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修改 README.md中 “bellman_ford之单源有限最短路”的错误链接以及相应md中的错误链接
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程序员Carl
2024-10-27 10:35:56 +08:00
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24. [图论Bellman_ford 算法](./problems/kamacoder/0094.城市间货物运输I.md)
25. [图论Bellman_ford 队列优化算法又名SPFA](./problems/kamacoder/0094.城市间货物运输I-SPFA.md)
26. [图论Bellman_ford之判断负权回路](./problems/kamacoder/0095.城市间货物运输II.md)
27. [图论Bellman_ford之单源有限最短路](./problems/kamacoder/0095.城市间货物运输II.md)
27. [图论Bellman_ford之单源有限最短路](./problems/kamacoder/0096.城市间货物运输III.md)
28. [图论Floyd 算法](./problems/kamacoder/0097.小明逛公园.md)
29. [图论A * 算法](./problems/kamacoder/0126.骑士的攻击astar.md)
30. [图论:最短路算法总结篇](./problems/kamacoder/最短路问题总结篇.md)

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## 思路
本题是 [kama94.城市间货物运输I](./kama94.城市间货物运输I.md) 延伸题目。
本题是 [kama94.城市间货物运输I](./0094.城市间货物运输I.md) 延伸题目。
本题是要我们判断 负权回路,也就是图中出现环且环上的边总权值为负数。
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接下来我们来看 如何使用 bellman_ford 算法来判断 负权回路。
在 [kama94.城市间货物运输I](./kama94.城市间货物运输I.md) 中 我们讲了 bellman_ford 算法的核心就是一句话:对 所有边 进行 n-1 次松弛。 同时文中的 【拓展】部分, 我们也讲了 松弛n次以上 会怎么样?
在 [kama94.城市间货物运输I](./0094.城市间货物运输I.md) 中 我们讲了 bellman_ford 算法的核心就是一句话:对 所有边 进行 n-1 次松弛。 同时文中的 【拓展】部分, 我们也讲了 松弛n次以上 会怎么样?
在没有负权回路的图中,松弛 n 次以上 ,结果不会有变化。
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那么每松弛一次,都会更新最短路径,所以结果会一直有变化。
(如果对于 bellman_ford 不了解的录友,建议详细看这里:[kama94.城市间货物运输I](./kama94.城市间货物运输I.md)
(如果对于 bellman_ford 不了解的录友,建议详细看这里:[kama94.城市间货物运输I](./0094.城市间货物运输I.md)
以上为理论分析,接下来我们再画图举例。
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如果在负权回路多绕两圈,三圈,无穷圈,那么我们的总成本就会无限小, 如果要求最小成本的话,你会发现本题就无解了。
在 bellman_ford 算法中,松弛 n-1 次所有的边 就可以求得 起点到任何节点的最短路径,松弛 n 次以上minDist数组记录起到到其他节点的最短距离中的结果也不会有改变 (如果对 bellman_ford 算法 不了解,也不知道 minDist 是什么,建议详看上篇讲解[kama94.城市间货物运输I](./kama94.城市间货物运输I.md)
在 bellman_ford 算法中,松弛 n-1 次所有的边 就可以求得 起点到任何节点的最短路径,松弛 n 次以上minDist数组记录起到到其他节点的最短距离中的结果也不会有改变 (如果对 bellman_ford 算法 不了解,也不知道 minDist 是什么,建议详看上篇讲解[kama94.城市间货物运输I](./0094.城市间货物运输I.md)
而本题有负权回路的情况下,一直都会有更短的最短路,所以 松弛 第n次minDist数组 也会发生改变。
那么解决本题的 核心思路,就是在 [kama94.城市间货物运输I](./kama94.城市间货物运输I.md) 的基础上再多松弛一次看minDist数组 是否发生变化。
那么解决本题的 核心思路,就是在 [kama94.城市间货物运输I](./0094.城市间货物运输I.md) 的基础上再多松弛一次看minDist数组 是否发生变化。
代码和 [kama94.城市间货物运输I](./kama94.城市间货物运输I.md) 基本是一样的,如下:(关键地方已注释)
代码和 [kama94.城市间货物运输I](./0094.城市间货物运输I.md) 基本是一样的,如下:(关键地方已注释)
```CPP
#include <iostream>

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## 思路
本题为单源有限最短路问题,同样是 [kama94.城市间货物运输I](./kama94.城市间货物运输I.md) 延伸题目。
本题为单源有限最短路问题,同样是 [kama94.城市间货物运输I](./0094.城市间货物运输I.md) 延伸题目。
注意题目中描述是 **最多经过 k 个城市的条件下而不是一定经过k个城市也可以经过的城市数量比k小但要最短的路径**
在 [kama94.城市间货物运输I](./kama94.城市间货物运输I.md) 中我们讲了:**对所有边松弛一次,相当于计算 起点到达 与起点一条边相连的节点 的最短距离**。
在 [kama94.城市间货物运输I](./0094.城市间货物运输I.md) 中我们讲了:**对所有边松弛一次,相当于计算 起点到达 与起点一条边相连的节点 的最短距离**。
节点数量为n起点到终点最多是 n-1 条边相连。 那么对所有边松弛 n-1 次 就一定能得到 起点到达 终点的最短距离。
(如果对以上讲解看不懂,建议详看 [kama94.城市间货物运输I](./kama94.城市间货物运输I.md)
(如果对以上讲解看不懂,建议详看 [kama94.城市间货物运输I](./0094.城市间货物运输I.md)
本题是最多经过 k 个城市, 那么是 k + 1条边相连的节点。 这里可能有录友想不懂为什么是k + 1来看这个图
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对所有边松弛一次,相当于计算 起点到达 与起点一条边相连的节点 的最短距离,那么对所有边松弛 k + 1次就是求 起点到达 与起点k + 1条边相连的节点的 最短距离。
**注意** 本题是 [kama94.城市间货物运输I](./kama94.城市间货物运输I.md) 的拓展题,如果对 bellman_ford 没有深入了解,强烈建议先看 [kama94.城市间货物运输I](./kama94.城市间货物运输I.md) 再做本题。
**注意** 本题是 [kama94.城市间货物运输I](./0094.城市间货物运输I.md) 的拓展题,如果对 bellman_ford 没有深入了解,强烈建议先看 [kama94.城市间货物运输I](./0094.城市间货物运输I.md) 再做本题。
理解以上内容其实本题代码就很容易了bellman_ford 标准写法是松弛 n-1 次,本题就松弛 k + 1次就好。
@ -366,19 +366,19 @@ int main() {
## 拓展二(本题本质)
那么前面讲解过的 [94.城市间货物运输I](./kama94.城市间货物运输I.md) 和 [95.城市间货物运输II](./kama95.城市间货物运输II.md) 也是bellman_ford经典算法也没使用 minDist_copy怎么就没问题呢
那么前面讲解过的 [94.城市间货物运输I](./0094.城市间货物运输I.md) 和 [95.城市间货物运输II](./0095.城市间货物运输II.md) 也是bellman_ford经典算法也没使用 minDist_copy怎么就没问题呢
> 如果没看过我上面这两篇讲解的话,建议详细学习上面两篇,再看我下面讲的区别,否则容易看不懂。
[94.城市间货物运输I](./kama94.城市间货物运输I.md) 是没有 负权回路的,那么 多松弛多少次,对结果都没有影响。
[94.城市间货物运输I](./0094.城市间货物运输I.md) 是没有 负权回路的,那么 多松弛多少次,对结果都没有影响。
求 节点1 到 节点n 的最短路径松弛n-1 次就够了,松弛 大于 n-1次结果也不会变。
那么在对所有边进行第一次松弛的时候,如果基于 本次计算的 minDist 来计算 minDist (相当于多做松弛了),也是对最终结果没影响。
[95.城市间货物运输II](./kama95.城市间货物运输II.md) 是判断是否有 负权回路,一旦有负权回路, 对所有边松弛 n-1 次以后,在做松弛 minDist 数值一定会变,根据这一点来判断是否有负权回路。
[95.城市间货物运输II](./0095.城市间货物运输II.md) 是判断是否有 负权回路,一旦有负权回路, 对所有边松弛 n-1 次以后,在做松弛 minDist 数值一定会变,根据这一点来判断是否有负权回路。
所以,[95.城市间货物运输II](./kama95.城市间货物运输II.md) 只需要判断minDist数值变化了就行而 minDist 的数值对不对,并不是我们关心的。
所以,[95.城市间货物运输II](./0095.城市间货物运输II.md) 只需要判断minDist数值变化了就行而 minDist 的数值对不对,并不是我们关心的。
那么本题 为什么计算minDist 一定要基于上次 的 minDist 数值。