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0123, 0188, 0309 股票类问题，增加易理解的一维 dp Python 和 Go 版本。

problems/0123.买卖股票的最佳时机III.md

@@ -316,8 +316,9 @@ class Solution:
 
 ### Go:
 
+> 版本一
+
 ```go
-// 版本一
 func maxProfit(prices []int) int {
     dp := make([][]int, len(prices))
     for i := 0; i < len(prices); i++ {
@@ -345,8 +346,9 @@ func max(a, b int) int {
 }
 ```
 
+> 版本二
+
 ```go
-// 版本二
 func maxProfit(prices []int) int {
     if len(prices) == 0 {
         return 0
@@ -371,8 +373,9 @@ func max(x, y int) int {
 }
 ```
 
+> 版本三
+
 ```go
-// 版本三
 func maxProfit(prices []int) int {
     if len(prices) == 0 {
         return 0
@@ -397,6 +400,26 @@ func max(x, y int) int {
 }
 ```
 
+> 版本四：一维 dp 易懂版本 
+
+```go
+func maxProfit(prices []int) int {
+    dp := make([]int, 4)
+    dp[0] = -prices[0]
+    dp[2] = -prices[0]
+
+    for _, price := range prices[1:] {
+        dc := slices.Clone(dp) // 这句话是关键，把前一天的 dp 状态保存下来，防止被覆盖掉，后面只用它，不用 dp，逻辑简单易懂
+        dp[0] = max(dc[0], -price)
+        dp[1] = max(dc[1], dc[0] + price)
+        dp[2] = max(dc[2], dc[1] - price)
+        dp[3] = max(dc[3], dc[2] + price)
+    }
+
+    return dp[3]
+}
+```
+
 ### JavaScript:
 
 > 版本一：

problems/0188.买卖股票的最佳时机IV.md

@@ -297,8 +297,7 @@ class Solution {
 
 ### Python:
 
-版本一
-
+> 版本一
 ```python
 class Solution:
     def maxProfit(self, k: int, prices: List[int]) -> int:
@@ -313,7 +312,8 @@ class Solution:
                 dp[i][j+2] = max(dp[i-1][j+2], dp[i-1][j+1] + prices[i])
         return dp[-1][2*k]
 ```
-版本二
+
+> 版本二
 ```python
 class Solution:
     def maxProfit(self, k: int, prices: List[int]) -> int:
@@ -329,9 +329,31 @@ class Solution:
                     dp[j] = max(dp[j],dp[j-1]+prices[i])
         return dp[2*k]
 ```
+
+> 版本三: 一维 dp 数组(易理解版本)
+```python
+class Solution:
+    def maxProfit(self, k: int, prices: List[int]) -> int:
+        dp = [0] * k * 2
+        for i in range(k):
+            dp[i * 2] = -prices[0]
+
+        for price in prices[1:]:
+            dc = dp.copy() # 这句话是关键，把前一天的 dp 状态保存下来，防止被覆盖掉，后面只用它，不用 dp，逻辑简单易懂
+
+            for i in range(2 * k):
+                if i % 2 == 1:
+                    dp[i] = max(dc[i], dc[i - 1] + price)
+                else:
+                    pre = 0 if i == 0 else dc[i - 1]
+                    dp[i] = max(dc[i], pre - price)
+            
+        return dp[-1]
+```
+
 ### Go:
 
-版本一：
+> 版本一：
 
 ```go
 // 买卖股票的最佳时机IV 动态规划
@@ -368,7 +390,7 @@ func max(a, b int) int {
 }
 ```
 
-版本二: 三维 dp数组
+> 版本二: 三维 dp数组
 ```go
 func maxProfit(k int, prices []int) int {
 	length := len(prices)
@@ -443,7 +465,31 @@ func max(a, b int) int {
 }
 ```
 
+> 版本四：一维 dp 数组（易理解版本）
 
+```go
+func maxProfit(k int, prices []int) int {
+    dp := make([]int, 2 * k)
+    for i := range k {
+        dp[i * 2] = -prices[0]
+    }
+
+    for j := 1; j < len(prices); j++ {
+        dc := slices.Clone(dp) // 这句话是关键，把前一天的 dp 状态保存下来，防止被覆盖掉，后面只用它，不用 dp，逻辑简单易懂
+
+        for i := range k * 2 {
+            if i % 2 == 1 {
+                dp[i] = max(dc[i], dc[i - 1] + prices[j])
+            } else {
+                pre := 0; if i >= 1 { pre = dc[i - 1] }
+                dp[i] = max(dc[i], pre - prices[j])
+            }
+        }
+    }
+
+    return dp[2 * k - 1]
+}
+```
 
 ### JavaScript:
 

problems/0309.最佳买卖股票时机含冷冻期.md

@@ -274,7 +274,7 @@ class Solution {
 ```
 
 ### Python：
-版本一
+> 版本一
 
 ```python
 from typing import List
@@ -294,7 +294,8 @@ class Solution:
         return max(dp[n-1][3], dp[n-1][1], dp[n-1][2])  # 返回最后一天不持有股票的最大利润
 
 ```
-版本二
+
+> 版本二
 ```python
 class Solution:
     def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
@@ -320,6 +321,36 @@ class Solution:
         return max(dp[-1][1], dp[-1][2])
 
 ```
+
+> 版本三
+```python
+class Solution:
+    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
+        # 0: holding stocks 
+        #    (1) keep holding stocks: dp[i][0] = dp[i - 1][0]
+        #    (2) buy stocks: dp[i][0] = dp[i - 1][1] - price, or dp[i - 1][3] - price
+        # 1: keep no stocks: dp[i][1] = dp[i - 1][1]
+        # 2: sell stocks: dp[i][2] = dp[i - 1][0] + price
+        # 3: cooldown day: dp[i][3] = dp[i - 1][2]
+        dp = [-prices[0], 0, 0, 0]
+
+        for price in prices[1:]:
+            dc = dp.copy() # 这句话是关键，把前一天的 dp 状态保存下来，防止被覆盖掉，后面只用它，不用 dp，逻辑简单易懂
+            dp[0] = max(
+                dc[0],
+                dc[1] - price,
+                dc[3] - price
+            )
+            dp[1] = max(
+                dc[1],
+                dc[3]
+            )
+            dp[2] = dc[0] + price
+            dp[3] = dc[2]
+
+        return max(dp)
+```
+
 ### Go：
 
 ```go

problems/0337.打家劫舍III.md

@@ -477,14 +477,7 @@ func max(x, y int) int {
 ```go
 func rob(root *TreeNode) int {
 	res := robTree(root)
-	return max(res[0], res[1])
-}
-
-func max(a, b int) int {
-	if a > b {
-		return a
-	}
-	return b
+	return slices.Max(res)
 }
 
 func robTree(cur *TreeNode) []int {
@@ -498,7 +491,7 @@ func robTree(cur *TreeNode) []int {
     // 考虑去偷当前的屋子
 	robCur := cur.Val + left[0] + right[0]
     // 考虑不去偷当前的屋子
-	notRobCur := max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1])
+	notRobCur := slices.Max(left) + slices.Max(right)
 
     // 注意顺序：0:不偷，1:去偷
 	return []int{notRobCur, robCur}

problems/动态规划理论基础.md

@@ -106,7 +106,7 @@
 
 **如果这灵魂三问自己都做到了，基本上这道题目也就解决了**，或者更清晰的知道自己究竟是哪一点不明白，是状态转移不明白，还是实现代码不知道该怎么写，还是不理解遍历dp数组的顺序。
 
-然后在问问题，目的性就很强了，群里的小伙伴也可以快速知道提问者的疑惑了。
+然后再问问题，目的性就很强了，群里的小伙伴也可以快速知道提问者的疑惑了。
 
 **注意这里不是说不让大家问问题哈， 而是说问问题之前要有自己的思考，问题要问到点子上！**