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synced 2025-07-07 15:45:40 +08:00
Update
This commit is contained in:
youngyangyang04
@ -1,6 +1,17 @@
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## 题目地址
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https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray/
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> 从本题开始，贪心题目都比较难了！
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通知：一些录友表示经常看不到每天的文章，现在公众号已经不按照发送时间推荐了，而是根据一些规则乱序推送，所以可能关注了「代码随想录」也一直看不到文章，建议把「代码随想录」设置星标哈，设置星标之后，每天就按发文时间推送了，我每天都是定时8:35发送的，嗷嗷准时！
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# 53. 最大子序和
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题目地址：https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray/
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给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
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示例:
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输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
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输出: 6
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解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
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# 思路
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@ -28,22 +39,35 @@ public:
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};
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```
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## 贪心解法
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以上暴力的解法C++勉强可以过，其他语言就不确定了。
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贪心解法，其实不是很好理解， 看上面暴力的解法是两层for循环，那如何省掉一层for循环呢
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## 贪心解法
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**贪心贪的是哪里呢？**
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如果 -2 1 在一起，计算起点的时候，一定是从1开始计算，因为负数只会拉低总和，这就是贪心贪的地方！
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同样的道理，遍历nums，从头开始用count累积，如果count一旦加上nums[i]变为负数，那么就应该从nums[i+1]开始从头累积count了（也就是此时count要归0），因为已经变为负数的count，只会拖累总和。
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局部最优：当前“连续和”为负数的时候立刻放弃，从下一个元素重新计算“连续和”，因为负数加上下一个元素 “连续和”只会越来越小。
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相当于是不断调整区间的起始位置。
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全局最优：选取最大“连续和”
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**局部最优的情况下，并记录最大的“连续和”，可以推出全局最优**。
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**那有同学问了，区间终止位置不用调整么？ 如何才能得到最大子序和呢？**
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从代码角度上来讲：遍历nums，从头开始用count累积，如果count一旦加上nums[i]变为负数，那么就应该从nums[i+1]开始从0累积count了，因为已经变为负数的count，只会拖累总和。
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区间的终止位置，其实就是如果count取到最大值了，用result记录一下就可以了。
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**这相当于是暴力解法中的不断调整最大子序和区间的起始位置**。
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**那有同学问了，区间终止位置不用调整么？ 如何才能得到最大“连续和”呢？**
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区间的终止位置，其实就是如果count取到最大值了，及时记录下来了。例如如下代码：
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```
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if (count > result) result = count;
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```
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**这样相当于是用result记录最大子序和区间和（变相的算是调整了终止位置）**。
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如动画所示：
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@ -51,7 +75,7 @@ public:
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红色的起始位置就是贪心每次取count为正数的时候，开始一个区间的统计。
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不难写出如下C++代码（关键地方已经注释）
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那么不难写出如下C++代码（关键地方已经注释）
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```
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class Solution {
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@ -70,9 +94,48 @@ public:
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}
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};
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```
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时间复杂度：O(n)
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空间复杂度：O(1)
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时间复杂度：O(n)
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空间复杂度：O(1)
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当然题目没有说如果数组为空，应该返回什么，所以数组为空的话返回啥都可以了。
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## 动态规划
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当然本题还可以用动态规划来做，当前[「代码随想录」](https://img-blog.csdnimg.cn/20201124161234338.png)主要讲解贪心系列，后续到动态规划系列的时候会详细讲解本题的dp方法。
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那么先给出我的dp代码如下，有时间的录友可以提前做一做：
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```
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class Solution {
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public:
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int maxSubArray(vector<int>& nums) {
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if (nums.size() == 0) return 0;
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vector<int> dp(nums.size(), 0); // dp[i]表示包括i之前的最大连续子序列和
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dp[0] = nums[0];
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int result = dp[0];
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for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
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dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]); // 状态转移公式
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if (dp[i] > result) result = dp[i]; // result 保存dp[i]的最大值
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}
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return result;
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}
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};
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```
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时间复杂度：O(n)
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空间复杂度：O(n)
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# 总结
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本题的贪心思路其实并不好想，这也进一步验证了，别看贪心理论很直白，有时候看似是常识，但贪心的题目一点都不简单！
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后续将介绍的贪心题目都挺难的，哈哈，所以贪心很有意思，别小看贪心！
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就酱，如果感觉「代码随想录」干货满满，就帮忙转发一波吧，让更多的小伙伴知道这里！
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> **我是[程序员Carl](https://github.com/youngyangyang04)，可以找我[组队刷题](https://img-blog.csdnimg.cn/20201115103410182.png)，也可以在[B站上找到我](https://space.bilibili.com/525438321)，本文[leetcode刷题攻略](https://github.com/youngyangyang04/leetcode-master)已收录，更多[精彩算法文章](https://mp.weixin.qq.com/mp/appmsgalbum?__biz=MzUxNjY5NTYxNA==&action=getalbum&album_id=1485825793120387074&scene=173#wechat_redirect)尽在公众号：[代码随想录](https://img-blog.csdnimg.cn/20201124161234338.png)，关注后就会发现和「代码随想录」相见恨晚！**
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**如果感觉题解对你有帮助，不要吝啬给一个👍吧！**
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> 我是[程序员Carl](https://github.com/youngyangyang04)，组队刷题可以找我，本文[leetcode刷题攻略](https://github.com/youngyangyang04/leetcode-master)已收录，更多[精彩算法文章](https://mp.weixin.qq.com/mp/appmsgalbum?__biz=MzUxNjY5NTYxNA==&action=getalbum&album_id=1485825793120387074&scene=173#wechat_redirect)尽在：[代码随想录](https://img-blog.csdnimg.cn/20200815195519696.png)，期待你的关注！
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@ -1,12 +1,81 @@
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// 这道题小细节很多
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// 感觉这道题可以用回溯法啊
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// 转为01 背包 思路不好想啊
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// dp数组难在如何初始化
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// dp 数组 通常比较长
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如果跟着「代码随想录」一起学过[回溯算法系列](https://mp.weixin.qq.com/s/r73thpBnK1tXndFDtlsdCQ)的录友，看到这道题，应该有一种直觉，就是感觉好像回溯法可以爆搜出来。
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事实确实如此，下面我也会给出响应的代码，只不过会超时，哈哈。
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这道题目咋眼一看和动态规划背包啥的也没啥关系。
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本题要如何是表达式结果为target，
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既然为target，那么就一定有 left组合 - right组合 = target，中的left 和right一定是固定大小的，因为left + right要等于sum，而sum是固定的。
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公式来了， left - (sum - left) = target -> left = (target + sum)/2 。
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target是固定的，sum是固定的，left就可以求出来。
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此时问题就是在集合nums中找出和为left的组合。
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在回溯算法系列中，一起学过这道题目[回溯算法：39. 组合总和](https://mp.weixin.qq.com/s/FLg8G6EjVcxBjwCbzpACPw)的录友应该感觉很熟悉，这不就是组合总和问题么？
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此时可以套组合总和的回溯法代码，几乎不用改动。
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当然，也可以转变成序列区间选+ 或者 -，使用回溯法，那就是另一个解法。
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但无论哪种回溯法，时间复杂度都是是O(2^n)级别，**所以最后超时了**。
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我也把代码给出来吧，大家可以了解一下，回溯的解法，以下是本题转变为组合总和问题的回溯法代码：
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```
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class Solution {
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private:
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vector<vector<int>> result;
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vector<int> path;
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void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
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if (sum == target) {
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result.push_back(path);
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}
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// 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
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for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
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sum += candidates[i];
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path.push_back(candidates[i]);
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backtracking(candidates, target, sum, i + 1);
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sum -= candidates[i];
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path.pop_back();
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}
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}
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public:
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int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
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int sum = 0;
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for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
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if (S > sum) return 0; // 此时没有方案
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if ((S + sum) % 2) return 0; // 此时没有方案，两个int相加的时候要各位小心数值溢出的问题
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int bagSize = (S + sum) / 2; // 转变为组合总和问题，bagsize就是要求的和
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// 以下为回溯法代码
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result.clear();
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path.clear();
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sort(nums.begin(), nums.end()); // 需要排序
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backtracking(nums, bagSize, 0, 0);
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return result.size();
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}
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};
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```
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## 动态规划
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使用背包要明确dp[i]表示的是什么，i表示的又是什么
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// 时间复杂度O(n^2)
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// 空间复杂度可以说是O(n)，也可以说是O(1)，因为每次申请的辅助数组的大小是一个常数
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class Solution {
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public:
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int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
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int sum = 0;
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@ -16,17 +85,20 @@ public:
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int bagSize = (S + sum) / 2;
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int dp[1001] = {1};
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//for (int i = 0; i < nums.size(); i++) dp[nums[i]] = 1;
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for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
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for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) {
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if (j - nums[i] >= 0) dp[j] += dp[j - nums[i]];
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}
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||||
//for (int k = 0; k <= bagSize; k++) {
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// cout << dp[k] << " ";
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//}
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||||
//cout << endl;
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}
|
||||
return dp[bagSize];
|
||||
}
|
||||
};
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||||
```
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# 总结
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此时 大家应该不仅想起，我们之前讲过的[回溯算法：39. 组合总和](https://mp.weixin.qq.com/s/FLg8G6EjVcxBjwCbzpACPw)是不是应该也可以用dp来做啊？
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是的，如果仅仅是求个数的话，就可以用dp，但[回溯算法：39. 组合总和](https://mp.weixin.qq.com/s/FLg8G6EjVcxBjwCbzpACPw)要求的是把所有组合列出来，还是要使用回溯法爆搜的。
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