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4.8 KiB
Nクイーン問題
!!! question
チェスのルールによると、クイーンは同じ行、列、または対角線上の駒を攻撃できます。$n$ 個のクイーンと $n \times n$ のチェスボードが与えられた場合、2つのクイーンが互いに攻撃できない配置を見つけてください。
以下の図に示すように、n = 4 の場合、2つの解があります。バックトラッキングアルゴリズムの観点から、n \times n のチェスボードには n^2 個のマスがあり、すべての可能な選択肢 choices を示しています。チェスボードの状態 state は、各クイーンが配置されるにつれて継続的に変化します。
以下の図は、この問題の3つの制約を示しています：複数のクイーンは同じ行、列、または対角線を占有できません。対角線は主対角線 \ と副対角線 / に分かれることに注意することが重要です。
行ごとの配置戦略
クイーンの数がチェスボードの行数と等しく、どちらも n であるため、チェスボードの各行には1つのクイーンのみが配置できることが容易に結論付けられます。
これは、行ごとの配置戦略を採用できることを意味します：最初の行から開始して、最後の行に到達するまで行ごとに1つのクイーンを配置します。
以下の図は、4クイーン問題の行ごとの配置プロセスを示しています。スペースの制限により、図は最初の行の1つの検索分岐のみを展開し、列と対角線の制約を満たさない配置を剪定します。
本質的に、行ごとの配置戦略は剪定関数として機能し、同じ行に複数のクイーンを配置するすべての検索分岐を除去します。
列と対角線の剪定
列の制約を満たすために、長さ n のブール配列 cols を使用して、各列にクイーンが占有されているかどうかを追跡できます。各配置決定の前に、cols を使用してすでにクイーンがある列を剪定し、バックトラッキング中に動的に更新されます。
!!! tip
行列の原点は左上隅にあり、行インデックスは上から下に増加し、列インデックスは左から右に増加することに注意してください。
対角線の制約はどうでしょうか？チェスボード上の特定のセルの行と列のインデックスを (row, col) とします。特定の主対角線を選択することで、その対角線上のすべてのセルで差 row - col が同じであることに気付きます。つまり、row - col は主対角線上で定数値です。
言い換えると、2つのセルが row_1 - col_1 = row_2 - col_2 を満たす場合、それらは確実に同じ主対角線上にあります。このパターンを使用して、以下の図に示す配列 diags1 を利用して、クイーンが主対角線上にあるかどうかを追跡できます。
同様に、row + col の和は副対角線上のすべてのセルで定数値です。配列 diags2 を使用して副対角線の制約も処理できます。
コード実装
n 次元の正方行列では、row - col の範囲は [-n + 1, n - 1] で、row + col の範囲は [0, 2n - 2] であることに注意してください。したがって、主対角線と副対角線の数はどちらも 2n - 1 で、配列 diags1 と diags2 の長さは 2n - 1 です。
[file]{n_queens}-[class]{}-[func]{n_queens}
n 個のクイーンを行ごとに配置し、列の制約を考慮して、最初の行から最後の行まで、$n$、$n-1$、$\dots$、$2$、1 の選択肢があり、O(n!) 時間を使用します。解を記録する際、行列 state をコピーして res に追加する必要があり、コピー操作は O(n^2) 時間を使用します。したがって、全体の時間計算量は O(n! \cdot n^2) です。実際には、対角線制約に基づく剪定により検索空間を大幅に削減できるため、多くの場合、検索効率は上記の時間計算量よりも優れています。
配列 state は O(n^2) 空間を使用し、配列 cols、diags1、diags2 はそれぞれ O(n) 空間を使用します。最大再帰深度は n で、O(n) のスタックフレーム空間を使用します。したがって、空間計算量は O(n^2) です。