mirror of
https://github.com/youngyangyang04/leetcode-master.git
synced 2025-07-06 07:06:42 +08:00
Merge branch 'youngyangyang04:master' into master
This commit is contained in:
twoliang
@ -130,8 +130,8 @@ public:
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};
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```
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* 时间复杂度：$O(n)$
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* 空间复杂度：$O(n)$
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* 时间复杂度：O(n)
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* 空间复杂度：O(n)
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当然依然也可以，优化一下空间复杂度，代码如下：
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@ -154,8 +154,8 @@ public:
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};
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```
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* 时间复杂度：$O(n)$
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* 空间复杂度：$O(1)$
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* 时间复杂度：O(n)
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* 空间复杂度：O(1)
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后面将讲解的很多动规的题目其实都是当前状态依赖前两个，或者前三个状态，都可以做空间上的优化，**但我个人认为面试中能写出版本一就够了哈，清晰明了，如果面试官要求进一步优化空间的话，我们再去优化**。
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@ -524,3 +524,4 @@ impl Solution {
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<a href="https://programmercarl.com/other/kstar.html" target="_blank">
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<img src="../pics/网站星球宣传海报.jpg" width="1000"/>
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</a>
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@ -40,7 +40,7 @@
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本题依然是前序遍历和后序遍历都可以，前序求的是深度，后序求的是高度。
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* 二叉树节点的深度：指从根节点到该节点的最长简单路径边的条数或者节点数（取决于深度从0开始还是从1开始）
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* 二叉树节点的高度：指从该节点到叶子节点的最长简单路径边的条数后者节点数（取决于高度从0开始还是从1开始）
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* 二叉树节点的高度：指从该节点到叶子节点的最长简单路径边的条数或者节点数（取决于高度从0开始还是从1开始）
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那么使用后序遍历，其实求的是根节点到叶子节点的最小距离，就是求高度的过程，不过这个最小距离 也同样是最小深度。
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@ -151,13 +151,13 @@ if (abs(target) > sum) return 0; // 此时没有方案
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本题则是装满有几种方法。其实这就是一个组合问题了。
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1. 确定dp数组以及下标的含义
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#### 1. 确定dp数组以及下标的含义
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先用 二维 dp数组求解本题，dp[i][j]：使用 下标为[0, i]的nums[i]能够凑满j（包括j）这么大容量的包，有dp[i][j]种方法。
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01背包为什么这么定义dp数组，我在[0-1背包理论基础](https://www.programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%8001%E8%83%8C%E5%8C%85-1.html)中 确定dp数组的含义里讲解过。
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2. 确定递推公式
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#### 2. 确定递推公式
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我们先手动推导一下，这个二维数组里面的数值。
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@ -264,7 +264,7 @@ if (nums[i] > j) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
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else dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];
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```
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3. dp数组如何初始化
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#### 3. dp数组如何初始化
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先明确递推的方向，如图，求解 dp[2][2] 是由 上方和左上方推出。
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@ -315,7 +315,7 @@ for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
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}
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```
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4. 确定遍历顺序
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#### 4. 确定遍历顺序
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在明确递推方向时，我们知道 当前值 是由上方和左上方推出。
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@ -360,7 +360,7 @@ for (int j = 0; j <= bagSize; j++) { // 列，遍历背包
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这里大家可以看出，无论是以上哪种遍历，都不影响 dp[2][2]的求值，用来 推导 dp[2][2] 的数值都在。
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5. 举例推导dp数组
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#### 5. 举例推导dp数组
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输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], target: 3
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@ -421,7 +421,7 @@ public:
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dp[i][j] 去掉 行的维度，即 dp[j]，表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法。
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2. 确定递推公式
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#### 2. 确定递推公式
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二维DP数组递推公式： `dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];`
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@ -429,17 +429,17 @@ dp[i][j] 去掉 行的维度，即 dp[j]，表示：填满j（包括j）这么
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**这个公式在后面在讲解背包解决排列组合问题的时候还会用到！**
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3. dp数组如何初始化
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#### 3. dp数组如何初始化
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在上面 二维dp数组中，我们讲解过 dp[0][0] 初始为1，这里dp[0] 同样初始为1 ,即装满背包为0的方法有一种，放0件物品。
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4. 确定遍历顺序
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#### 4. 确定遍历顺序
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在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)中，我们系统讲过对于01背包问题一维dp的遍历。
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遍历物品放在外循环，遍历背包在内循环，且内循环倒序（为了保证物品只使用一次）。
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5. 举例推导dp数组
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#### 5. 举例推导dp数组
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输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], target: 3
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@ -526,7 +526,6 @@ dp[j] += dp[j - nums[i]];
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## 其他语言版本
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### Java
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```java
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class Solution {
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@ -4,8 +4,6 @@
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</a>
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<p align="center"><strong><a href="./qita/join.md">参与本项目</a>，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们受益！</strong></p>
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# 518.零钱兑换II
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[力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/coin-change-ii/)
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@ -45,15 +43,19 @@
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**[《代码随想录》算法视频公开课](https://programmercarl.com/other/gongkaike.html)：[装满背包有多少种方法？组合与排列有讲究！| LeetCode：518.零钱兑换II](https://www.bilibili.com/video/BV1KM411k75j/)，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解**。
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## 二维dp讲解
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如果大家认真做完：[分割等和子集](https://www.programmercarl.com/0416.%E5%88%86%E5%89%B2%E7%AD%89%E5%92%8C%E5%AD%90%E9%9B%86.html) ， [最后一块石头的重量II](https://www.programmercarl.com/1049.%E6%9C%80%E5%90%8E%E4%B8%80%E5%9D%97%E7%9F%B3%E5%A4%B4%E7%9A%84%E9%87%8D%E9%87%8FII.html) 和 [目标和](https://www.programmercarl.com/0494.%E7%9B%AE%E6%A0%87%E5%92%8C.html)
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应该会知道类似这种题目：给出一个总数，一些物品，问能否凑成这个总数。
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## 思路
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这是典型的背包问题！
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这是一道典型的背包问题，一看到钱币数量不限，就知道这是一个完全背包。
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本题求的是装满这个背包的物品组合数是多少。
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因为每一种面额的硬币有无限个，所以这是完全背包。
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对完全背包还不了解的同学，可以看这篇：[动态规划：关于完全背包，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html)
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对完全背包还不了解的同学，可以看这篇：[完全背包理论基础](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html)
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但本题和纯完全背包不一样，**纯完全背包是凑成背包最大价值是多少，而本题是要求凑成总金额的物品组合个数！**
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@ -69,44 +71,182 @@
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如果问的是排列数，那么上面就是两种排列了。
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**组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序**。 其实这一点我们在讲解回溯算法专题的时候就讲过了哈。
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**组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序**。 其实这一点我们在讲解回溯算法专题的时候就讲过。
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那我为什么要介绍这些呢，因为这和下文讲解遍历顺序息息相关!
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回归本题，动规五步曲来分析如下：
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本题其实与我们讲过 [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 十分类似。
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1. 确定dp数组以及下标的含义
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[494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 求的是装满背包有多少种方法，而本题是求装满背包有多少种组合。
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这有啥区别？
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**求装满背包有几种方法其实就是求组合数**。 不过 [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 是 01背包，即每一类物品只有一个。
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以下动规五部曲：
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### 1、确定dp数组以及下标的含义
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定义二维dp数值 dp[i][j]：使用 下标为[0, i]的coins[i]能够凑满j（包括j）这么大容量的包，有dp[i][j]种组合方法。
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很多录友也会疑惑，凭什么上来就定义 dp数组，思考过程是什么样的， 这个思考过程我在 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中的 “确定dp数组以及下标的含义” 有详细讲解。
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（**强烈建议按照代码随想录的顺序学习，否则可能看不懂我的讲解**）
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### 2、确定递推公式
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> **注意**： 这里的公式推导，与之前讲解过的 [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 、[完全背包理论基础](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html) 有极大重复，所以我不在重复讲解原理，而是只讲解区别。
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我们再回顾一下，[01背包理论基础](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)，中二维DP数组的递推公式为：
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`dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])`
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在 [完全背包理论基础](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html) 详细讲解了完全背包二维DP数组的递推公式为：
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`dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])`
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看去完全背包 和 01背包的差别在哪里？
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在于01背包是 `dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]` ，完全背包是 `dp[i][j - weight[i]] + value[i])`
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主要原因就是 完全背包单类物品有无限个。
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具体原因我在 [完全背包理论基础（二维）](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html) 的 「确定递推公式」有详细讲解，如果大家忘了，再回顾一下。
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我上面有说过，本题和 [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 是一样的，唯一区别就是 [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 是 01背包，本题是完全背包。
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在[494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)中详解讲解了装满背包有几种方法，二维DP数组的递推公式：
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`dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]]`
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所以本题递推公式：`dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - nums[i]]` ，区别依然是 ` dp[i - 1][j - nums[i]]` 和 `dp[i][j - nums[i]]`
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这个 ‘所以’ 我省略了很多推导的内容，因为这些内容在 [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 和 [完全背包理论基础](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html) 都详细讲过。
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这里不再重复讲解。
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大家主要疑惑点
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1、 `dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - nums[i]]` 这个递归公式框架怎么来的，在 [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 有详细讲解。
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2、为什么是 ` dp[i][j - nums[i]]` 而不是 ` dp[i - 1][j - nums[i]]` ，在[完全背包理论基础（二维）](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html) 有详细讲解
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### 3. dp数组如何初始化
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那么二维数组的最上行 和 最左列一定要初始化，这是递推公式推导的基础，如图红色部分：
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这里首先要关注的就是 dp[0][0] 应该是多少？
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背包空间为0，装满「物品0」 的组合数有多少呢？
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应该是 0 个， 但如果 「物品0」 的 数值就是0呢？ 岂不是可以有无限个0 组合 和为0！
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题目描述中说了`1 <= coins.length <= 300` ，所以不用考虑 物品数值为0的情况。
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那么最上行dp[0][j] 如何初始化呢？
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dp[0][j]的含义：用「物品0」（即coins[0]） 装满 背包容量为j的背包，有几种组合方法。 （如果看不懂dp数组的含义，建议先学习[494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)）
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如果 j 可以整除 物品0，那么装满背包就有1种组合方法。
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初始化代码：
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```CPP
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for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {
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if (j % coins[0] == 0) dp[0][j] = 1;
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}
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```
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最左列如何初始化呢？
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dp[i][0] 的含义：用物品i（即coins[i]） 装满容量为0的背包 有几种组合方法。
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都有一种方法，即不装。
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所以 dp[i][0] 都初始化为1
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### 4. 确定遍历顺序
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二维DP数组的完全背包的两个for循环先后顺序是无所谓的。
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先遍历背包，还是先遍历物品都是可以的。
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原理和 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中的 「遍历顺序」是一样的，都是因为 两个for循环的先后顺序不影响 递推公式 所需要的数值。
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具体分析过程看 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中的 「遍历顺序」
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### 5. 打印DP数组
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以amount为5，coins为：[2,3,5] 为例：
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dp数组应该是这样的：
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```
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1 0 1 0 1 0
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1 0 1 1 1 1
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1 0 1 1 1 2
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```
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### 代码实现：
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```CPP
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||||
class Solution {
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public:
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int change(int amount, vector<int>& coins) {
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int bagSize = amount;
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vector<vector<uint64_t>> dp(coins.size(), vector<uint64_t>(bagSize + 1, 0));
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||||
// 初始化最上行
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for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {
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if (j % coins[0] == 0) dp[0][j] = 1;
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}
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||||
// 初始化最左列
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for (int i = 0; i < coins.size(); i++) {
|
||||
dp[i][0] = 1;
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}
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// 以下遍历顺序行列可以颠倒
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for (int i = 1; i < coins.size(); i++) { // 行，遍历物品
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for (int j = 0; j <= bagSize; j++) { // 列，遍历背包
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||||
if (coins[i] > j) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
|
||||
else dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - coins[i]];
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
return dp[coins.size() - 1][bagSize];
|
||||
}
|
||||
};
|
||||
```
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||||
## 一维dp讲解
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### 1、确定dp数组以及下标的含义
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dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]
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2. 确定递推公式
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### 2、确定递推公式
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dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加。
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本题 二维dp 递推公式： `dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - coins[i]]`
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所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];
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压缩成一维：`dp[j] += dp[j - coins[i]]`
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||||
**这个递推公式大家应该不陌生了，我在讲解01背包题目的时候在这篇[494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)中就讲解了，求装满背包有几种方法，公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]];**
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这个递推公式大家应该不陌生了，我在讲解01背包题目的时候在这篇[494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)中就讲解了，求装满背包有几种方法，公式都是：`dp[j] += dp[j - nums[i]]`
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3. dp数组如何初始化
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### 3. dp数组如何初始化
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首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了。
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装满背包容量为0 的方法是1，即不放任何物品，`dp[0] = 1`
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那么 dp[0] = 1 有没有含义，其实既可以说 凑成总金额0的货币组合数为1，也可以说 凑成总金额0的货币组合数为0，好像都没有毛病。
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### 4. 确定遍历顺序
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但题目描述中，也没明确说 amount = 0 的情况，结果应该是多少。
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这里我认为题目描述还是要说明一下，因为后台测试数据是默认，amount = 0 的情况，组合数为1的。
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下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]
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dp[0]=1还说明了一种情况：如果正好选了coins[i]后，也就是j-coins[i] == 0的情况表示这个硬币刚好能选，此时dp[0]为1表示只选coins[i]存在这样的一种选法。
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4. 确定遍历顺序
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本题中我们是外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额），还是外层for遍历背包（金钱总额），内层for循环遍历物品（钱币）呢？
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我在[动态规划：关于完全背包，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html)中讲解了完全背包的两个for循环的先后顺序都是可以的。
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我在[完全背包（一维DP）](./背包问题完全背包一维.md)中讲解了完全背包的两个for循环的先后顺序都是可以的。
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**但本题就不行了！**
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@ -116,7 +256,7 @@ dp[0]=1还说明了一种情况：如果正好选了coins[i]后，也就是j-coi
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所以纯完全背包是能凑成总和就行，不用管怎么凑的。
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本题是求凑出来的方案个数，且每个方案个数是为组合数。
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||||
本题是求凑出来的方案个数，且每个方案个数是组合数。
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那么本题，两个for循环的先后顺序可就有说法了。
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@ -154,7 +294,7 @@ for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
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可能这里很多同学还不是很理解，**建议动手把这两种方案的dp数组数值变化打印出来，对比看一看！（实践出真知）**
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5. 举例推导dp数组
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### 5. 举例推导dp数组
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输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：
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@ -208,7 +348,17 @@ public:
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## 总结
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本题的递推公式，其实我们在[494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)中就已经讲过了，**而难点在于遍历顺序！**
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本题我们从 二维 分析到 一维。
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大家在刚开始学习的时候，从二维开始学习 容易理解。
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之后，推荐大家直接掌握一维的写法，熟练后更容易写出来。
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本题中，二维dp主要是就要 想清楚和我们之前讲解的 [01背包理论基础](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)、[494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)、 [完全背包理论基础](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html) 联系与区别。
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这也是代码随想录安排刷题顺序的精髓所在。
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本题的一维dp中，难点在于理解便利顺序。
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在求装满背包有几种方案的时候，认清遍历顺序是非常关键的。
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@ -216,8 +366,7 @@ public:
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**如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品**。
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可能说到排列数录友们已经有点懵了，后面Carl还会安排求排列数的题目，到时候在对比一下，大家就会发现神奇所在！
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可能说到排列数录友们已经有点懵了，后面我还会安排求排列数的题目，到时候在对比一下，大家就会发现神奇所在！
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## 其他语言版本
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@ -397,7 +546,7 @@ object Solution {
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}
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}
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```
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## C
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### C
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```c
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int change(int amount, int* coins, int coinsSize) {
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@ -42,40 +42,41 @@
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## 思路
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如果对背包问题不都熟悉先看这两篇：
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如果对背包问题不熟悉的话先看这两篇：
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* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)
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* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)
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* [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)
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* [01背包理论基础（一维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)
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本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，**这样就化解成01背包问题了**。
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本题其实是尽量让石头分成重量相同的两堆（尽可能相同），相撞之后剩下的石头就是最小的。
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是不是感觉和昨天讲解的[416. 分割等和子集](https://programmercarl.com/0416.分割等和子集.html)非常像了。
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一堆的石头重量是sum，那么我们就尽可能拼成 重量为 sum / 2 的石头堆。 这样剩下的石头堆也是 尽可能接近 sum/2 的重量。
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那么此时问题就是有一堆石头，每个石头都有自己的重量，是否可以 装满 最大重量为 sum / 2的背包。
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本题物品的重量为stones[i]，物品的价值也为stones[i]。
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看到这里，大家是否感觉和昨天讲解的 [416. 分割等和子集](https://programmercarl.com/0416.分割等和子集.html)非常像了，简直就是同一道题。
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对应着01背包里的物品重量weight[i]和 物品价值value[i]。
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本题**这样就化解成01背包问题了**。
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**[416. 分割等和子集](https://programmercarl.com/0416.分割等和子集.html) 是求背包是否正好装满，而本题是求背包最多能装多少**。
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物品就是石头，物品的重量为stones[i]，物品的价值也为stones[i]。
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接下来进行动规五步曲：
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1. 确定dp数组以及下标的含义
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### 1. 确定dp数组以及下标的含义
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**dp[j]表示容量（这里说容量更形象，其实就是重量）为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]**。
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可以回忆一下01背包中，dp[j]的含义，容量为j的背包，最多可以装的价值为 dp[j]。
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相对于 01背包，本题中，石头的重量是 stones[i]，石头的价值也是 stones[i] 。
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相对于 01背包，本题中，石头的重量是 stones[i]，石头的价值也是 stones[i] ，可以 “最多可以装的价值为 dp[j]” == “最多可以背的重量为dp[j]”
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“最多可以装的价值为 dp[j]” 等同于 “最多可以背的重量为dp[j]”
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2. 确定递推公式
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### 2. 确定递推公式
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01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
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本题则是：**dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);**
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一些同学可能看到这dp[j - stones[i]] + stones[i]中 又有- stones[i] 又有+stones[i]，看着有点晕乎。
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大家可以再去看 dp[j]的含义。
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3. dp数组如何初始化
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### 3. dp数组如何初始化
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既然 dp[j]中的j表示容量，那么最大容量（重量）是多少呢，就是所有石头的重量和。
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@ -95,7 +96,7 @@
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vector<int> dp(15001, 0);
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```
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4. 确定遍历顺序
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### 4. 确定遍历顺序
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在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)中就已经说明：如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！
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@ -111,7 +112,7 @@ for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品
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```
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5. 举例推导dp数组
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### 5. 举例推导dp数组
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举例，输入：[2,4,1,1]，此时target = (2 + 4 + 1 + 1)/2 = 4 ，dp数组状态图如下：
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@ -154,10 +155,7 @@ public:
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本题其实和[416. 分割等和子集](https://programmercarl.com/0416.分割等和子集.html)几乎是一样的，只是最后对dp[target]的处理方式不同。
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[416. 分割等和子集](https://programmercarl.com/0416.分割等和子集.html)相当于是求背包是否正好装满，而本题是求背包最多能装多少。
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**[416. 分割等和子集](https://programmercarl.com/0416.分割等和子集.html)相当于是求背包是否正好装满，而本题是求背包最多能装多少**。
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## 其他语言版本
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@ -288,16 +288,6 @@ func main(){
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### python：
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```Python
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class Solution:
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def change(self, s):
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lst = list(s) # Python里面的string也是不可改的，所以也是需要额外空间的。空间复杂度：O(n)。
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for i in range(len(lst)):
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if lst[i].isdigit():
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lst[i] = "number"
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return ''.join(lst)
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```
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### JavaScript:
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```js
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const readline = require("readline");
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@ -100,7 +100,8 @@ Floyd算法核心思想是动态规划。
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这里我们用 grid数组来存图，那就把dp数组命名为 grid。
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grid[i][j][k] = m，表示 节点i 到 节点j 以[1...k] 集合为中间节点的最短距离为m。
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grid[i][j][k] = m，表示 **节点i 到 节点j 以[1...k] 集合中的一个节点为中间节点的最短距离为m**。
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可能有录友会想，凭什么就这么定义呢？
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@ -99,7 +99,7 @@ public:
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这道绝佳的面试题我没有用过，如果录友们有面试别人的需求，就把这个套路拿去吧。
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我在[通过一道面试题目，讲一讲递归算法的时间复杂度！](https://programmercarl.com/前序/通过一道面试题目，讲一讲递归算法的时间复杂度！.html)中，以我自己面试别人的真实经历，通过求x的n次方 这么简单的题目，就可以考察候选人对算法性能以及递归的理解深度，录友们可以看看，绝对有收获！
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||||
我在[通过一道面试题目，讲一讲递归算法的时间复杂度！](../前序/递归算法的时间复杂度.md)中，以我自己面试别人的真实经历，通过求x的n次方 这么简单的题目，就可以考察候选人对算法性能以及递归的理解深度，录友们可以看看，绝对有收获！
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## 周四
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@ -41,8 +41,6 @@ leetcode上没有纯01背包的问题，都是01背包应用方面的题目，
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有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。**每件物品只能用一次**，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
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这是标准的背包问题，以至于很多同学看了这个自然就会想到背包，甚至都不知道暴力的解法应该怎么解了。
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这样其实是没有从底向上去思考，而是习惯性想到了背包，那么暴力的解法应该是怎么样的呢？
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@ -73,7 +71,7 @@ leetcode上没有纯01背包的问题，都是01背包应用方面的题目，
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依然动规五部曲分析一波。
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1. 确定dp数组以及下标的含义
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#### 1. 确定dp数组以及下标的含义
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我们需要使用二维数组，为什么呢？
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@ -131,7 +129,7 @@ i 来表示物品、j表示背包容量。
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**要时刻记着这个dp数组的含义，下面的一些步骤都围绕这dp数组的含义进行的**，如果哪里看懵了，就来回顾一下i代表什么，j又代表什么。
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2. 确定递推公式
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#### 2. 确定递推公式
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这里在把基本信息给出来：
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@ -176,7 +174,7 @@ i 来表示物品、j表示背包容量。
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递归公式： `dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);`
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3. dp数组如何初始化
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#### 3. dp数组如何初始化
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**关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱**。
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@ -197,8 +195,8 @@ dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包
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代码初始化如下：
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```CPP
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for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) { // 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点。
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dp[0][j] = 0;
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for (int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点。
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||||
dp[i][0] = 0;
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}
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// 正序遍历
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for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
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@ -236,7 +234,7 @@ for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
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**费了这么大的功夫，才把如何初始化讲清楚，相信不少同学平时初始化dp数组是凭感觉来的，但有时候感觉是不靠谱的**。
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4. 确定遍历顺序
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#### 4. 确定遍历顺序
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在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量
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@ -293,7 +291,7 @@ dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]] 都在dp[i][j]的左上角方向（包括
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**其实背包问题里，两个for循环的先后循序是非常有讲究的，理解遍历顺序其实比理解推导公式难多了**。
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5. 举例推导dp数组
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#### 5. 举例推导dp数组
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来看一下对应的dp数组的数值，如图：
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211
problems/背包问题完全背包一维.md
Normal file
211
problems/背包问题完全背包一维.md
Normal file
@ -0,0 +1,211 @@
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# 完全背包-一维数组
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本题力扣上没有原题，大家可以去[卡码网第52题](https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1052)去练习。
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## 算法公开课
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**[《代码随想录》算法视频公开课](https://programmercarl.com/other/gongkaike.html)：[带你学透完全背包问题！ ](https://www.bilibili.com/video/BV1uK411o7c9/)，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解**。
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## 思路
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本篇我们不再做五部曲分析，核心内容 在 01背包二维 、01背包一维 和 完全背包二维 的讲解中都讲过了。
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上一篇我们刚刚讲了完全背包二维DP数组的写法：
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```CPP
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for (int i = 1; i < n; i++) { // 遍历物品
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for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
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if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
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||||
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
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||||
}
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}
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```
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压缩成一维DP数组，也就是将上一层拷贝到当前层。
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将上一层dp[i-1] 的那一层拷贝到 当前层 dp[i] ，那么 递推公式由：`dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])` 变成： `dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])`
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这里有录友想，这样拷贝的话， dp[i - 1][j] 的数值会不会 覆盖了 dp[i][j] 的数值呢？
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并不会，因为 当前层 dp[i][j] 是空的，是没有计算过的。
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变成 `dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])` 我们压缩成一维dp数组，去掉 i 层数维度。
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即：`dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])`
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接下来我们重点讲一下遍历顺序。
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看过这两篇的话：
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* [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)
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* [01背包理论基础（一维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)
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就知道了，01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了，一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量。
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**在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的**！
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因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。
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遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环，状态如图：
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遍历背包容量在外层循环，遍历物品在内层循环，状态如图：
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看了这两个图，大家就会理解，完全背包中，两个for循环的先后循序，都不影响计算dp[j]所需要的值（这个值就是下标j之前所对应的dp[j]）。
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先遍历背包再遍历物品，代码如下：
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```CPP
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for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
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||||
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
|
||||
if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
|
||||
}
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||||
cout << endl;
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||||
}
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```
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||||
先遍历物品再遍历背包：
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```CPP
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||||
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
|
||||
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
|
||||
if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
```
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||||
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||||
整体代码如下：
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```cpp
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#include <iostream>
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#include <vector>
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using namespace std;
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||||
int main() {
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int N, bagWeight;
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cin >> N >> bagWeight;
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vector<int> weight(N, 0);
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vector<int> value(N, 0);
|
||||
for (int i = 0; i < N; i++) {
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||||
int w;
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int v;
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cin >> w >> v;
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||||
weight[i] = w;
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||||
value[i] = v;
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||||
}
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||||
|
||||
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
|
||||
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
|
||||
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
|
||||
if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
cout << dp[bagWeight] << endl;
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return 0;
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}
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```
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## 总结
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细心的同学可能发现，**全文我说的都是对于纯完全背包问题，其for循环的先后循环是可以颠倒的！**
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但如果题目稍稍有点变化，就会体现在遍历顺序上。
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如果问装满背包有几种方式的话？ 那么两个for循环的先后顺序就有很大区别了，而leetcode上的题目都是这种稍有变化的类型。
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这个区别，我将在后面讲解具体leetcode题目中给大家介绍，因为这块如果不结合具题目，单纯的介绍原理估计很多同学会越看越懵！
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别急，下一篇就是了！
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最后，**又可以出一道面试题了，就是纯完全背包，要求先用二维dp数组实现，然后再用一维dp数组实现，最后再问，两个for循环的先后是否可以颠倒？为什么？**
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这个简单的完全背包问题，估计就可以难住不少候选人了。
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## 其他语言版本
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### Java：
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```java
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import java.util.Scanner;
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||||
public class Main {
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||||
public static void main(String[] args) {
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||||
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
|
||||
int N = scanner.nextInt();
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||||
int bagWeight = scanner.nextInt();
|
||||
|
||||
int[] weight = new int[N];
|
||||
int[] value = new int[N];
|
||||
for (int i = 0; i < N; i++) {
|
||||
weight[i] = scanner.nextInt();
|
||||
value[i] = scanner.nextInt();
|
||||
}
|
||||
|
||||
int[] dp = new int[bagWeight + 1];
|
||||
|
||||
for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
|
||||
for (int i = 0; i < weight.length; i++) { // 遍历物品
|
||||
if (j >= weight[i]) {
|
||||
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
System.out.println(dp[bagWeight]);
|
||||
scanner.close();
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
```
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
### Python：
|
||||
|
||||
```python
|
||||
def complete_knapsack(N, bag_weight, weight, value):
|
||||
dp = [0] * (bag_weight + 1)
|
||||
|
||||
for j in range(bag_weight + 1): # 遍历背包容量
|
||||
for i in range(len(weight)): # 遍历物品
|
||||
if j >= weight[i]:
|
||||
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
|
||||
|
||||
return dp[bag_weight]
|
||||
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# 输入
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N, bag_weight = map(int, input().split())
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weight = []
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value = []
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for _ in range(N):
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w, v = map(int, input().split())
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weight.append(w)
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value.append(v)
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# 输出结果
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print(complete_knapsack(N, bag_weight, weight, value))
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```
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### Go：
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```go
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```
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### Javascript:
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```Javascript
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```
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@ -5,18 +5,11 @@
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<p align="center"><strong><a href="./qita/join.md">参与本项目</a>，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们受益！</strong></p>
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# 动态规划：完全背包理论基础
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# 完全背包理论基础-二维DP数组
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本题力扣上没有原题，大家可以去[卡码网第52题](https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1052)去练习，题意是一样的。
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## 算法公开课
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**[《代码随想录》算法视频公开课](https://programmercarl.com/other/gongkaike.html)：[带你学透完全背包问题！ ](https://www.bilibili.com/video/BV1uK411o7c9/)，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解**。
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## 思路
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### 完全背包
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## 完全背包
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有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。**每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次）**，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
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@ -24,14 +17,12 @@
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同样leetcode上没有纯完全背包问题，都是需要完全背包的各种应用，需要转化成完全背包问题，所以我这里还是以纯完全背包问题进行讲解理论和原理。
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在下面的讲解中，我依然举这个例子：
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在下面的讲解中，我拿下面数据举例子：
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背包最大重量为4。
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物品为：
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背包最大重量为4，物品为：
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| | 重量 | 价值 |
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| --- | --- | --- |
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| ----- | ---- | ---- |
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| 物品0 | 1 | 15 |
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| 物品1 | 3 | 20 |
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| 物品2 | 4 | 30 |
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@ -40,471 +31,292 @@
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问背包能背的物品最大价值是多少？
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01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上，所以本文就不去做动规五部曲了，我们直接针对遍历顺序经行分析！
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**如果没看到之前的01背包讲解，已经要先仔细看如下两篇，01背包是基础，本篇在讲解完全背包，之前的背包基础我将不会重复讲解**。
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关于01背包我如下两篇已经进行深入分析了：
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* [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)
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* [01背包理论基础（一维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)
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* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)
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* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)
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动规五部曲分析完全背包，为了从原理上讲清楚，我们先从二维dp数组分析：
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首先再回顾一下01背包的核心代码
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```cpp
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for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
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for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
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dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
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}
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### 1. 确定dp数组以及下标的含义
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**dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品，每个物品可以取无限次，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少**。
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很多录友也会疑惑，凭什么上来就定义 dp数组，思考过程是什么样的， 这个思考过程我在 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中的 “确定dp数组以及下标的含义” 有详细讲解。
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### 2. 确定递推公式
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这里在把基本信息给出来：
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| | 重量 | 价值 |
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| ----- | ---- | ---- |
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| 物品0 | 1 | 15 |
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| 物品1 | 3 | 20 |
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| 物品2 | 4 | 30 |
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对于递推公式，首先我们要明确有哪些方向可以推导出 dp[i][j]。
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这里依然拿dp[1][4]的状态来举例： （[01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中也是这个例子，要注意下面的不同之处）
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求取 dp[1][4] 有两种情况：
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1. 放物品1
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2. 还是不放物品1
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如果不放物品1， 那么背包的价值应该是 dp[0][4] 即 容量为4的背包，只放物品0的情况。
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推导方向如图：
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如果放物品1， **那么背包要先留出物品1的容量**，目前容量是4，物品1 的容量（就是物品1的重量）为3，此时背包剩下容量为1。
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容量为1，只考虑放物品0 和物品1 的最大价值是 dp[1][1]， **注意 这里和 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 有所不同了**！
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在 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中，背包先空留出物品1的容量，此时容量为1，只考虑放物品0的最大价值是 dp[0][1]，**因为01背包每个物品只有一个，既然空出物品1，那背包中也不会再有物品1**！
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而在完全背包中，物品是可以放无限个，所以 即使空出物品1空间重量，那背包中也可能还有物品1，所以此时我们依然考虑放 物品0 和 物品1 的最大价值即： **dp[1][1]， 而不是 dp[0][1]**
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所以 放物品1 的情况 = dp[1][1] + 物品1 的价值，推导方向如图：
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（**注意上图和 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中的区别**，对于理解完全背包很重要）
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两种情况，分别是放物品1 和 不放物品1，我们要取最大值（毕竟求的是最大价值）
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`dp[1][4] = max(dp[0][4], dp[1][1] + 物品1 的价值) `
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以上过程，抽象化如下：
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* **不放物品i**：背包容量为j，里面不放物品i的最大价值是dp[i - 1][j]。
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* **放物品i**：背包空出物品i的容量后，背包容量为j - weight[i]，dp[i][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]且不放物品i的最大价值，那么dp[i][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
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递推公式： `dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);`
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（注意，完全背包二维dp数组 和 01背包二维dp数组 递推公式的区别，01背包中是 `dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])`）
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### 3. dp数组如何初始化
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**关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱**。
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首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：
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在看其他情况。
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状态转移方程 `dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);` 可以看出有一个方向 i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。
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dp[0][j]，即：存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。
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那么很明显当 `j < weight[0]`的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。
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当`j >= weight[0]`时，**dp[0][j] 如果能放下weight[0]的话，就一直装，每一种物品有无限个**。
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代码初始化如下：
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```CPP
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for (int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点。
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dp[i][0] = 0;
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}
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||||
// 正序遍历，如果能放下就一直装物品0
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for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++)
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dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
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```
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（注意上面初始化和 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)的区别在于物品有无限个）
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此时dp数组初始化情况如图所示：
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dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？
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其实从递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由上方和左方数值推导出来了，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。
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但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。
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最后初始化代码如下：
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```CPP
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// 初始化 dp
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vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
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for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) {
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||||
dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
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}
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||||
```
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我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。
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而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：
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### 4. 确定遍历顺序
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```CPP
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// 先遍历物品，再遍历背包
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for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
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for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
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||||
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
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[01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中我们讲过，01背包二维DP数组，先遍历物品还是先遍历背包都是可以的。
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}
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}
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```
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因为两种遍历顺序，对于二维dp数组来说，递推公式所需要的值，二维dp数组里对应的位置都有。
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至于为什么，我在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)中也做了讲解。
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详细可以看 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中的 【遍历顺序】的讲解
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dp状态图如下：
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相信很多同学看网上的文章，关于完全背包介绍基本就到为止了。
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**其实还有一个很重要的问题，为什么遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环？**
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这个问题很多题解关于这里都是轻描淡写就略过了，大家都默认 遍历物品在外层，遍历背包容量在内层，好像本应该如此一样，那么为什么呢？
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难道就不能遍历背包容量在外层，遍历物品在内层？
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看过这两篇的话：
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* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)
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* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)
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就知道了，01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了，一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量。
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**在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的！**
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因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。
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遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环，状态如图：
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遍历背包容量在外层循环，遍历物品在内层循环，状态如图：
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看了这两个图，大家就会理解，完全背包中，两个for循环的先后循序，都不影响计算dp[j]所需要的值（这个值就是下标j之前所对应的dp[j]）。
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先遍历背包在遍历物品，代码如下：
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```CPP
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||||
// 先遍历背包，再遍历物品
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for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
|
||||
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
|
||||
if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
|
||||
}
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||||
cout << endl;
|
||||
}
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||||
```
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||||
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||||
完整的C++测试代码如下：
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||||
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```CPP
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||||
// 先遍历物品，在遍历背包
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||||
void test_CompletePack() {
|
||||
vector<int> weight = {1, 3, 4};
|
||||
vector<int> value = {15, 20, 30};
|
||||
int bagWeight = 4;
|
||||
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
|
||||
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
|
||||
for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
|
||||
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
cout << dp[bagWeight] << endl;
|
||||
}
|
||||
int main() {
|
||||
test_CompletePack();
|
||||
}
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||||
|
||||
```
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||||
|
||||
```CPP
|
||||
|
||||
// 先遍历背包，再遍历物品
|
||||
void test_CompletePack() {
|
||||
vector<int> weight = {1, 3, 4};
|
||||
vector<int> value = {15, 20, 30};
|
||||
int bagWeight = 4;
|
||||
|
||||
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
|
||||
所以既可以 先遍历物品再遍历背包：
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```CPP
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||||
for (int i = 1; i < n; i++) { // 遍历物品
|
||||
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
|
||||
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
|
||||
if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
|
||||
}
|
||||
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
|
||||
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
|
||||
}
|
||||
cout << dp[bagWeight] << endl;
|
||||
}
|
||||
int main() {
|
||||
test_CompletePack();
|
||||
}
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||||
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||||
```
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||||
本题力扣上没有原题，大家可以去[卡码网第52题](https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1052)去练习，题意是一样的，C++代码如下：
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||||
也可以 先遍历背包再遍历物品：
|
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||||
```cpp
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||||
```CPP
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||||
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
|
||||
for (int i = 1; i < n; i++) { // 遍历物品
|
||||
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
|
||||
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
```
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### 5. 举例推导dp数组
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以本篇举例数据为例，填满了dp二维数组如图：
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因为 物品0 的性价比是最高的，而且 在完全背包中，每一类物品都有无限个，所以有无限个物品0，既然物品0 性价比最高，当然是优先放物品0。
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### 本题代码：
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```CPP
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#include <iostream>
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#include <vector>
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using namespace std;
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// 先遍历背包，再遍历物品
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void test_CompletePack(vector<int> weight, vector<int> value, int bagWeight) {
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||||
int main() {
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int n, bagWeight;
|
||||
int w, v;
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||||
cin >> n >> bagWeight;
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||||
vector<int> weight(n);
|
||||
vector<int> value(n);
|
||||
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
||||
cin >> weight[i] >> value[i];
|
||||
}
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||||
|
||||
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
|
||||
vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(bagWeight + 1, 0));
|
||||
|
||||
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
|
||||
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
|
||||
if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
|
||||
// 初始化
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||||
for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++)
|
||||
dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
|
||||
|
||||
for (int i = 1; i < n; i++) { // 遍历物品
|
||||
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
|
||||
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
|
||||
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
cout << dp[bagWeight] << endl;
|
||||
}
|
||||
int main() {
|
||||
int N, V;
|
||||
cin >> N >> V;
|
||||
vector<int> weight;
|
||||
vector<int> value;
|
||||
for (int i = 0; i < N; i++) {
|
||||
int w;
|
||||
int v;
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||||
cin >> w >> v;
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||||
weight.push_back(w);
|
||||
value.push_back(v);
|
||||
}
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||||
test_CompletePack(weight, value, V);
|
||||
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||||
cout << dp[n - 1][bagWeight] << endl;
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return 0;
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}
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```
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## 总结
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细心的同学可能发现，**全文我说的都是对于纯完全背包问题，其for循环的先后循环是可以颠倒的！**
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但如果题目稍稍有点变化，就会体现在遍历顺序上。
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如果问装满背包有几种方式的话？ 那么两个for循环的先后顺序就有很大区别了，而leetcode上的题目都是这种稍有变化的类型。
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这个区别，我将在后面讲解具体leetcode题目中给大家介绍，因为这块如果不结合具题目，单纯的介绍原理估计很多同学会越看越懵！
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别急，下一篇就是了！
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最后，**又可以出一道面试题了，就是纯完全背包，要求先用二维dp数组实现，然后再用一维dp数组实现，最后再问，两个for循环的先后是否可以颠倒？为什么？**
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这个简单的完全背包问题，估计就可以难住不少候选人了。
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||||
关于一维dp数组，大家看这里：[完全背包一维dp数组讲解](./背包问题完全背包一维.md)
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## 其他语言版本
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### Java：
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### Java
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```java
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//先遍历物品，再遍历背包
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private static void testCompletePack(){
|
||||
int[] weight = {1, 3, 4};
|
||||
int[] value = {15, 20, 30};
|
||||
int bagWeight = 4;
|
||||
int[] dp = new int[bagWeight + 1];
|
||||
for (int i = 0; i < weight.length; i++){ // 遍历物品
|
||||
for (int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++){ // 遍历背包容量
|
||||
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
|
||||
```Java
|
||||
import java.util.Scanner;
|
||||
|
||||
public class Main {
|
||||
public static void main(String[] args) {
|
||||
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
|
||||
int n = scanner.nextInt();
|
||||
int bagWeight = scanner.nextInt();
|
||||
|
||||
int[] weight = new int[n];
|
||||
int[] value = new int[n];
|
||||
|
||||
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
||||
weight[i] = scanner.nextInt();
|
||||
value[i] = scanner.nextInt();
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
for (int maxValue : dp){
|
||||
System.out.println(maxValue + " ");
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
//先遍历背包，再遍历物品
|
||||
private static void testCompletePackAnotherWay(){
|
||||
int[] weight = {1, 3, 4};
|
||||
int[] value = {15, 20, 30};
|
||||
int bagWeight = 4;
|
||||
int[] dp = new int[bagWeight + 1];
|
||||
for (int i = 1; i <= bagWeight; i++){ // 遍历背包容量
|
||||
for (int j = 0; j < weight.length; j++){ // 遍历物品
|
||||
if (i - weight[j] >= 0){
|
||||
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - weight[j]] + value[j]);
|
||||
}
|
||||
int[][] dp = new int[n][bagWeight + 1];
|
||||
|
||||
// 初始化
|
||||
for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) {
|
||||
dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
for (int maxValue : dp){
|
||||
System.out.println(maxValue + " ");
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
### Python：
|
||||
|
||||
先遍历物品，再遍历背包（无参版）
|
||||
```python
|
||||
def test_CompletePack():
|
||||
weight = [1, 3, 4]
|
||||
value = [15, 20, 30]
|
||||
bagWeight = 4
|
||||
dp = [0] * (bagWeight + 1)
|
||||
for i in range(len(weight)): # 遍历物品
|
||||
for j in range(weight[i], bagWeight + 1): # 遍历背包容量
|
||||
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
|
||||
print(dp[bagWeight])
|
||||
|
||||
test_CompletePack()
|
||||
|
||||
```
|
||||
|
||||
先遍历物品，再遍历背包（有参版）
|
||||
```python
|
||||
def test_CompletePack(weight, value, bagWeight):
|
||||
dp = [0] * (bagWeight + 1)
|
||||
for i in range(len(weight)): # 遍历物品
|
||||
for j in range(weight[i], bagWeight + 1): # 遍历背包容量
|
||||
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
|
||||
return dp[bagWeight]
|
||||
|
||||
if __name__ == "__main__":
|
||||
weight = [1, 3, 4]
|
||||
value = [15, 20, 30]
|
||||
bagWeight = 4
|
||||
result = test_CompletePack(weight, value, bagWeight)
|
||||
print(result)
|
||||
|
||||
```
|
||||
先遍历背包，再遍历物品（无参版）
|
||||
```python
|
||||
def test_CompletePack():
|
||||
weight = [1, 3, 4]
|
||||
value = [15, 20, 30]
|
||||
bagWeight = 4
|
||||
|
||||
dp = [0] * (bagWeight + 1)
|
||||
|
||||
for j in range(bagWeight + 1): # 遍历背包容量
|
||||
for i in range(len(weight)): # 遍历物品
|
||||
if j - weight[i] >= 0:
|
||||
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
|
||||
|
||||
print(dp[bagWeight])
|
||||
|
||||
test_CompletePack()
|
||||
|
||||
|
||||
```
|
||||
|
||||
先遍历背包，再遍历物品（有参版）
|
||||
```python
|
||||
def test_CompletePack(weight, value, bagWeight):
|
||||
dp = [0] * (bagWeight + 1)
|
||||
for j in range(bagWeight + 1): # 遍历背包容量
|
||||
for i in range(len(weight)): # 遍历物品
|
||||
if j - weight[i] >= 0:
|
||||
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
|
||||
return dp[bagWeight]
|
||||
|
||||
|
||||
if __name__ == "__main__":
|
||||
weight = [1, 3, 4]
|
||||
value = [15, 20, 30]
|
||||
bagWeight = 4
|
||||
result = test_CompletePack(weight, value, bagWeight)
|
||||
print(result)
|
||||
|
||||
```
|
||||
|
||||
### Go：
|
||||
|
||||
```go
|
||||
|
||||
// test_CompletePack1 先遍历物品, 在遍历背包
|
||||
func test_CompletePack1(weight, value []int, bagWeight int) int {
|
||||
// 定义dp数组 和初始化
|
||||
dp := make([]int, bagWeight+1)
|
||||
// 遍历顺序
|
||||
for i := 0; i < len(weight); i++ {
|
||||
// 正序会多次添加 value[i]
|
||||
for j := weight[i]; j <= bagWeight; j++ {
|
||||
// 推导公式
|
||||
dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight[i]]+value[i])
|
||||
// debug
|
||||
//fmt.Println(dp)
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
return dp[bagWeight]
|
||||
}
|
||||
|
||||
// test_CompletePack2 先遍历背包, 在遍历物品
|
||||
func test_CompletePack2(weight, value []int, bagWeight int) int {
|
||||
// 定义dp数组 和初始化
|
||||
dp := make([]int, bagWeight+1)
|
||||
// 遍历顺序
|
||||
// j从0 开始
|
||||
for j := 0; j <= bagWeight; j++ {
|
||||
for i := 0; i < len(weight); i++ {
|
||||
if j >= weight[i] {
|
||||
// 推导公式
|
||||
dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight[i]]+value[i])
|
||||
}
|
||||
// debug
|
||||
//fmt.Println(dp)
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
return dp[bagWeight]
|
||||
}
|
||||
|
||||
func max(a, b int) int {
|
||||
if a > b {
|
||||
return a
|
||||
}
|
||||
return b
|
||||
}
|
||||
|
||||
func main() {
|
||||
weight := []int{1, 3, 4}
|
||||
price := []int{15, 20, 30}
|
||||
fmt.Println(test_CompletePack1(weight, price, 4))
|
||||
fmt.Println(test_CompletePack2(weight, price, 4))
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
### JavaScript:
|
||||
|
||||
```Javascript
|
||||
// 先遍历物品，再遍历背包容量
|
||||
function test_completePack1() {
|
||||
let weight = [1, 3, 5]
|
||||
let value = [15, 20, 30]
|
||||
let bagWeight = 4
|
||||
let dp = new Array(bagWeight + 1).fill(0)
|
||||
for(let i = 0; i <= weight.length; i++) {
|
||||
for(let j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) {
|
||||
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
console.log(dp)
|
||||
}
|
||||
|
||||
// 先遍历背包容量，再遍历物品
|
||||
function test_completePack2() {
|
||||
let weight = [1, 3, 5]
|
||||
let value = [15, 20, 30]
|
||||
let bagWeight = 4
|
||||
let dp = new Array(bagWeight + 1).fill(0)
|
||||
for(let j = 0; j <= bagWeight; j++) {
|
||||
for(let i = 0; i < weight.length; i++) {
|
||||
if (j >= weight[i]) {
|
||||
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
console.log(2, dp);
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
### TypeScript：
|
||||
|
||||
```typescript
|
||||
// 先遍历物品，再遍历背包容量
|
||||
function test_CompletePack(): void {
|
||||
const weight: number[] = [1, 3, 4];
|
||||
const value: number[] = [15, 20, 30];
|
||||
const bagSize: number = 4;
|
||||
const dp: number[] = new Array(bagSize + 1).fill(0);
|
||||
for (let i = 0; i < weight.length; i++) {
|
||||
for (let j = weight[i]; j <= bagSize; j++) {
|
||||
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
console.log(dp);
|
||||
}
|
||||
test_CompletePack();
|
||||
```
|
||||
|
||||
### Scala:
|
||||
|
||||
```scala
|
||||
// 先遍历物品，再遍历背包容量
|
||||
object Solution {
|
||||
def test_CompletePack() {
|
||||
var weight = Array[Int](1, 3, 4)
|
||||
var value = Array[Int](15, 20, 30)
|
||||
var baseweight = 4
|
||||
|
||||
var dp = new Array[Int](baseweight + 1)
|
||||
|
||||
for (i <- 0 until weight.length) {
|
||||
for (j <- weight(i) to baseweight) {
|
||||
dp(j) = math.max(dp(j), dp(j - weight(i)) + value(i))
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
dp(baseweight)
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
### Rust:
|
||||
|
||||
```rust
|
||||
impl Solution {
|
||||
// 先遍历物品
|
||||
fn complete_pack() {
|
||||
let (goods, bag_size) = (vec![(1, 15), (3, 20), (4, 30)], 4);
|
||||
let mut dp = vec![0; bag_size + 1];
|
||||
for (weight, value) in goods {
|
||||
for j in weight..=bag_size {
|
||||
dp[j] = dp[j].max(dp[j - weight] + value);
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
println!("先遍历物品：{}", dp[bag_size]);
|
||||
}
|
||||
|
||||
// 先遍历背包
|
||||
fn complete_pack_after() {
|
||||
let (goods, bag_size) = (vec![(1, 15), (3, 20), (4, 30)], 4);
|
||||
let mut dp = vec![0; bag_size + 1];
|
||||
for i in 0..=bag_size {
|
||||
for (weight, value) in &goods {
|
||||
if i >= *weight {
|
||||
dp[i] = dp[i].max(dp[i - weight] + value);
|
||||
// 动态规划
|
||||
for (int i = 1; i < n; i++) {
|
||||
for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) {
|
||||
if (j < weight[i]) {
|
||||
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
|
||||
} else {
|
||||
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
println!("先遍历背包：{}", dp[bag_size]);
|
||||
|
||||
System.out.println(dp[n - 1][bagWeight]);
|
||||
scanner.close();
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
#[test]
|
||||
fn test_complete_pack() {
|
||||
Solution::complete_pack();
|
||||
Solution::complete_pack_after();
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
### Go
|
||||
|
||||
### Python
|
||||
|
||||
```python
|
||||
def knapsack(n, bag_weight, weight, value):
|
||||
dp = [[0] * (bag_weight + 1) for _ in range(n)]
|
||||
|
||||
# 初始化
|
||||
for j in range(weight[0], bag_weight + 1):
|
||||
dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0]
|
||||
|
||||
# 动态规划
|
||||
for i in range(1, n):
|
||||
for j in range(bag_weight + 1):
|
||||
if j < weight[i]:
|
||||
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
|
||||
else:
|
||||
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])
|
||||
|
||||
return dp[n - 1][bag_weight]
|
||||
|
||||
# 输入
|
||||
n, bag_weight = map(int, input().split())
|
||||
weight = []
|
||||
value = []
|
||||
for _ in range(n):
|
||||
w, v = map(int, input().split())
|
||||
weight.append(w)
|
||||
value.append(v)
|
||||
|
||||
# 输出结果
|
||||
print(knapsack(n, bag_weight, weight, value))
|
||||
|
||||
```
|
||||
|
||||
### JavaScript
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
<p align="center">
|
||||
<a href="https://programmercarl.com/other/kstar.html" target="_blank">
|
||||
|
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