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二分查找边界
上一节规定目标元素在数组中是唯一的。如果目标元素在数组中多次出现，上节介绍的方法只能保证返回其中一个目标元素的索引，而无法确定该索引的左边和右边还有多少目标元素。
!!! question
给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` ，数组可能包含重复元素。请查找并返回元素 `target` 在数组中首次出现的索引。若数组中不包含该元素，则返回 $-1$ 。
简单方法
为了查找数组中最左边的 target ，我们可以分为两步：
- 进行二分查找，定位到任意一个
target的索引，记为k； - 以索引
k为起始点，向左进行线性遍历，找到最左边的target返回即可。
这个方法虽然有效，但由于包含线性查找，其时间复杂度可能会劣化至 $O(n)$ 。
二分方法
实际上，我们可以仅通过二分查找解决以上问题。整体算法流程不变，先计算中点索引 m ，再判断 target 和 nums[m] 大小关系：
- 当
nums[m] < target或nums[m] > target时，说明还没有找到target，因此采取与上节代码相同的缩小区间操作，从而使指针i和j向target靠近。 - 当
nums[m] == target时，说明“小于target的元素”在区间[i, m - 1]中，因此采用j = m - 1来缩小区间，从而使指针j向小于target的元素靠近。
二分查找完成后，i 指向最左边的 target ，j 指向首个小于 target 的元素，因此返回索引 i 即可。
=== "<1>"
=== "<2>"
=== "<3>"
=== "<4>"
=== "<5>"
=== "<6>"
=== "<7>"
=== "<8>"
注意，数组可能不包含目标元素 target 。因此在函数返回前，我们需要先判断 nums[i] 与 target 是否相等，以及索引 i 是否越界。
=== "Java"
```java title="binary_search_edge.java"
[class]{binary_search_edge}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_edge.cpp"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "Python"
```python title="binary_search_edge.py"
[class]{}-[func]{binary_search_left_edge}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_edge.go"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="binary_search_edge.js"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="binary_search_edge.ts"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "C"
```c title="binary_search_edge.c"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_edge.cs"
[class]{binary_search_edge}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_edge.swift"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_edge.zig"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
查找右边界
类似地，我们也可以二分查找最右边的 target 。当 nums[m] == target 时，说明大于 target 的元素在区间 [m + 1, j] 中，因此执行 i = m + 1 ，使得指针 i 向大于 target 的元素靠近。
完成二分后，i 指向首个大于 target 的元素，j 指向最右边的 target ，因此返回索引 j 即可。
=== "Java"
```java title="binary_search_edge.java"
[class]{binary_search_edge}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_edge.cpp"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "Python"
```python title="binary_search_edge.py"
[class]{}-[func]{binary_search_right_edge}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_edge.go"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="binary_search_edge.js"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="binary_search_edge.ts"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "C"
```c title="binary_search_edge.c"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_edge.cs"
[class]{binary_search_edge}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_edge.swift"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_edge.zig"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
观察下图，搜索最右边元素时指针 j 的作用与搜索最左边元素时指针 i 的作用一致，反之亦然。也就是说，搜索最左边元素和最右边元素的实现是镜像对称的。
!!! tip
以上代码采取的都是“双闭区间”写法。有兴趣的读者可以自行实现“左闭右开”写法。