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ハノイの塔問題

マージソートと二分木構築の両方で、元の問題を2つの部分問題に分解し、それぞれが元の問題のサイズの半分でした。しかし、ハノイの塔では、異なる分解戦略を採用します。

!!! question

3つの柱があり、それぞれ `A`、`B`、`C` と表記されます。最初、柱 `A` には $n$ 枚の円盤があり、上から下に向かって昇順のサイズで配置されています。私たちのタスクは、これらの $n$ 枚の円盤を柱 `C` に移動し、元の順序を維持することです（以下の図に示すように）。移動中には以下のルールが適用されます：

1. 円盤は柱の上部からのみ取り除くことができ、別の柱の上部に置く必要があります。
2. 一度に移動できるのは1枚の円盤のみです。
3. 小さい円盤は常に大きい円盤の上にある必要があります。

サイズ i のハノイの塔問題を f(i) と表記します。例えば、f(3) は3枚の円盤を柱 A から柱 C に移動することを表します。

基本ケースを考える

以下の図に示すように、問題 $f(1)$（円盤が1枚のみ）については、A から C に直接移動できます。

=== "<1>"

=== "<2>"

$f(2)$（円盤が2枚）については、柱 B の助けを借りて小さい円盤を大きい円盤の上に保つ必要があります。以下の図に示すように：

1. まず、小さい円盤を A から B に移動します。
2. 次に、大きい円盤を A から C に移動します。
3. 最後に、小さい円盤を B から C に移動します。

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

f(2) を解決する過程は次のように要約できます：B の助けを借りて2枚の円盤を A から C に移動する。ここで、C をターゲット柱、B をバッファ柱と呼びます。

部分問題の分解

問題 $f(3)$（つまり、円盤が3枚の場合）については、状況がやや複雑になります。

すでに f(1) と f(2) の解が分かっているので、分割統治の観点を採用し、A の上の2枚の円盤を1つの単位として扱い、以下の図に示すステップを実行できます。これにより、3枚の円盤を A から C に正常に移動できます。

1. B をターゲット柱、C をバッファ柱として、2枚の円盤を A から B に移動します。
2. 残りの円盤を A から直接 C に移動します。
3. C をターゲット柱、A をバッファ柱として、2枚の円盤を B から C に移動します。

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

本質的に、f(3) を2つの f(2) 部分問題と1つの f(1) 部分問題に分解します。これら3つの部分問題を順次解決することで、元の問題が解決され、部分問題が独立しており、それらの解をマージできることを示しています。

ここから、以下の図に示すハノイの塔の分割統治戦略を要約できます。元の問題 f(n) を2つの部分問題 f(n-1) と1つの部分問題 f(1) に分割し、以下の順序でこれら3つの部分問題を解決します：

1. C をバッファとして使用し、n-1 枚の円盤を A から B に移動します。
2. 残りの円盤を A から直接 C に移動します。
3. A をバッファとして使用し、n-1 枚の円盤を B から C に移動します。

各 f(n-1) 部分問題について、同じ再帰分割を適用でき、最小の部分問題 f(1) に到達するまで続けます。f(1) は単一の移動のみが必要であることがすでに分かっているため、解決するのは簡単です。

コード実装

コードでは、再帰関数 dfs(i, src, buf, tar) を定義します。これは柱 src から上の i 枚の円盤を柱 tar に移動し、柱 buf をバッファとして使用します：

[file]{hanota}-[class]{}-[func]{solve_hanota}

以下の図に示すように、ハノイの塔問題は高さ n の再帰木として視覚化できます。各ノードは部分問題を表し、dfs() の呼び出しに対応します。したがって、時間計算量は $O(2^n)$、空間計算量は O(n) です。

!!! quote

ハノイの塔は古代の伝説に由来します。古代インドの寺院で、僧侶たちは3本の高いダイヤモンドの柱と、異なるサイズの $64$ 枚の金の円盤を持っていました。彼らは、最後の円盤が正しく置かれたとき、世界が終わると信じていました。

しかし、僧侶たちが1秒に1枚の円盤を移動したとしても、約 $2^{64} \approx 1.84×10^{19}$ —約5850億年—かかり、宇宙の年齢の現在の推定をはるかに超えています。したがって、この伝説が真実であれば、世界の終わりについて心配する必要はおそらくないでしょう。