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problems/背包理论基础01背包-一维DP.md

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+# 动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）
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+昨天[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/FwIiPPmR18_AJO5eiidT6w)中是用二维dp数组来讲解01背包。
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+今天我们就来说一说滚动数组，其实在前面的题目中我们已经用到过滚动数组了，就是把二维dp降为一维dp，一些录友当时还表示比较困惑。
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+那么我们通过01背包，来彻底讲一讲滚动数组！
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+接下来还是用如下这个例子来进行讲解
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+背包最大重量为4。
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+物品为：
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+|       | 重量 | 价值 |
+| ---   | ---  | ---  |
+| 物品0 | 1    | 15   |
+| 物品1 | 3    | 20   |
+| 物品2 | 4    | 30   |
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+问背包能背的物品最大价值是多少？
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+## 一维dp数组（滚动数组）
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+对于背包问题其实状态都是可以压缩的。
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+在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
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+**其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);**
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+**于其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了**，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。
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+这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。
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+读到这里估计大家都忘了 dp[i][j]里的i和j表达的是什么了，i是物品，j是背包容量。
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+**dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少**。
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+一定要时刻记住这里i和j的含义，要不然很容易看懵了。
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+动规五部曲分析如下：
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+1. 确定dp数组的定义
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+在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。
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+2. 一维dp数组的递推公式
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+dp[j]为 容量为j的背包所背的最大价值，那么如何推导dp[j]呢？
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+dp[j]可以通过dp[j - weight[j]]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。
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+dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量为 j - 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）
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+此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j]，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，指定是取最大的，毕竟是求最大价值，
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+所以递归公式为：
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+```
+dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
+```
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+可以看出相对于二维dp数组的写法，就是把dp[i][j]中i的维度去掉了。
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+3. 一维dp数组如何初始化
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+**关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱**。
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+dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。
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+那么dp数组除了下标0的位置，初始为0，其他下标应该初始化多少呢？
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+看一下递归公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
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+dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。
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+**这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了**。
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+那么我假设物品价值都是大于0的，所以dp数组初始化的时候，都初始为0就可以了。
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+4. 一维dp数组遍历顺序
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+代码如下：
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+```
+for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
+    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
+        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
+
+    }
+}
+```
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+**这里大家发现和二维dp的写法中，遍历背包的顺序是不一样的！**
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+二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小。
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+为什么呢？
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+**倒叙遍历是为了保证物品i只被放入一次！**，在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/FwIiPPmR18_AJO5eiidT6w)中讲解二维dp数组初始化dp[0][j]时候已经讲解到过一次。
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+举一个例子：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15
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+如果正序遍历
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+dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15
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+dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30
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+此时dp[2]就已经是30了，意味着物品0，被放入了两次，所以不能正序遍历。
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+为什么倒叙遍历，就可以保证物品只放入一次呢？
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+倒叙就是先算dp[2]
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+dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15  （dp数组已经都初始化为0）
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+dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15
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+所以从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了。
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+**那么问题又来了，为什么二维dp数组历的时候不用倒叙呢？**
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+因为对于二维dp，dp[i][j]都是通过上一层即dp[i - 1][j]计算而来，本层的dp[i][j]并不会被覆盖！
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+（如何这里读不懂，大家就要动手试一试了，空想还是不靠谱的，实践出真知！）
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+**再来看看两个嵌套for循环的顺序，代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量，那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢？**
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+不可以！
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+因为一维dp的写法，背包容量一定是要倒序遍历（原因上面已经讲了），如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dp[j]就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个物品。
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+（这里如果读不懂，就在回想一下dp[j]的定义，或者就把两个for循环顺序颠倒一下试试！）
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+**所以一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维其实是有很大差异的！**，这一点大家一定要注意。
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+5. 举例推导dp数组
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+一维dp，分别用物品0，物品1，物品2 来遍历背包，最终得到结果如下：
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+![动态规划-背包问题9](https://img-blog.csdnimg.cn/20210110103614769.png)
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+## 一维dp01背包完整C++测试代码
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+```
+void test_1_wei_bag_problem() {
+    vector<int> weight = {1, 3, 4};
+    vector<int> value = {15, 20, 30};
+    int bagWeight = 4;
+
+    // 初始化
+    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
+    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
+        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
+            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
+        }
+    }
+    cout << dp[bagWeight] << endl;
+}
+
+int main() {
+    test_1_wei_bag_problem();
+}
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+```
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+可以看出，一维dp 的01背包，要比二维简洁的多！ 初始化 和 遍历顺序相对简单了。
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+**所以我倾向于使用一维dp数组的写法，比较直观简洁，而且空间复杂度还降了一个数量级！**
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+**在后面背包问题的讲解中，我都直接使用一维dp数组来进行推导**。
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+## 总结
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+以上的讲解可以开发一道面试题目（毕竟力扣上没原题）。
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+就是本文中的题目，要求先实现一个纯二维的01背包，如果写出来了，然后再问为什么两个for循环的嵌套顺序这么写？反过来写行不行？再讲一讲初始化的逻辑。
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+然后要求实现一个一维数组的01背包，最后再问，一维数组的01背包，两个for循环的顺序反过来写行不行？为什么？
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+注意以上问题都是在候选人把代码写出来的情况下才问的。
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+就是纯01背包的题目，都不用考01背包应用类的题目就可以看出候选人对算法的理解程度了。
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+**相信大家读完这篇文章，应该对以上问题都有了答案！**
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+此时01背包理论基础就讲完了，我用了两篇文章把01背包的dp数组定义、递推公式、初始化、遍历顺序从二维数组到一维数组统统深度剖析了一遍，没有放过任何难点。
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+大家可以发现其实信息量还是挺大的。
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+如果把[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/FwIiPPmR18_AJO5eiidT6w)和本篇的内容都理解了，后面我们在做01背包的题目，就会发现非常简单了。
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+不用再凭感觉或者记忆去写背包，而是有自己的思考，了解其本质，代码的方方面面都在自己的掌控之中。
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+即使代码没有通过，也会有自己的逻辑去debug，这样就思维清晰了。
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+接下来就要开始用这两天的理论基础去做力扣上的背包面试题目了，录友们握紧扶手，我们要上高速啦！
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+就酱，学算法，认准「代码随想录」，值得你推荐给身边每一位朋友同学们。
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