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# 第77题. 组合
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题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/combinations/
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给定两个整数 n 和 k，返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。
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示例:
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输入: n = 4, k = 2
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输出:
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[
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[2,4],
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[3,4],
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[2,3],
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[1,2],
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[1,3],
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[1,4],
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]
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# 思路
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这是回溯法的经典题目。
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直觉上当然是使用for循环，例如示例中k为2，很容易想到 用两个for循环，这样就可以输出 和示例中一样的结果。
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代码如下：
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```
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int n = 4;
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
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cout << i << " " << j << endl;
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}
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}
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```
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输入：n = 100, k = 3
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那么就三层for循环，代码如下：
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```
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
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for (int u = j + 1; u <=n; n++) {
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}
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}
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}
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```
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**如果n为100，k为50呢，那就50层for循环，是不是开始窒息**。
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那么回溯法就能解决这个问题了。
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回溯是用来做选择，递归用来做节点层叠嵌套（可以理解是随便开K的for循环），**每一次的递归相当于嵌套一个for循环，可以用于解决多层嵌套循环的问题了**。
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**回溯问题都可以抽象为一棵树形结构！用树形结构来理解回溯就容易多了**。
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那么我们把组合问题抽象为如下树形结构：
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<img src='../pics/77.组合.png' width=600> </img></div>
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可以看出这个棵树，一开始集合是 1，2，3，4， 从左向右取数，取过的数，不在重复取。
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第一次取1，集合变为2，3，4 ，因为k为2，我们只需要再取一个数就可以了，分别取，2，3，4， 得到集合[1,2] [1,3] [1,4]，以此类推。
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**回溯的问题都可以抽象为一个树形结构，在求解组合问题的过程中，n相当于树的宽度，k相当于树的深度**。
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**每次从集合中选组元素，可选择的范围随着选择的进行而限缩，调整可选择的范围**
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如何在这个树上遍历，然后收集到我们要的结果集呢？
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用的就是回溯搜索法，**可以发现，每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果**。
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**这份模板，大家可以要记住了，后面做回溯搜索的题目，都离不开这个模板**。
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## 求组合
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掌握了模板之后，我们再来看一下这道求组合的题目。
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* 回溯函数返回值以及参数
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在这里要定义两个全局变量，一个用来存放符合条件单一结果，一个用来存放符合条件结果的集合。
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代码如下：
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```
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vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
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vector<int> path; // 用来存放符合条件结果
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```
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其实不定义这两个全局遍历也是可以的，把这两个变量放进回溯函数的参数里，但为了函数里参数太多影响可读性，所以我定义全局变量。
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首先两个参数，集合n里面取k的数，是两个int型的变量。
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然后还需要一个参数，也为int型变量startIndex，这个参数用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。
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为什么要有这个startIndex呢？
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从下图中红线部分可以看出，在集合[1,2,3,4]取1之后，下一层递归，就要在[2,3,4]中取数了，那么下一层递归如何知道从[2,3,4]中取数呢，靠的就是startIndex。
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<img src='../pics/77.组合2.png' width=600> </img></div>
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所以需要startIndex来记录下一层递归，搜索的起始位置。
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那么整体代码如下：
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```
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vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
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vector<int> path; // 用来存放符合条件单一结果
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void backtracking(int n, int k, int startIndex)
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```
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* 回溯函数终止条件
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什么时候到达所谓的叶子节点了呢？
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就是path这个数组的大小如果达到k，说明我们找到了一个集合大小为k的组合了，在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。
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如图红色部分：
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<img src='../pics/77.组合3.png' width=600> </img></div>
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此时用result二维数组，把path保存起来，并终止本层递归。
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所以终止条件代码如下：
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```
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if (path.size() == k) {
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result.push_back(path);
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return;
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}
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```
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* 回溯搜索的遍历过程
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在如下如中，我们知道for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。
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<img src='../pics/77.组合1.png' width=600> </img></div>
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如此我们才遍历完图中的这棵树。
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那么for循环每次就是从startIndex开始遍历，然后用path保存每次遍历到的节点。
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代码如下：
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```
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for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
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path.push_back(i); // 处理节点
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backtracking(n, k, i + 1); // 注意下一层搜索要从i+1开始
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path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
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}
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```
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关键地方都讲完了，组合问题C++完整代码如下：
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```
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class Solution {
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private:
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vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
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vector<int> path; // 用来存放符合条件结果
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void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
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if (path.size() == k) {
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result.push_back(path);
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return;
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}
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for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
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path.push_back(i); // 处理节点
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backtracking(n, k, i + 1);
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path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
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}
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}
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public:
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vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
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result.clear(); // 可以不写
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path.clear(); // 可以不写
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backtracking(n, k, 1);
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return result;
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}
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};
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```
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## 剪枝优化
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在遍历的过程中如下代码 ：
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```
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for (int i = startIndex; i <= n; i++)
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```
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这个遍历的范围是可以剪枝优化的，怎么优化呢？
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来举一个例子，n = 4， k = 4的话，那么从2开始的遍历都没有意义了。
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已经选择的元素个数：path.size();
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要选择的元素个数 : k - path.size();
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在集合n中开始选择的起始位置 : n - (k - path.size());
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因为起始位置是从1开始的，而且代码里是n <= 起始位置，所以 集合n中开始选择的起始位置 : n - (k - path.size()) + 1;
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所以优化之后是：
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```
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for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++)
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```
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优化后整体代码如下：
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```
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class Solution {
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private:
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vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
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vector<int> path; // 用来存放符合条件结果
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void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
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if (path.size() == k) {
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result.push_back(path);
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return;
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}
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for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) {
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path.push_back(i); // 处理节点
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backtracking(n, k, i + 1);
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path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
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}
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}
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public:
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vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
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backtracking(n, k, 1);
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return result;
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}
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||
};
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```
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