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<p align="center">
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</p>
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<p align="center"><strong>欢迎大家参与本项目，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们收益！</strong></p>
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# 动态规划：目标和！
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## 494. 目标和
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题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/target-sum/
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难度：中等
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给定一个非负整数数组，a1, a2, ..., an, 和一个目标数，S。现在你有两个符号 + 和 -。对于数组中的任意一个整数，你都可以从 + 或 -中选择一个符号添加在前面。
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返回可以使最终数组和为目标数 S 的所有添加符号的方法数。
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示例：
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输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3
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输出：5
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解释：
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-1+1+1+1+1 = 3
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+1-1+1+1+1 = 3
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+1+1-1+1+1 = 3
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+1+1+1-1+1 = 3
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+1+1+1+1-1 = 3
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一共有5种方法让最终目标和为3。
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提示：
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* 数组非空，且长度不会超过 20 。
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* 初始的数组的和不会超过 1000 。
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* 保证返回的最终结果能被 32 位整数存下。
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## 思路
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如果跟着「代码随想录」一起学过[回溯算法系列](https://mp.weixin.qq.com/s/r73thpBnK1tXndFDtlsdCQ)的录友，看到这道题，应该有一种直觉，就是感觉好像回溯法可以爆搜出来。
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事实确实如此，下面我也会给出相应的代码，只不过会超时，哈哈。
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这道题目咋眼一看和动态规划背包啥的也没啥关系。
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本题要如何使表达式结果为target，
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既然为target，那么就一定有 left组合 - right组合 = target。
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left + right等于sum，而sum是固定的。
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公式来了， left - (sum - left) = target -> left = (target + sum)/2 。
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target是固定的，sum是固定的，left就可以求出来。
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此时问题就是在集合nums中找出和为left的组合。
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## 回溯算法
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在回溯算法系列中，一起学过这道题目[回溯算法：39. 组合总和](https://mp.weixin.qq.com/s/FLg8G6EjVcxBjwCbzpACPw)的录友应该感觉很熟悉，这不就是组合总和问题么？
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此时可以套组合总和的回溯法代码，几乎不用改动。
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当然，也可以转变成序列区间选+ 或者 -，使用回溯法，那就是另一个解法。
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我也把代码给出来吧，大家可以了解一下，回溯的解法，以下是本题转变为组合总和问题的回溯法代码：
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```C++
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class Solution {
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private:
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vector<vector<int>> result;
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vector<int> path;
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void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
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if (sum == target) {
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result.push_back(path);
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}
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// 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
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for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
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sum += candidates[i];
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path.push_back(candidates[i]);
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backtracking(candidates, target, sum, i + 1);
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sum -= candidates[i];
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path.pop_back();
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}
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}
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public:
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int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
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int sum = 0;
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for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
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if (S > sum) return 0; // 此时没有方案
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if ((S + sum) % 2) return 0; // 此时没有方案，两个int相加的时候要各位小心数值溢出的问题
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int bagSize = (S + sum) / 2; // 转变为组合总和问题，bagsize就是要求的和
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// 以下为回溯法代码
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result.clear();
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path.clear();
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sort(nums.begin(), nums.end()); // 需要排序
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backtracking(nums, bagSize, 0, 0);
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return result.size();
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}
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};
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```
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当然以上代码超时了。
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也可以使用记忆化回溯，但这里我就不在回溯上下功夫了，直接看动规吧
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## 动态规划
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如何转化为01背包问题呢。
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假设加法的总和为x，那么减法对应的总和就是sum - x。
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所以我们要求的是 x - (sum - x) = S
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x = (S + sum) / 2
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**此时问题就转化为，装满容量为x背包，有几种方法**。
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大家看到(S + sum) / 2 应该担心计算的过程中向下取整有没有影响。
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这么担心就对了，例如sum 是5，S是2的话其实就是无解的，所以：
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```C++
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if ((S + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
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```
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**看到这种表达式，应该本能的反应，两个int相加数值可能溢出的问题，当然本题并没有溢出**。
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再回归到01背包问题，为什么是01背包呢？
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因为每个物品（题目中的1）只用一次！
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这次和之前遇到的背包问题不一样了，之前都是求容量为j的背包，最多能装多少。
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本题则是装满有几种方法。其实这就是一个组合问题了。
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1. 确定dp数组以及下标的含义
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dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[i]种方法
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其实也可以使用二维dp数组来求解本题，dp[i][j]：使用 下标为[0, i]的nums[i]能够凑满j（包括j）这么大容量的包，有dp[i][j]种方法。
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下面我都是统一使用一维数组进行讲解， 二维降为一维（滚动数组），其实就是上一层拷贝下来，这个我在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://mp.weixin.qq.com/s/M4uHxNVKRKm5HPjkNZBnFA)也有介绍。
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2. 确定递推公式
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有哪些来源可以推出dp[j]呢？
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不考虑nums[i]的情况下，填满容量为j - nums[i]的背包，有dp[j - nums[i]]中方法。
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那么只要搞到nums[i]的话，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。
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举一个例子,nums[i] = 2： dp[3]，填满背包容量为3的话，有dp[3]种方法。
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那么只需要搞到一个2（nums[i]），有dp[3]方法可以凑齐容量为3的背包，相应的就有多少种方法可以凑齐容量为5的背包。
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那么需要把 这些方法累加起来就可以了，dp[i] += dp[j - nums[i]]
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所以求组合类问题的公式，都是类似这种：
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```
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dp[j] += dp[j - nums[i]]
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```
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**这个公式在后面在讲解背包解决排列组合问题的时候还会用到！**
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3. dp数组如何初始化
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从递归公式可以看出，在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递归结果将都是0。
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dp[0] = 1，理论上也很好解释，装满容量为0的背包，有1种方法，就是装0件物品。
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dp[j]其他下标对应的数值应该初始化为0，从递归公式也可以看出，dp[j]要保证是0的初始值，才能正确的由dp[j - nums[i]]推导出来。
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4. 确定遍历顺序
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在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://mp.weixin.qq.com/s/M4uHxNVKRKm5HPjkNZBnFA)中，我们讲过对于01背包问题一维dp的遍历，nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序。
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5. 举例推导dp数组
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输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3
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bagSize = (S + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4
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dp数组状态变化如下：
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C++代码如下：
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```C++
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class Solution {
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public:
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int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
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int sum = 0;
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for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
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if (S > sum) return 0; // 此时没有方案
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if ((S + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
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int bagSize = (S + sum) / 2;
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vector<int> dp(bagSize + 1, 0);
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dp[0] = 1;
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for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
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for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) {
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dp[j] += dp[j - nums[i]];
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}
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}
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return dp[bagSize];
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}
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};
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```
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* 时间复杂度O(n * m)，n为正数个数，m为背包容量
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* 空间复杂度：O(m) m为背包容量
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## 总结
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此时 大家应该不仅想起，我们之前讲过的[回溯算法：39. 组合总和](https://mp.weixin.qq.com/s/FLg8G6EjVcxBjwCbzpACPw)是不是应该也可以用dp来做啊？
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是的，如果仅仅是求个数的话，就可以用dp，但[回溯算法：39. 组合总和](https://mp.weixin.qq.com/s/FLg8G6EjVcxBjwCbzpACPw)要求的是把所有组合列出来，还是要使用回溯法爆搜的。
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本地还是有点难度，大家也可以记住，在求装满背包有几种方法的情况下，递推公式一般为：
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```
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dp[j] += dp[j - nums[i]];
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```
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后面我们在讲解完全背包的时候，还会用到这个递推公式！
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## 其他语言版本
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Java：
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Python：
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Go：
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* 作者微信：[程序员Carl](https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw)
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* B站视频：[代码随想录](https://space.bilibili.com/525438321)
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* 知识星球：[代码随想录](https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ)
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