我们找到了一个集合大小为k的组合了，在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。 +path这个数组的大小如果达到k，说明我们找到了一个子集大小为k的组合了，在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。 如图红色部分： @@ -142,26 +150,30 @@ if (path.size() == k) { } ``` +* 单层搜索的过程 -* 回溯搜索的遍历过程 +回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程，在如下图中，可以看出for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。 -在如下如中，我们知道for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。 如此我们才遍历完图中的这棵树。 -那么for循环每次就是从startIndex开始遍历，然后用path保存每次遍历到的节点。 +for循环每次从startIndex开始遍历，然后用path保存取到的节点i。 代码如下： ``` -for (int i = startIndex; i <= n; i++) { +for (int i = startIndex; i <= n; i++) { // 控制树的横向遍历 path.push_back(i); // 处理节点 - backtracking(n, k, i + 1); // 注意下一层搜索要从i+1开始 + backtracking(n, k, i + 1); // 递归：控制树的纵向遍历，注意下一层搜索要从i+1开始 path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点 } ``` +可以看出backtracking（递归函数）通过不断调用自己一直往深处遍历，总会遇到叶子节点，遇到了叶子节点就要返回。 + +backtracking的下面部分就是回溯的操作了，撤销本次处理的结果。 + 关键地方都讲完了，组合问题C++完整代码如下： @@ -177,71 +189,51 @@ private: } for (int i = startIndex; i <= n; i++) { path.push_back(i); // 处理节点 - backtracking(n, k, i + 1); + backtracking(n, k, i + 1); // 递归 path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点 } } public: vector> combine(int n, int k) { - result.clear(); // 可以不写 - path.clear(); // 可以不写 + result.clear(); // 可以不写 + path.clear(); // 可以不写 backtracking(n, k, 1); return result; } }; ``` -## 剪枝优化 - -在遍历的过程中如下代码 ： +还记得我们在[关于回溯算法，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/gjSgJbNbd1eAA5WkA-HeWw)中给出的回溯法模板么？ +如下： ``` -for (int i = startIndex; i <= n; i++) -``` - -这个遍历的范围是可以剪枝优化的，怎么优化呢？ - -来举一个例子，n = 4， k = 4的话，那么从2开始的遍历都没有意义了。 - -已经选择的元素个数：path.size(); - -要选择的元素个数 : k - path.size(); - -在集合n中开始选择的起始位置 : n - (k - path.size()); - -因为起始位置是从1开始的，而且代码里是n <= 起始位置，所以 集合n中开始选择的起始位置 : n - (k - path.size()) + 1; - -所以优化之后是： - -``` -for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) -``` - -优化后整体代码如下： - -``` -class Solution { -private: - vector> result; // 存放符合条件结果的集合 - vector path; // 用来存放符合条件结果 - void backtracking(int n, int k, int startIndex) { - if (path.size() == k) { - result.push_back(path); - return; - } - for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) { - path.push_back(i); // 处理节点 - backtracking(n, k, i + 1); - path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点 - } +void backtracking(参数) { + if (终止条件) { + 存放结果; + return; } -public: - vector> combine(int n, int k) { - backtracking(n, k, 1); - return result; + for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) { + 处理节点; + backtracking(路径，选择列表); // 递归 + 回溯，撤销处理结果 } -}; +} ``` +**对比一下本题的代码，是不是发现有点像！** 所以有了这个模板，就有解题的大体方向，不至于毫无头绪。 + +# 总结 + +组合问题是回溯法解决的经典问题，我们开始的时候给大家列举一个很形象的例子，就是n为100，k为50的话，直接想法就需要50层for循环。 + +从而引出了回溯法就是解决这种k层for循环嵌套的问题。 + +然后进一步把回溯法的搜索过程抽象为树形结构，可以直观的看出搜索的过程。 + +接着用回溯法三部曲，逐步分析了函数参数、终止条件和单层搜索的过程。 + +**本题其实是可以剪枝优化的，大家可以思考一下，具体如何剪枝我会在下一篇详细讲解，敬请期待！** + +**就酱，如果对你有帮助，就帮Carl转发一下吧，让更多的同学发现这里！** diff --git a/problems/0077.组合优化.md b/problems/0077.组合优化.md new file mode 100644 index 00000000..8d9a1ed6 --- /dev/null +++ b/problems/0077.组合优化.md @@ -0,0 +1,59 @@ + +## 剪枝优化 + +我们说过，回溯法虽然是暴力搜索，但也有时候可以有点剪枝优化一下的。 + +在遍历的过程中有如下代码 ： + +``` +for (int i = startIndex; i <= n; i++) +``` + +这个遍历的范围是可以剪枝优化的，怎么优化呢？ + +来举一个例子，n = 4， k = 4的话，那么从2开始的遍历都没有意义了。 + +所以，可以优化递归中每一层中for循环搜索的起始位置。 + +优化过程如下： + +1. 已经选择的元素个数：path.size(); + +2. 要选择的元素个数 : k - path.size(); + +3. 在集合n中开始选择的起始位置 : n - (k - path.size()); + +因为起始位置是从1开始的，而且代码里是n <= 起始位置，所以 集合n中开始选择的起始位置 : n - (k - path.size()) + 1; + +所以优化之后是： + +``` +for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) +``` + +优化后整体代码如下： + +``` +class Solution { +private: + vector> result; // 存放符合条件结果的集合 + vector path; // 用来存放符合条件结果 + void backtracking(int n, int k, int startIndex) { + if (path.size() == k) { + result.push_back(path); + return; + } + for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) { + path.push_back(i); // 处理节点 + backtracking(n, k, i + 1); + path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点 + } + } +public: + + vector> combine(int n, int k) { + backtracking(n, k, 1); + return result; + } +}; +``` diff --git a/problems/算法模板.md b/problems/算法模板.md index 2656e62f..60046b68 100644 --- a/problems/算法模板.md +++ b/problems/算法模板.md @@ -222,16 +222,16 @@ int countNodes(TreeNode* root) { ``` ## 回溯算法 - ``` -backtracking() { +void backtracking(参数) { if (终止条件) { 存放结果; + return; } - for (选择：选择列表（可以想成树中节点孩子的数量）) { - 递归，处理节点; - backtracking(); + for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) { + 处理节点; + backtracking(路径，选择列表); // 递归 回溯，撤销处理结果 } }