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# 堆
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<u>堆（heap）</u>是一种满足特定条件的完全二叉树，主要可分为两种类型，如下图所示。
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- <u>小顶堆（min heap）</u>：任意节点的值 $\leq$ 其子节点的值。
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- <u>大顶堆（max heap）</u>：任意节点的值 $\geq$ 其子节点的值。
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堆作为完全二叉树的一个特例，具有以下特性。
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- 最底层节点靠左填充，其他层的节点都被填满。
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- 我们将二叉树的根节点称为“堆顶”，将底层最靠右的节点称为“堆底”。
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- 对于大顶堆（小顶堆），堆顶元素（根节点）的值是最大（最小）的。
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## 堆的常用操作
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需要指出的是，许多编程语言提供的是<u>优先队列（priority queue）</u>，这是一种抽象的数据结构，定义为具有优先级排序的队列。
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实际上，**堆通常用于实现优先队列，大顶堆相当于元素按从大到小的顺序出队的优先队列**。从使用角度来看，我们可以将“优先队列”和“堆”看作等价的数据结构。因此，本书对两者不做特别区分，统一称作“堆”。
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堆的常用操作见下表，方法名需要根据编程语言来确定。
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<p align="center"> 表 <id> 堆的操作效率 </p>
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| 方法名 | 描述 | 时间复杂度 |
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| ----------- | ------------------------------------------------ | ----------- |
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| `push()` | 元素入堆 | $O(\log n)$ |
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| `pop()` | 堆顶元素出堆 | $O(\log n)$ |
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| `peek()` | 访问堆顶元素（对于大 / 小顶堆分别为最大 / 小值） | $O(1)$ |
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| `size()` | 获取堆的元素数量 | $O(1)$ |
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| `isEmpty()` | 判断堆是否为空 | $O(1)$ |
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在实际应用中，我们可以直接使用编程语言提供的堆类（或优先队列类）。
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类似于排序算法中的“从小到大排列”和“从大到小排列”，我们可以通过设置一个 `flag` 或修改 `Comparator` 实现“小顶堆”与“大顶堆”之间的转换。代码如下所示：
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=== "Python"
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```python title="heap.py"
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# 初始化小顶堆
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min_heap, flag = [], 1
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# 初始化大顶堆
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max_heap, flag = [], -1
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# Python 的 heapq 模块默认实现小顶堆
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# 考虑将“元素取负”后再入堆，这样就可以将大小关系颠倒，从而实现大顶堆
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# 在本示例中，flag = 1 时对应小顶堆，flag = -1 时对应大顶堆
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# 元素入堆
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heapq.heappush(max_heap, flag * 1)
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heapq.heappush(max_heap, flag * 3)
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heapq.heappush(max_heap, flag * 2)
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heapq.heappush(max_heap, flag * 5)
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heapq.heappush(max_heap, flag * 4)
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# 获取堆顶元素
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peek: int = flag * max_heap[0] # 5
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# 堆顶元素出堆
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# 出堆元素会形成一个从大到小的序列
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val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 5
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val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 4
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val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 3
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val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 2
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val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 1
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# 获取堆大小
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size: int = len(max_heap)
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# 判断堆是否为空
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is_empty: bool = not max_heap
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# 输入列表并建堆
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min_heap: list[int] = [1, 3, 2, 5, 4]
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heapq.heapify(min_heap)
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```
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=== "C++"
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```cpp title="heap.cpp"
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/* 初始化堆 */
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// 初始化小顶堆
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priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap;
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// 初始化大顶堆
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priority_queue<int, vector<int>, less<int>> maxHeap;
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/* 元素入堆 */
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maxHeap.push(1);
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maxHeap.push(3);
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maxHeap.push(2);
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maxHeap.push(5);
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maxHeap.push(4);
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/* 获取堆顶元素 */
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int peek = maxHeap.top(); // 5
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/* 堆顶元素出堆 */
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// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
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maxHeap.pop(); // 5
|
||
maxHeap.pop(); // 4
|
||
maxHeap.pop(); // 3
|
||
maxHeap.pop(); // 2
|
||
maxHeap.pop(); // 1
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||
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/* 获取堆大小 */
|
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int size = maxHeap.size();
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/* 判断堆是否为空 */
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bool isEmpty = maxHeap.empty();
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/* 输入列表并建堆 */
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vector<int> input{1, 3, 2, 5, 4};
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priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap(input.begin(), input.end());
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```
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=== "Java"
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```java title="heap.java"
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/* 初始化堆 */
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// 初始化小顶堆
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Queue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
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// 初始化大顶堆（使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可）
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Queue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a);
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/* 元素入堆 */
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maxHeap.offer(1);
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maxHeap.offer(3);
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maxHeap.offer(2);
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maxHeap.offer(5);
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maxHeap.offer(4);
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/* 获取堆顶元素 */
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int peek = maxHeap.peek(); // 5
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/* 堆顶元素出堆 */
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// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
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peek = maxHeap.poll(); // 5
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peek = maxHeap.poll(); // 4
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||
peek = maxHeap.poll(); // 3
|
||
peek = maxHeap.poll(); // 2
|
||
peek = maxHeap.poll(); // 1
|
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/* 获取堆大小 */
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int size = maxHeap.size();
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/* 判断堆是否为空 */
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boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty();
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/* 输入列表并建堆 */
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minHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4));
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```
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=== "C#"
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```csharp title="heap.cs"
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/* 初始化堆 */
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// 初始化小顶堆
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PriorityQueue<int, int> minHeap = new();
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// 初始化大顶堆（使用 lambda 表达式修改 Comparer 即可）
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PriorityQueue<int, int> maxHeap = new(Comparer<int>.Create((x, y) => y.CompareTo(x)));
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/* 元素入堆 */
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maxHeap.Enqueue(1, 1);
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maxHeap.Enqueue(3, 3);
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maxHeap.Enqueue(2, 2);
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maxHeap.Enqueue(5, 5);
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maxHeap.Enqueue(4, 4);
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/* 获取堆顶元素 */
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int peek = maxHeap.Peek();//5
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/* 堆顶元素出堆 */
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// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
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peek = maxHeap.Dequeue(); // 5
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peek = maxHeap.Dequeue(); // 4
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peek = maxHeap.Dequeue(); // 3
|
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peek = maxHeap.Dequeue(); // 2
|
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peek = maxHeap.Dequeue(); // 1
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/* 获取堆大小 */
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int size = maxHeap.Count;
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/* 判断堆是否为空 */
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bool isEmpty = maxHeap.Count == 0;
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/* 输入列表并建堆 */
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minHeap = new PriorityQueue<int, int>([(1, 1), (3, 3), (2, 2), (5, 5), (4, 4)]);
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```
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=== "Go"
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```go title="heap.go"
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// Go 语言中可以通过实现 heap.Interface 来构建整数大顶堆
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// 实现 heap.Interface 需要同时实现 sort.Interface
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type intHeap []any
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// Push heap.Interface 的方法，实现推入元素到堆
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func (h *intHeap) Push(x any) {
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// Push 和 Pop 使用 pointer receiver 作为参数
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// 因为它们不仅会对切片的内容进行调整，还会修改切片的长度。
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*h = append(*h, x.(int))
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}
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// Pop heap.Interface 的方法，实现弹出堆顶元素
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func (h *intHeap) Pop() any {
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// 待出堆元素存放在最后
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last := (*h)[len(*h)-1]
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*h = (*h)[:len(*h)-1]
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return last
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}
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// Len sort.Interface 的方法
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func (h *intHeap) Len() int {
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return len(*h)
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}
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// Less sort.Interface 的方法
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func (h *intHeap) Less(i, j int) bool {
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// 如果实现小顶堆，则需要调整为小于号
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return (*h)[i].(int) > (*h)[j].(int)
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}
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// Swap sort.Interface 的方法
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func (h *intHeap) Swap(i, j int) {
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(*h)[i], (*h)[j] = (*h)[j], (*h)[i]
|
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}
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// Top 获取堆顶元素
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func (h *intHeap) Top() any {
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return (*h)[0]
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}
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/* Driver Code */
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func TestHeap(t *testing.T) {
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/* 初始化堆 */
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// 初始化大顶堆
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maxHeap := &intHeap{}
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heap.Init(maxHeap)
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/* 元素入堆 */
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// 调用 heap.Interface 的方法，来添加元素
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heap.Push(maxHeap, 1)
|
||
heap.Push(maxHeap, 3)
|
||
heap.Push(maxHeap, 2)
|
||
heap.Push(maxHeap, 4)
|
||
heap.Push(maxHeap, 5)
|
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/* 获取堆顶元素 */
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top := maxHeap.Top()
|
||
fmt.Printf("堆顶元素为 %d\n", top)
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/* 堆顶元素出堆 */
|
||
// 调用 heap.Interface 的方法，来移除元素
|
||
heap.Pop(maxHeap) // 5
|
||
heap.Pop(maxHeap) // 4
|
||
heap.Pop(maxHeap) // 3
|
||
heap.Pop(maxHeap) // 2
|
||
heap.Pop(maxHeap) // 1
|
||
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/* 获取堆大小 */
|
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size := len(*maxHeap)
|
||
fmt.Printf("堆元素数量为 %d\n", size)
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||
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/* 判断堆是否为空 */
|
||
isEmpty := len(*maxHeap) == 0
|
||
fmt.Printf("堆是否为空 %t\n", isEmpty)
|
||
}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="heap.swift"
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/* 初始化堆 */
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// Swift 的 Heap 类型同时支持最大堆和最小堆，且需要引入 swift-collections
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var heap = Heap<Int>()
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/* 元素入堆 */
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||
heap.insert(1)
|
||
heap.insert(3)
|
||
heap.insert(2)
|
||
heap.insert(5)
|
||
heap.insert(4)
|
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||
/* 获取堆顶元素 */
|
||
var peek = heap.max()!
|
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/* 堆顶元素出堆 */
|
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peek = heap.removeMax() // 5
|
||
peek = heap.removeMax() // 4
|
||
peek = heap.removeMax() // 3
|
||
peek = heap.removeMax() // 2
|
||
peek = heap.removeMax() // 1
|
||
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||
/* 获取堆大小 */
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let size = heap.count
|
||
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/* 判断堆是否为空 */
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let isEmpty = heap.isEmpty
|
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/* 输入列表并建堆 */
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||
let heap2 = Heap([1, 3, 2, 5, 4])
|
||
```
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=== "JS"
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```javascript title="heap.js"
|
||
// JavaScript 未提供内置 Heap 类
|
||
```
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=== "TS"
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```typescript title="heap.ts"
|
||
// TypeScript 未提供内置 Heap 类
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||
```
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=== "Dart"
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```dart title="heap.dart"
|
||
// Dart 未提供内置 Heap 类
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||
```
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=== "Rust"
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```rust title="heap.rs"
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use std::collections::BinaryHeap;
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use std::cmp::Reverse;
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/* 初始化堆 */
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// 初始化小顶堆
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let mut min_heap = BinaryHeap::<Reverse<i32>>::new();
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// 初始化大顶堆
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let mut max_heap = BinaryHeap::new();
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/* 元素入堆 */
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max_heap.push(1);
|
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max_heap.push(3);
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max_heap.push(2);
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max_heap.push(5);
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max_heap.push(4);
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/* 获取堆顶元素 */
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let peek = max_heap.peek().unwrap(); // 5
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/* 堆顶元素出堆 */
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// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
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let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 5
|
||
let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 4
|
||
let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 3
|
||
let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 2
|
||
let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 1
|
||
|
||
/* 获取堆大小 */
|
||
let size = max_heap.len();
|
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||
/* 判断堆是否为空 */
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let is_empty = max_heap.is_empty();
|
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|
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/* 输入列表并建堆 */
|
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let min_heap = BinaryHeap::from(vec![Reverse(1), Reverse(3), Reverse(2), Reverse(5), Reverse(4)]);
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```
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=== "C"
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```c title="heap.c"
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||
// C 未提供内置 Heap 类
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```
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=== "Kotlin"
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```kotlin title="heap.kt"
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/* 初始化堆 */
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// 初始化小顶堆
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var minHeap = PriorityQueue<Int>()
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// 初始化大顶堆（使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可）
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val maxHeap = PriorityQueue { a: Int, b: Int -> b - a }
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/* 元素入堆 */
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maxHeap.offer(1)
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maxHeap.offer(3)
|
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maxHeap.offer(2)
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maxHeap.offer(5)
|
||
maxHeap.offer(4)
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|
||
/* 获取堆顶元素 */
|
||
var peek = maxHeap.peek() // 5
|
||
|
||
/* 堆顶元素出堆 */
|
||
// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
|
||
peek = maxHeap.poll() // 5
|
||
peek = maxHeap.poll() // 4
|
||
peek = maxHeap.poll() // 3
|
||
peek = maxHeap.poll() // 2
|
||
peek = maxHeap.poll() // 1
|
||
|
||
/* 获取堆大小 */
|
||
val size = maxHeap.size
|
||
|
||
/* 判断堆是否为空 */
|
||
val isEmpty = maxHeap.isEmpty()
|
||
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||
/* 输入列表并建堆 */
|
||
minHeap = PriorityQueue(mutableListOf(1, 3, 2, 5, 4))
|
||
```
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||
=== "Ruby"
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```ruby title="heap.rb"
|
||
# Ruby 未提供内置 Heap 类
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```
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||
=== "Zig"
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```zig title="heap.zig"
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||
```
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??? pythontutor "可视化运行"
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https://pythontutor.com/render.html#code=import%20heapq%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%B0%8F%E9%A1%B6%E5%A0%86%0A%20%20%20%20min_heap,%20flag%20%3D%20%5B%5D,%201%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%A4%A7%E9%A1%B6%E5%A0%86%0A%20%20%20%20max_heap,%20flag%20%3D%20%5B%5D,%20-1%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20Python%20%E7%9A%84%20heapq%20%E6%A8%A1%E5%9D%97%E9%BB%98%E8%AE%A4%E5%AE%9E%E7%8E%B0%E5%B0%8F%E9%A1%B6%E5%A0%86%0A%20%20%20%20%23%20%E8%80%83%E8%99%91%E5%B0%86%E2%80%9C%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%8F%96%E8%B4%9F%E2%80%9D%E5%90%8E%E5%86%8D%E5%85%A5%E5%A0%86%EF%BC%8C%E8%BF%99%E6%A0%B7%E5%B0%B1%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E5%B0%86%E5%A4%A7%E5%B0%8F%E5%85%B3%E7%B3%BB%E9%A2%A0%E5%80%92%EF%BC%8C%E4%BB%8E%E8%80%8C%E5%AE%9E%E7%8E%B0%E5%A4%A7%E9%A1%B6%E5%A0%86%0A%20%20%20%20%23%20%E5%9C%A8%E6%9C%AC%E7%A4%BA%E4%BE%8B%E4%B8%AD%EF%BC%8Cflag%20%3D%201%20%E6%97%B6%E5%AF%B9%E5%BA%94%E5%B0%8F%E9%A1%B6%E5%A0%86%EF%BC%8Cflag%20%3D%20-1%20%E6%97%B6%E5%AF%B9%E5%BA%94%E5%A4%A7%E9%A1%B6%E5%A0%86%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%85%A5%E5%A0%86%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap,%20flag%20*%201%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap,%20flag%20*%203%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap,%20flag%20*%202%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap,%20flag%20*%205%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap,%20flag%20*%204%29%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8E%B7%E5%8F%96%E5%A0%86%E9%A1%B6%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20peek%20%3D%20flag%20*%20max_heap%5B0%5D%20%23%205%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E5%A0%86%E9%A1%B6%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%87%BA%E5%A0%86%0A%20%20%20%20%23%20%E5%87%BA%E5%A0%86%E5%85%83%E7%B4%A0%E4%BC%9A%E5%BD%A2%E6%88%90%E4%B8%80%E4%B8%AA%E4%BB%8E%E5%A4%A7%E5%88%B0%E5%B0%8F%E7%9A%84%E5%BA%8F%E5%88%97%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20*%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%205%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20*%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%204%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20*%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%203%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20*%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%202%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20*%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%201%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8E%B7%E5%8F%96%E5%A0%86%E5%A4%A7%E5%B0%8F%0A%20%20%20%20size%20%3D%20len%28max_heap%29%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%A4%E6%96%AD%E5%A0%86%E6%98%AF%E5%90%A6%E4%B8%BA%E7%A9%BA%0A%20%20%20%20is_empty%20%3D%20not%20max_heap%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BE%93%E5%85%A5%E5%88%97%E8%A1%A8%E5%B9%B6%E5%BB%BA%E5%A0%86%0A%20%20%20%20min_heap%20%3D%20%5B1,%203,%202,%205,%204%5D%0A%20%20%20%20heapq.heapify%28min_heap%29&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&mode=display&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false
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## 堆的实现
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下文实现的是大顶堆。若要将其转换为小顶堆，只需将所有大小逻辑判断进行逆转（例如，将 $\geq$ 替换为 $\leq$ ）。感兴趣的读者可以自行实现。
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### 堆的存储与表示
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“二叉树”章节讲过，完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树，**因此我们将采用数组来存储堆**。
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当使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置。**节点指针通过索引映射公式来实现**。
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如下图所示，给定索引 $i$ ，其左子节点的索引为 $2i + 1$ ，右子节点的索引为 $2i + 2$ ，父节点的索引为 $(i - 1) / 2$（向下整除）。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。
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我们可以将索引映射公式封装成函数，方便后续使用：
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```src
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[file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{parent}
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```
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### 访问堆顶元素
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堆顶元素即为二叉树的根节点，也就是列表的首个元素：
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```src
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[file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{peek}
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```
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### 元素入堆
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给定元素 `val` ，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于 `val` 可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏，**因此需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点**，这个操作被称为<u>堆化（heapify）</u>。
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考虑从入堆节点开始，**从底至顶执行堆化**。如下图所示，我们比较插入节点与其父节点的值，如果插入节点更大，则将它们交换。然后继续执行此操作，从底至顶修复堆中的各个节点，直至越过根节点或遇到无须交换的节点时结束。
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设节点总数为 $n$ ，则树的高度为 $O(\log n)$ 。由此可知，堆化操作的循环轮数最多为 $O(\log n)$ ，**元素入堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$** 。代码如下所示：
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```src
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[file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{sift_up}
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```
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### 堆顶元素出堆
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堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化进行修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采用以下操作步骤。
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1. 交换堆顶元素与堆底元素（交换根节点与最右叶节点）。
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2. 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，因此实际上删除的是原来的堆顶元素）。
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3. 从根节点开始，**从顶至底执行堆化**。
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如下图所示，**“从顶至底堆化”的操作方向与“从底至顶堆化”相反**，我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较，将最大的子节点与根节点交换。然后循环执行此操作，直到越过叶节点或遇到无须交换的节点时结束。
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=== "<10>"
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与元素入堆操作相似，堆顶元素出堆操作的时间复杂度也为 $O(\log n)$ 。代码如下所示：
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```src
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[file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{sift_down}
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```
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## 堆的常见应用
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- **优先队列**：堆通常作为实现优先队列的首选数据结构，其入队和出队操作的时间复杂度均为 $O(\log n)$ ，而建堆操作为 $O(n)$ ，这些操作都非常高效。
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- **堆排序**：给定一组数据，我们可以用它们建立一个堆，然后不断地执行元素出堆操作，从而得到有序数据。然而，我们通常会使用一种更优雅的方式实现堆排序，详见“堆排序”章节。
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- **获取最大的 $k$ 个元素**：这是一个经典的算法问题，同时也是一种典型应用，例如选择热度前 10 的新闻作为微博热搜，选取销量前 10 的商品等。
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