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leetcode上没有纯01背包的问题，都是需要转化为01背包的题目，所以我先把通过纯01背包问题，把01背包原理讲清楚，后序讲解leetcode题目的时候，重点就是如何转化为01背包问题了。
01 背包
有N件物品和一个最多能被重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
这是标准的背包问题，以至于很多同学看了这个自然就会想到背包，甚至都不知道暴力的解法应该怎么解。
这样其实就是没有从底向上去思考，而是习惯性的只知道背包了，那么暴力的解法应该是怎么样的呢？
每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是O(2^n)，这里的n表示物品数量。
所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化！
目前leetcode上没有发现有纯01背包的题目，leetcode上相关01背包问题都是需要某种条件转化为01背包问题，所以 我举一个纯01背包的例子来给大家讲解。
把01背包理论和代码理解透彻了，我们再刷leetcode上的题目。
下面的讲解中，我举一个例子：
背包最大重量为4。
物品为：
| 重量 | 价值 | |
|---|---|---|
| 物品0 | 1 | 15 |
| 物品1 | 3 | 20 |
| 物品2 | 4 | 30 |
以下讲解和图示中出现的数字都是以这个例子为例。
- 确定dp数组以及下标的含义
对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
只看这个二维数组的定义，大家一定会有点懵，看下面这个图：
要时刻记着这个dp数组的含义，下面的一些步骤都围绕这dp数组的含义进行的，如果哪里看懵了，就来回顾一下i代表什么，j又代表什么。
- dp数组如何初始化
关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。
首先从dp[i][j]的定义触发，如果背包容量j为0的话，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：
那么其他下标应该初始化多少呢？
dp[i][j]在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，因为0就是最小的了，不会影响去最大价值的结果。
如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷了。例如：一个物品的价值是-2，但对应的位置依然初始化为0，那么去最大值的时候，就会取0而不是-2了，所以要初始化为负无穷。
这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。
而本题价值都是正整数，所以初始化为0就可以了。
如图：
很明显，红框的位置就是我们要求的结果
- 确定递推公式
再回顾一下dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
那么可以有两个方向推出来dp[i][j]，
- 由dp[i - 1][j]推出，即背包里不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]
- 由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
- 确定遍历顺序
确定递归公式之后，还要确定遍历顺序。
在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量
那么问题来了，先遍历 物品还是先遍历背包重量呢？
其实都可以！！ 但是先遍历物品更好理解。下面讲到具体原因的时候来在分析原因。
那么首先遍历物品，然后遍历背包重量。
注意 状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 中有两个下标为负数的情况，即：i - 1 和 j - weight[i]。
既然i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化，i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。
代码如下：
// 倒叙遍历
for (int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--) {
dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0]; // 初始化i为0时候的情况
}
大家应该发现，这个初始化为什么是倒叙的遍历的？正序遍历就不行么？
正序遍历还真就不行，dp[0][j]表示容量为j的背包存放物品0时候的最大价值，物品0的价值就是15，因为题目中说了**每个物品只有一个！**所以dp[0][j]如果不是初始值的话，就应该都是物品0的价值，也就是15。
但如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！ 例如代码如下：
// 正序遍历
for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) {
dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
}
例如dp[0][1] 是15，到了dp[0][2] = dp[0][2 - 1] + 15; 也就是dp[0][2] = 30 了，那么就是物品0被重复放入了。
所以一定要倒叙遍历，保证物品0只被放入一次！这一点对01背包很重要，后面在讲解滚动数组的时候，还会用到倒叙遍历来保证物品使用一次！
初始化dp数组之后，就可以先遍历物品，在遍历背包，然后使用公式推导了，代码如下：
// 遍历过程
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包重量
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
来看一下对应的dp数组的数值，如图：
最终结果就是dp[2][4]。
建议大家此时自己在纸上推导一遍，看看dp数组里每一个数值是不是这样的。
做动态规划的题目，最好的过程就是自己在纸上举一个例子把对应的dp数组的数值推导一下，然后在动手写代码！
很多同学做dp题目，遇到各种问题，然后凭感觉东改改西改改，怎么改都不对，或者稀里糊涂就改过了。
主要就是自己没有动手推导一下dp数组的演变过程，如果推导明白了，代码写出来就算有问题，只要把dp数组打印出来，对比一下和自己推导的有什么差异，很快就可以发现问题了。
遍历过程的代码其实优化的，我是为了把dp数组里数值完整表现出来，精简一下可以是：
// 遍历过程
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包重量
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
完整测试代码：
void 01bagProblem() {
int w[] = {1, 3, 4};
int v[] = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
vector<int> weight(w, w + sizeof(w)/sizeof(int));
vector<int> value(v, v + sizeof(v)/sizeof(int));
vector<vector<int>> dp(weight.size() + 1, vector<int>(bagWeight + 1, 0));
for (int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--) {
dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
}
// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; // 这个是为了展现dp数组里元素的变化，可以删掉
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
// 把dp数组打印出来，看看对不对
for (int i = 0 ; i < weight.size(); i++) {
for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) {
cout << dp[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
// 输出结果
cout << dp[weight.size() - 1][bagWeight] << endl;
}
上面我们讲到 两层for循环的顺序，讲解的过程是用先遍历物品，在遍历背包。
那么先遍历背包，再遍历物品，也是可以的！
例如这样：
// weight数组的大小 就是物品个数
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
为什么也是可以的呢？
要理解递归的本质和递推的方向。
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 递归公式中可以看出dp[i][j]是靠dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]推导出来的。
dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]] 都在dp[i][j]的左上角方向（包括正左和正上两个方向），那么先遍历物品，在遍历背包的过程如图所示：
在来看看先遍历背包，再遍历物品呢，如图：
大家可以看出，虽然两个for循环遍历的次序不同，但是dp[i][j]所需要的数据就是左上角，根本不影响dp[i][j]公式的推导！
这一点其实很多题解都没有说清楚，此时大家应该对01背包，两层for控制两个维度，究竟先遍历哪一个有一个深刻理解了。