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重写零钱兑换II，从二维角度分析
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programmercarl
@ -4,8 +4,6 @@
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<p align="center"><strong><a href="./qita/join.md">参与本项目</a>，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们受益！</strong></p>
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# 518.零钱兑换II
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[力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/coin-change-ii/)
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@ -45,15 +43,19 @@
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**[《代码随想录》算法视频公开课](https://programmercarl.com/other/gongkaike.html)：[装满背包有多少种方法？组合与排列有讲究！| LeetCode：518.零钱兑换II](https://www.bilibili.com/video/BV1KM411k75j/)，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解**。
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## 二维dp讲解
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如果大家认真做完：[分割等和子集](https://www.programmercarl.com/0416.%E5%88%86%E5%89%B2%E7%AD%89%E5%92%8C%E5%AD%90%E9%9B%86.html) ， [最后一块石头的重量II](https://www.programmercarl.com/1049.%E6%9C%80%E5%90%8E%E4%B8%80%E5%9D%97%E7%9F%B3%E5%A4%B4%E7%9A%84%E9%87%8D%E9%87%8FII.html) 和 [目标和](https://www.programmercarl.com/0494.%E7%9B%AE%E6%A0%87%E5%92%8C.html)
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应该会知道类似这种题目：给出一个总数，一些物品，问能否凑成这个总数。
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## 思路
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这是典型的背包问题！
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这是一道典型的背包问题，一看到钱币数量不限，就知道这是一个完全背包。
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本题求的是装满这个背包的物品组合数是多少。
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因为每一种面额的硬币有无限个，所以这是完全背包。
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对完全背包还不了解的同学，可以看这篇：[动态规划：关于完全背包，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html)
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对完全背包还不了解的同学，可以看这篇：[完全背包理论基础](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html)
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但本题和纯完全背包不一样，**纯完全背包是凑成背包最大价值是多少，而本题是要求凑成总金额的物品组合个数！**
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@ -69,44 +71,182 @@
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如果问的是排列数，那么上面就是两种排列了。
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**组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序**。 其实这一点我们在讲解回溯算法专题的时候就讲过了哈。
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**组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序**。 其实这一点我们在讲解回溯算法专题的时候就讲过。
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那我为什么要介绍这些呢，因为这和下文讲解遍历顺序息息相关!
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回归本题，动规五步曲来分析如下：
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本题其实与我们讲过 [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 十分类似。
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1. 确定dp数组以及下标的含义
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[494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 求的是装满背包有多少种方法，而本题是求装满背包有多少种组合。
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这有啥区别？
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**求装满背包有几种方法其实就是求组合数**。 不过 [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 是 01背包，即每一类物品只有一个。
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以下动规五部曲：
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### 1、确定dp数组以及下标的含义
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定义二维dp数值 dp[i][j]：使用 下标为[0, i]的coins[i]能够凑满j（包括j）这么大容量的包，有dp[i][j]种组合方法。
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很多录友也会疑惑，凭什么上来就定义 dp数组，思考过程是什么样的， 这个思考过程我在 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中的 “确定dp数组以及下标的含义” 有详细讲解。
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（**强烈建议按照代码随想录的顺序学习，否则可能看不懂我的讲解**）
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### 2、确定递推公式
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> **注意**： 这里的公式推导，与之前讲解过的 [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 、[完全背包理论基础](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html) 有极大重复，所以我不在重复讲解原理，而是只讲解区别。
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我们再回顾一下，[01背包理论基础](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)，中二维DP数组的递推公式为：
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`dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])`
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在 [完全背包理论基础](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html) 详细讲解了完全背包二维DP数组的递推公式为：
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`dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])`
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看去完全背包 和 01背包的差别在哪里？
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在于01背包是 `dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]` ，完全背包是 `dp[i][j - weight[i]] + value[i])`
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主要原因就是 完全背包单类物品有无限个。
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具体原因我在 [完全背包理论基础（二维）](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html) 的 「确定递推公式」有详细讲解，如果大家忘了，再回顾一下。
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我上面有说过，本题和 [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 是一样的，唯一区别就是 [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 是 01背包，本题是完全背包。
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在[494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)中详解讲解了装满背包有几种方法，二维DP数组的递推公式：
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`dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]]`
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所以本题递推公式：`dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - nums[i]]` ，区别依然是 ` dp[i - 1][j - nums[i]]` 和 `dp[i][j - nums[i]]`
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这个 ‘所以’ 我省略了很多推导的内容，因为这些内容在 [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 和 [完全背包理论基础](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html) 都详细讲过。
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这里不再重复讲解。
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大家主要疑惑点
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1、 `dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - nums[i]]` 这个递归公式框架怎么来的，在 [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 有详细讲解。
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2、为什么是 ` dp[i][j - nums[i]]` 而不是 ` dp[i - 1][j - nums[i]]` ，在[完全背包理论基础（二维）](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html) 有详细讲解
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### 3. dp数组如何初始化
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那么二维数组的最上行 和 最左列一定要初始化，这是递推公式推导的基础，如图红色部分：
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这里首先要关注的就是 dp[0][0] 应该是多少？
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背包空间为0，装满「物品0」 的组合数有多少呢？
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应该是 0 个， 但如果 「物品0」 的 数值就是0呢？ 岂不是可以有无限个0 组合 和为0！
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题目描述中说了`1 <= coins.length <= 300` ，所以不用考虑 物品数值为0的情况。
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那么最上行dp[0][j] 如何初始化呢？
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dp[0][j]的含义：用「物品0」（即coins[0]） 装满 背包容量为j的背包，有几种组合方法。 （如果看不懂dp数组的含义，建议先学习[494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)）
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如果 j 可以整除 物品0，那么装满背包就有1种组合方法。
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初始化代码：
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```CPP
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for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {
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if (j % coins[0] == 0) dp[0][j] = 1;
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}
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```
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最左列如何初始化呢？
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dp[i][0] 的含义：用物品i（即coins[i]） 装满容量为0的背包 有几种组合方法。
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都有一种方法，即不装。
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所以 dp[i][0] 都初始化为1
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### 4. 确定遍历顺序
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二维DP数组的完全背包的两个for循环先后顺序是无所谓的。
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先遍历背包，还是先遍历物品都是可以的。
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原理和 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中的 「遍历顺序」是一样的，都是因为 两个for循环的先后顺序不影响 递推公式 所需要的数值。
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具体分析过程看 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中的 「遍历顺序」
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### 5. 打印DP数组
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以amount为5，coins为：[2,3,5] 为例：
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dp数组应该是这样的：
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```
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1 0 1 0 1 0
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1 0 1 1 1 1
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1 0 1 1 1 2
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```
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### 代码实现：
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```CPP
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class Solution {
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public:
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int change(int amount, vector<int>& coins) {
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int bagSize = amount;
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vector<vector<uint64_t>> dp(coins.size(), vector<uint64_t>(bagSize + 1, 0));
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// 初始化最上行
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for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {
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if (j % coins[0] == 0) dp[0][j] = 1;
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}
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// 初始化最左列
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for (int i = 0; i < coins.size(); i++) {
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dp[i][0] = 1;
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}
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// 以下遍历顺序行列可以颠倒
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for (int i = 1; i < coins.size(); i++) { // 行，遍历物品
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for (int j = 0; j <= bagSize; j++) { // 列，遍历背包
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if (coins[i] > j) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
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else dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - coins[i]];
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}
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||||
}
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||||
return dp[coins.size() - 1][bagSize];
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||||
}
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};
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```
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## 一维dp讲解
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### 1、确定dp数组以及下标的含义
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dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]
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2. 确定递推公式
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### 2、确定递推公式
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dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加。
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本题 二维dp 递推公式： `dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - coins[i]]`
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所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];
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压缩成一维：`dp[j] += dp[j - coins[i]]`
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**这个递推公式大家应该不陌生了，我在讲解01背包题目的时候在这篇[494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)中就讲解了，求装满背包有几种方法，公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]];**
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这个递推公式大家应该不陌生了，我在讲解01背包题目的时候在这篇[494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)中就讲解了，求装满背包有几种方法，公式都是：`dp[j] += dp[j - nums[i]]`
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3. dp数组如何初始化
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### 3. dp数组如何初始化
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首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了。
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装满背包容量为0 的方法是1，即不放任何物品，`dp[0] = 1`
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那么 dp[0] = 1 有没有含义，其实既可以说 凑成总金额0的货币组合数为1，也可以说 凑成总金额0的货币组合数为0，好像都没有毛病。
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### 4. 确定遍历顺序
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但题目描述中，也没明确说 amount = 0 的情况，结果应该是多少。
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这里我认为题目描述还是要说明一下，因为后台测试数据是默认，amount = 0 的情况，组合数为1的。
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下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]
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dp[0]=1还说明了一种情况：如果正好选了coins[i]后，也就是j-coins[i] == 0的情况表示这个硬币刚好能选，此时dp[0]为1表示只选coins[i]存在这样的一种选法。
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4. 确定遍历顺序
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本题中我们是外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额），还是外层for遍历背包（金钱总额），内层for循环遍历物品（钱币）呢？
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我在[动态规划：关于完全背包，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html)中讲解了完全背包的两个for循环的先后顺序都是可以的。
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我在[完全背包（一维DP）](./背包问题完全背包一维.md)中讲解了完全背包的两个for循环的先后顺序都是可以的。
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**但本题就不行了！**
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@ -116,7 +256,7 @@ dp[0]=1还说明了一种情况：如果正好选了coins[i]后，也就是j-coi
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所以纯完全背包是能凑成总和就行，不用管怎么凑的。
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本题是求凑出来的方案个数，且每个方案个数是为组合数。
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本题是求凑出来的方案个数，且每个方案个数是组合数。
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那么本题，两个for循环的先后顺序可就有说法了。
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@ -154,7 +294,7 @@ for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
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可能这里很多同学还不是很理解，**建议动手把这两种方案的dp数组数值变化打印出来，对比看一看！（实践出真知）**
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5. 举例推导dp数组
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### 5. 举例推导dp数组
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输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：
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@ -208,7 +348,17 @@ public:
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## 总结
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本题的递推公式，其实我们在[494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)中就已经讲过了，**而难点在于遍历顺序！**
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本题我们从 二维 分析到 一维。
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大家在刚开始学习的时候，从二维开始学习 容易理解。
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之后，推荐大家直接掌握一维的写法，熟练后更容易写出来。
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本题中，二维dp主要是就要 想清楚和我们之前讲解的 [01背包理论基础](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)、[494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)、 [完全背包理论基础](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html) 联系与区别。
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这也是代码随想录安排刷题顺序的精髓所在。
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本题的一维dp中，难点在于理解便利顺序。
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在求装满背包有几种方案的时候，认清遍历顺序是非常关键的。
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@ -216,8 +366,7 @@ public:
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**如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品**。
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可能说到排列数录友们已经有点懵了，后面Carl还会安排求排列数的题目，到时候在对比一下，大家就会发现神奇所在！
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可能说到排列数录友们已经有点懵了，后面我还会安排求排列数的题目，到时候在对比一下，大家就会发现神奇所在！
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## 其他语言版本
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@ -444,3 +593,37 @@ public class Solution
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<a href="https://programmercarl.com/other/kstar.html" target="_blank">
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<img src="../pics/网站星球宣传海报.jpg" width="1000"/>
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</a>
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回归本题，动规五步曲来分析如下：
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1. 确定dp数组以及下标的含义
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dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]
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2. 确定递推公式
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dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加。
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所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];
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**这个递推公式大家应该不陌生了，我在讲解01背包题目的时候在这篇[494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)中就讲解了，求装满背包有几种方法，公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]];**
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3. dp数组如何初始化
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首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了。
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那么 dp[0] = 1 有没有含义，其实既可以说 凑成总金额0的货币组合数为1，也可以说 凑成总金额0的货币组合数为0，好像都没有毛病。
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但题目描述中，也没明确说 amount = 0 的情况，结果应该是多少。
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这里我认为题目描述还是要说明一下，因为后台测试数据是默认，amount = 0 的情况，组合数为1的。
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下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]
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dp[0]=1还说明了一种情况：如果正好选了coins[i]后，也就是j-coins[i] == 0的情况表示这个硬币刚好能选，此时dp[0]为1表示只选coins[i]存在这样的一种选法。
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