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Yudong Jin
2023-07-26 11:00:53 +08:00
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commit 027bdd6510
61 changed files with 1155 additions and 145 deletions
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14
codes/rust/chapter_array_and_linkedlist/linked_list.rs
View File

@ -13,9 +13,9 @@ use list_node::ListNode;
/* 在链表的节点 n0 之后插入节点 P */
#[allow(non_snake_case)]
pub fn insert<T>(n0: &Rc<RefCell<ListNode<T>>>, P: Rc<RefCell<ListNode<T>>>) {
let n1 = n0.borrow_mut().next.take();
P.borrow_mut().next = n1;
n0.borrow_mut().next = Some(P);
let n1 = n0.borrow_mut().next.take();
P.borrow_mut().next = n1;
n0.borrow_mut().next = Some(P);
}
/* 删除链表的节点 n0 之后的首个节点 */
@ -28,7 +28,7 @@ pub fn remove<T>(n0: &Rc<RefCell<ListNode<T>>>) {
let n1 = node.borrow_mut().next.take();
n0.borrow_mut().next = n1;
}
}
}
/* 访问链表中索引为 index 的节点 */
pub fn access<T>(head: Rc<RefCell<ListNode<T>>>, index: i32) -> Rc<RefCell<ListNode<T>>> {
@ -37,7 +37,7 @@ pub fn access<T>(head: Rc<RefCell<ListNode<T>>>, index: i32) -> Rc<RefCell<ListN
return access(node.clone(), index - 1);
}
return head;
}
}
/* 在链表中查找值为 target 的首个节点 */
pub fn find<T: PartialEq>(head: Rc<RefCell<ListNode<T>>>, target: T, index: i32) -> i32 {
@ -46,7 +46,7 @@ pub fn find<T: PartialEq>(head: Rc<RefCell<ListNode<T>>>, target: T, index: i32)
return find(node.clone(), target, index + 1);
}
return -1;
}
}
/* Driver Code */
fn main() {
@ -74,7 +74,7 @@ fn main() {
remove(&n0);
print!("删除节点后的链表为 ");
print_util::print_linked_list(&n0);
/* 访问节点 */
let node = access(n0.clone(), 3);
println!("链表中索引 3 处的节点的值 = {}", node.borrow().val);

134
codes/rust/chapter_array_and_linkedlist/list.rs
View File

@ -4,72 +4,72 @@
* Author: xBLACICEx (xBLACKICEx@outlook.com), sjinzh (sjinzh@gmail.com)
*/
include!("../include/include.rs");
include!("../include/include.rs");
/* Driver Code */
fn main() {
// 初始化列表
let mut list: Vec<i32> = vec![ 1, 3, 2, 5, 4 ];
print!("列表 list = ");
print_util::print_array(&list);
// 访问元素
let num = list[1];
println!("\n访问索引 1 处的元素，得到 num = {num}");
// 更新元素
list[1] = 0;
print!("将索引 1 处的元素更新为 0 ，得到 list = ");
print_util::print_array(&list);
// 清空列表
list.clear();
print!("\n清空列表后 list = ");
print_util::print_array(&list);
// 尾部添加元素
list.push(1);
list.push(3);
list.push(2);
list.push(5);
list.push(4);
print!("\n添加元素后 list = ");
print_util::print_array(&list);
// 中间插入元素
list.insert(3, 6);
print!("\n在索引 3 处插入数字 6 ，得到 list = ");
print_util::print_array(&list);
// 删除元素
list.remove(3);
print!("\n删除索引 3 处的元素，得到 list = ");
print_util::print_array(&list);
// 通过索引遍历列表
let mut _count = 0;
for _ in 0..list.len() {
_count += 1;
}
// 直接遍历列表元素
_count = 0;
for _n in &list {
_count += 1;
}
// 或者
// list.iter().for_each(|_| _count += 1);
// let _count = list.iter().fold(0, |_count, _| _count + 1);
// 拼接两个列表
let mut list1 = vec![ 6, 8, 7, 10, 9 ];
list.append(&mut list1); // append（移动） 之后 list1 为空！
// list.extend(&list1); // extend（借用） list1 能继续使用
print!("\n将列表 list1 拼接到 list 之后，得到 list = ");
print_util::print_array(&list);
// 排序列表
list.sort();
print!("\n排序列表后 list = ");
print_util::print_array(&list);
}
fn main() {
// 初始化列表
let mut list: Vec<i32> = vec![ 1, 3, 2, 5, 4 ];
print!("列表 list = ");
print_util::print_array(&list);
// 访问元素
let num = list[1];
println!("\n访问索引 1 处的元素，得到 num = {num}");
// 更新元素
list[1] = 0;
print!("将索引 1 处的元素更新为 0 ，得到 list = ");
print_util::print_array(&list);
// 清空列表
list.clear();
print!("\n清空列表后 list = ");
print_util::print_array(&list);
// 尾部添加元素
list.push(1);
list.push(3);
list.push(2);
list.push(5);
list.push(4);
print!("\n添加元素后 list = ");
print_util::print_array(&list);
// 中间插入元素
list.insert(3, 6);
print!("\n在索引 3 处插入数字 6 ，得到 list = ");
print_util::print_array(&list);
// 删除元素
list.remove(3);
print!("\n删除索引 3 处的元素，得到 list = ");
print_util::print_array(&list);
// 通过索引遍历列表
let mut _count = 0;
for _ in 0..list.len() {
_count += 1;
}
// 直接遍历列表元素
_count = 0;
for _n in &list {
_count += 1;
}
// 或者
// list.iter().for_each(|_| _count += 1);
// let _count = list.iter().fold(0, |_count, _| _count + 1);
// 拼接两个列表
let mut list1 = vec![ 6, 8, 7, 10, 9 ];
list.append(&mut list1); // append（移动） 之后 list1 为空！
// list.extend(&list1); // extend（借用） list1 能继续使用
print!("\n将列表 list1 拼接到 list 之后，得到 list = ");
print_util::print_array(&list);
// 排序列表
list.sort();
print!("\n排序列表后 list = ");
print_util::print_array(&list);
}

4
codes/rust/chapter_array_and_linkedlist/my_list.rs
View File

@ -6,8 +6,8 @@
include!("../include/include.rs");
#[allow(dead_code)]
/* 列表类简易实现 */
#[allow(dead_code)]
struct MyList {
nums: Vec<i32>, // 数组（存储列表元素）
capacity: usize, // 列表容量
@ -154,4 +154,4 @@ fn main() {
print!("\n扩容后的列表 list = ");
print_util::print_array(&list.to_array());
print!(" ，容量 = {} ，长度 = {}", list.capacity(), list.size());
}
}

72
codes/rust/chapter_computational_complexity/worst_best_time_complexity.rs
View File

@ -4,40 +4,40 @@
* Author: xBLACICEx (xBLACKICEx@outlook.com), sjinzh (sjinzh@gmail.com)
*/
include!("../include/include.rs");
include!("../include/include.rs");
use rand::seq::SliceRandom;
use rand::thread_rng;
/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
fn random_numbers(n: i32) -> Vec<i32> {
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
let mut nums = (1..=n).collect::<Vec<i32>>();
// 随机打乱数组元素
nums.shuffle(&mut thread_rng());
nums
}
/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
fn find_one(nums: &[i32]) -> Option<usize> {
for i in 0..nums.len() {
// 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
// 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
if nums[i] == 1 {
return Some(i);
}
}
None
}
/* Driver Code */
fn main() {
for _ in 0..10 {
let n = 100;
let nums = random_numbers(n);
let index = find_one(&nums).unwrap();
print!("\n数组 [ 1, 2, ..., n ] 被打乱后 = ");
print_util::print_array(&nums);
println!("\n数字 1 的索引为 {}", index);
}
}
use rand::seq::SliceRandom;
use rand::thread_rng;
/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
fn random_numbers(n: i32) -> Vec<i32> {
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
let mut nums = (1..=n).collect::<Vec<i32>>();
// 随机打乱数组元素
nums.shuffle(&mut thread_rng());
nums
}
/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
fn find_one(nums: &[i32]) -> Option<usize> {
for i in 0..nums.len() {
// 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
// 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
if nums[i] == 1 {
return Some(i);
}
}
None
}
/* Driver Code */
fn main() {
for _ in 0..10 {
let n = 100;
let nums = random_numbers(n);
let index = find_one(&nums).unwrap();
print!("\n数组 [ 1, 2, ..., n ] 被打乱后 = ");
print_util::print_array(&nums);
println!("\n数字 1 的索引为 {}", index);
}
}

2
codes/rust/chapter_dynamic_programming/coin_change_ii.rs
View File

@ -29,7 +29,7 @@ fn coin_change_ii_dp(coins: &[i32], amt: usize) -> i32 {
}
/* 零钱兑换 II：状态压缩后的动态规划 */
fn coin_change_dp_ii_comp(coins: &[i32], amt: usize) -> i32 {
fn coin_change_ii_dp_comp(coins: &[i32], amt: usize) -> i32 {
let n = coins.len();
// 初始化 dp 表
let mut dp = vec![0; amt + 1];

6
codes/rust/chapter_sorting/bubble_sort.rs
View File

@ -26,7 +26,7 @@ fn bubble_sort(nums: &mut [i32]) {
fn bubble_sort_with_flag(nums: &mut [i32]) {
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
for i in (1..nums.len()).rev() {
let mut flag = false; // 初始化标志位
let mut flag = false; // 初始化标志位
// 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for j in 0..i {
if nums[j] > nums[j + 1] {
@ -34,10 +34,10 @@ fn bubble_sort_with_flag(nums: &mut [i32]) {
let tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
flag = true; // 记录交换元素
flag = true; // 记录交换元素
}
}
if !flag {break}; // 此轮冒泡未交换任何元素，直接跳出
if !flag {break}; // 此轮冒泡未交换任何元素，直接跳出
}
}

2
codes/rust/chapter_sorting/insertion_sort.rs
View File

@ -6,7 +6,7 @@
include!("../include/include.rs");
/*插入排序 */
/* 插入排序 */
fn insertion_sort(nums: &mut [i32]) {
// 外循环：已排序元素数量为 1, 2, ..., n
for i in 1..nums.len() {

54
codes/rust/chapter_sorting/quick_sort.rs
View File

@ -4,14 +4,10 @@
* Author: xBLACKICEx (xBLACKICE@outlook.com)
*/
// 快速排序
struct QuickSort;
// 快速排序（中位基准数优化）
struct QuickSortMedian;
// 快速排序（尾递归优化）
struct QuickSortTailCall;
/* 快速排序 */
struct QuickSort;
impl QuickSort {
/* 哨兵划分 */
fn partition(nums: &mut [i32], left: usize, right: usize) -> usize {
@ -19,15 +15,15 @@ impl QuickSort {
let (mut i, mut j) = (left, right);
while i < j {
while i < j && nums[j] >= nums[left] {
j -= 1; // 从右向左找首个小于基准数的元素
j -= 1; // 从右向左找首个小于基准数的元素
}
while i < j && nums[i] <= nums[left] {
i += 1; // 从左向右找首个大于基准数的元素
i += 1; // 从左向右找首个大于基准数的元素
}
nums.swap(i, j); // 交换这两个元素
}
nums.swap(i, left); // 将基准数交换至两子数组的分界线
i // 返回基准数的索引
nums.swap(i, left); // 将基准数交换至两子数组的分界线
i // 返回基准数的索引
}
/* 快速排序 */
@ -45,6 +41,8 @@ impl QuickSort {
}
/* 快速排序（中位基准数优化） */
struct QuickSortMedian;
impl QuickSortMedian {
/* 选取三个元素的中位数 */
fn median_three(nums: &mut [i32], left: usize, mid: usize, right: usize) -> usize {
@ -66,17 +64,17 @@ impl QuickSortMedian {
nums.swap(left, med);
// 以 nums[left] 作为基准数
let (mut i, mut j) = (left, right);
while i < j {
while i < j && nums[j] >= nums[left] {
j -= 1; // 从右向左找首个小于基准数的元素
}
while i < j && nums[i] <= nums[left] {
i += 1; // 从左向右找首个大于基准数的元素
}
nums.swap(i, j); // 交换这两个元素
}
nums.swap(i, left); // 将基准数交换至两子数组的分界线
i // 返回基准数的索引
while i < j {
while i < j && nums[j] >= nums[left] {
j -= 1; // 从右向左找首个小于基准数的元素
}
while i < j && nums[i] <= nums[left] {
i += 1; // 从左向右找首个大于基准数的元素
}
nums.swap(i, j); // 交换这两个元素
}
nums.swap(i, left); // 将基准数交换至两子数组的分界线
i // 返回基准数的索引
}
/* 快速排序 */
@ -94,23 +92,24 @@ impl QuickSortMedian {
}
/* 快速排序（尾递归优化） */
struct QuickSortTailCall;
impl QuickSortTailCall {
/* 哨兵划分 */
fn partition(nums: &mut [i32], left: usize, right: usize) -> usize {
// 以 nums[left] 作为基准数
let (mut i, mut j) = (left, right);
while i < j {
while i < j && nums[j] >= nums[left] {
j -= 1; // 从右向左找首个小于基准数的元素
j -= 1; // 从右向左找首个小于基准数的元素
}
while i < j && nums[i] <= nums[left] {
i += 1; // 从左向右找首个大于基准数的元素
i += 1; // 从左向右找首个大于基准数的元素
}
nums.swap(i, j); // 交换这两个元素
}
nums.swap(i, left); // 将基准数交换至两子数组的分界线
i // 返回基准数的索引
nums.swap(i, left); // 将基准数交换至两子数组的分界线
i // 返回基准数的索引
}
/* 快速排序（尾递归优化） */
@ -131,6 +130,7 @@ impl QuickSortTailCall {
}
}
/* Driver Code */
fn main() {
/* 快速排序 */
let mut nums = [2, 4, 1, 0, 3, 5];
@ -146,4 +146,4 @@ fn main() {
let mut nums = [2, 4, 1, 0, 3, 5];
QuickSortTailCall::quick_sort(0, (nums.len() - 1) as i32, &mut nums);
println!("快速排序（尾递归优化）完成后 nums = {:?}", nums);
}
}

2
codes/rust/chapter_stack_and_queue/linkedlist_deque.rs
View File

@ -212,4 +212,4 @@ fn main() {
/* 判断双向队列是否为空 */
let is_empty = deque.is_empty();
print!("\n双向队列是否为空 = {}", is_empty);
}
}

42
docs/chapter_array_and_linkedlist/array.md
View File

@ -100,6 +100,12 @@
List<int> nums = [1, 3, 2, 5, 4];
```
=== "Rust"
```rust title="array.rs"
```
## 数组优点
**在数组中访问元素非常高效**。由于数组元素被存储在连续的内存空间中，因此计算数组元素的内存地址非常容易。给定数组首个元素的地址和某个元素的索引，我们可以使用以下公式计算得到该元素的内存地址，从而直接访问此元素。
@ -185,6 +191,12 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
[class]{}-[func]{randomAccess}
```
=== "Rust"
```rust title="array.rs"
[class]{}-[func]{random_access}
```
## 数组缺点
**数组在初始化后长度不可变**。由于系统无法保证数组之后的内存空间是可用的，因此数组长度无法扩展。而若希望扩容数组，则需新建一个数组，然后把原数组元素依次拷贝到新数组，在数组很大的情况下，这是非常耗时的。
@ -255,6 +267,12 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
[class]{}-[func]{extend}
```
=== "Rust"
```rust title="array.rs"
[class]{}-[func]{extend}
```
**数组中插入或删除元素效率低下**。如果我们想要在数组中间插入一个元素，由于数组元素在内存中是“紧挨着的”，它们之间没有空间再放任何数据。因此，我们不得不将此索引之后的所有元素都向后移动一位，然后再把元素赋值给该索引。
![数组插入元素](array.assets/array_insert_element.png)
@ -325,6 +343,12 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
[class]{}-[func]{insert}
```
=== "Rust"
```rust title="array.rs"
[class]{}-[func]{insert}
```
删除元素也类似，如果我们想要删除索引 $i$ 处的元素，则需要把索引 $i$ 之后的元素都向前移动一位。值得注意的是，删除元素后，原先末尾的元素变得“无意义”了，我们无需特意去修改它。
![数组删除元素](array.assets/array_remove_element.png)
@ -395,6 +419,12 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
[class]{}-[func]{remove}
```
=== "Rust"
```rust title="array.rs"
[class]{}-[func]{remove}
```
总结来看，数组的插入与删除操作有以下缺点：
- **时间复杂度高**：数组的插入和删除的平均时间复杂度均为 $O(n)$ ，其中 $n$ 为数组长度。
@ -471,6 +501,12 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
[class]{}-[func]{traverse}
```
=== "Rust"
```rust title="array.rs"
[class]{}-[func]{traverse}
```
**数组查找**。通过遍历数组，查找数组内的指定元素，并输出对应索引。
=== "Java"
@ -539,6 +575,12 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
[class]{}-[func]{find}
```
=== "Rust"
```rust title="array.rs"
[class]{}-[func]{find}
```
## 数组典型应用
数组是最基础的数据结构，在各类数据结构和算法中都有广泛应用。

42
docs/chapter_array_and_linkedlist/linked_list.md
View File

@ -163,6 +163,12 @@
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
```
!!! question "尾节点指向什么？"
我们将链表的最后一个节点称为「尾节点」，其指向的是“空”，在 Java, C++, Python 中分别记为 $\text{null}$ , $\text{nullptr}$ , $\text{None}$ 。在不引起歧义的前提下，本书都使用 $\text{None}$ 来表示空。
@ -360,6 +366,12 @@
n3.next = n4;
```
=== "Rust"
```rust title="linked_list.rs"
```
## 链表优点
**链表中插入与删除节点的操作效率高**。例如，如果我们想在链表中间的两个节点 `A` , `B` 之间插入一个新节点 `P` ，我们只需要改变两个节点指针即可，时间复杂度为 $O(1)$ ；相比之下，数组的插入操作效率要低得多。
@ -432,6 +444,12 @@
[class]{}-[func]{insert}
```
=== "Rust"
```rust title="linked_list.rs"
[class]{}-[func]{insert}
```
在链表中删除节点也非常方便，只需改变一个节点的指针即可。如下图所示，尽管在删除操作完成后，节点 `P` 仍然指向 `n1` ，但实际上 `P` 已经不再属于此链表，因为遍历此链表时无法访问到 `P` 。
![链表删除节点](linked_list.assets/linkedlist_remove_node.png)
@ -502,6 +520,12 @@
[class]{}-[func]{remove}
```
=== "Rust"
```rust title="linked_list.rs"
[class]{}-[func]{remove}
```
## 链表缺点
**链表访问节点效率较低**。如上节所述，数组可以在 $O(1)$ 时间下访问任意元素。然而，链表无法直接访问任意节点，这是因为系统需要从头节点出发，逐个向后遍历直至找到目标节点。例如，若要访问链表索引为 `index`（即第 `index + 1` 个）的节点，则需要向后遍历 `index` 轮。
@ -572,6 +596,12 @@
[class]{}-[func]{access}
```
=== "Rust"
```rust title="linked_list.rs"
[class]{}-[func]{access}
```
**链表的内存占用较大**。链表以节点为单位，每个节点除了保存值之外，还需额外保存指针（引用）。这意味着在相同数据量的情况下，链表比数组需要占用更多的内存空间。
## 链表常用操作
@ -644,6 +674,12 @@
[class]{}-[func]{find}
```
=== "Rust"
```rust title="linked_list.rs"
[class]{}-[func]{find}
```
## 常见链表类型
**单向链表**。即上述介绍的普通链表。单向链表的节点包含值和指向下一节点的指针（引用）两项数据。我们将首个节点称为头节点，将最后一个节点成为尾节点，尾节点指向空 $\text{None}$ 。
@ -823,6 +859,12 @@
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
```
![常见链表种类](linked_list.assets/linkedlist_common_types.png)
## 链表典型应用

42
docs/chapter_array_and_linkedlist/list.md
View File

@ -116,6 +116,12 @@
List<int> list = [1, 3, 2, 5, 4];
```
=== "Rust"
```rust title="list.rs"
```
**访问与更新元素**。由于列表的底层数据结构是数组，因此可以在 $O(1)$ 时间内访问和更新元素，效率很高。
=== "Java"
@ -224,6 +230,12 @@
list[1] = 0; // 将索引 1 处的元素更新为 0
```
=== "Rust"
```rust title="list.rs"
```
**在列表中添加、插入、删除元素**。相较于数组，列表可以自由地添加与删除元素。在列表尾部添加元素的时间复杂度为 $O(1)$ ，但插入和删除元素的效率仍与数组相同，时间复杂度为 $O(N)$ 。
=== "Java"
@ -432,6 +444,12 @@
list.removeAt(3); // 删除索引 3 处的元素
```
=== "Rust"
```rust title="list.rs"
```
**遍历列表**。与数组一样，列表可以根据索引遍历，也可以直接遍历各元素。
=== "Java"
@ -599,6 +617,12 @@
}
```
=== "Rust"
```rust title="list.rs"
```
**拼接两个列表**。给定一个新列表 `list1` ，我们可以将该列表拼接到原列表的尾部。
=== "Java"
@ -690,6 +714,12 @@
list.addAll(list1); // 将列表 list1 拼接到 list 之后
```
=== "Rust"
```rust title="list.rs"
```
**排序列表**。排序也是常用的方法之一。完成列表排序后，我们便可以使用在数组类算法题中经常考察的「二分查找」和「双指针」算法。
=== "Java"
@ -768,6 +798,12 @@
list.sort(); // 排序后，列表元素从小到大排列
```
=== "Rust"
```rust title="list.rs"
```
## 列表实现 *
为了帮助加深对列表的理解，我们在此提供一个简易版列表实现。需要关注三个核心点：
@ -843,3 +879,9 @@
```dart title="my_list.dart"
[class]{MyList}-[func]{}
```
=== "Rust"
```rust title="my_list.rs"
[class]{MyList}-[func]{}
```

40
docs/chapter_backtracking/backtracking_algorithm.md
View File

@ -76,6 +76,12 @@
[class]{}-[func]{preOrder}
```
=== "Rust"
```rust title="preorder_traversal_i_compact.rs"
[class]{}-[func]{pre_order}
```
![在前序遍历中搜索节点](backtracking_algorithm.assets/preorder_find_nodes.png)
## 尝试与回退
@ -158,6 +164,12 @@
[class]{}-[func]{preOrder}
```
=== "Rust"
```rust title="preorder_traversal_ii_compact.rs"
[class]{}-[func]{pre_order}
```
在每次“尝试”中，我们通过将当前节点添加进 `path` 来记录路径；而在“回退”前，我们需要将该节点从 `path` 中弹出，**以恢复本次尝试之前的状态**。
观察该过程，**我们可以将尝试和回退理解为“前进”与“撤销”**，两个操作是互为逆向的。
@ -271,6 +283,12 @@
[class]{}-[func]{preOrder}
```
=== "Rust"
```rust title="preorder_traversal_iii_compact.rs"
[class]{}-[func]{pre_order}
```
剪枝是一个非常形象的名词。在搜索过程中，**我们“剪掉”了不满足约束条件的搜索分支**，避免许多无意义的尝试，从而实现搜索效率的提高。
![根据约束条件剪枝](backtracking_algorithm.assets/preorder_find_constrained_paths.png)
@ -543,6 +561,12 @@
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
```
接下来，我们基于框架代码来解决例题三。状态 `state` 为节点遍历路径，选择 `choices` 为当前节点的左子节点和右子节点，结果 `res` 是路径列表。
=== "Java"
@ -721,6 +745,22 @@
[class]{}-[func]{backtrack}
```
=== "Rust"
```rust title="preorder_traversal_iii_template.rs"
[class]{}-[func]{is_solution}
[class]{}-[func]{record_solution}
[class]{}-[func]{is_valid}
[class]{}-[func]{make_choice}
[class]{}-[func]{undo_choice}
[class]{}-[func]{backtrack}
```
根据题意，当找到值为 7 的节点后应该继续搜索，**因此我们需要将记录解之后的 `return` 语句删除**。下图对比了保留或删除 `return` 语句的搜索过程。
![保留与删除 return 的搜索过程对比](backtracking_algorithm.assets/backtrack_remove_return_or_not.png)

8
docs/chapter_backtracking/n_queens_problem.md
View File

@ -128,6 +128,14 @@
[class]{}-[func]{nQueens}
```
=== "Rust"
```rust title="n_queens.rs"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{n_queens}
```
逐行放置 $n$ 次，考虑列约束，则从第一行到最后一行分别有 $n, n-1, \cdots, 2, 1$ 个选择，**因此时间复杂度为 $O(n!)$** 。实际上，根据对角线约束的剪枝也能够大幅地缩小搜索空间，因而搜索效率往往优于以上时间复杂度。
数组 `state` 使用 $O(n^2)$ 空间，数组 `cols` , `diags1` , `diags2` 皆使用 $O(n)$ 空间。最大递归深度为 $n$ ，使用 $O(n)$ 栈帧空间。因此，**空间复杂度为 $O(n^2)$** 。

16
docs/chapter_backtracking/permutations_problem.md
View File

@ -133,6 +133,14 @@
[class]{}-[func]{permutationsI}
```
=== "Rust"
```rust title="permutations_i.rs"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{permutations_i}
```
## 考虑相等元素的情况
!!! question
@ -249,6 +257,14 @@
[class]{}-[func]{permutationsII}
```
=== "Rust"
```rust title="permutations_ii.rs"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{permutations_ii}
```
假设元素两两之间互不相同，则 $n$ 个元素共有 $n!$ 种排列（阶乘）；在记录结果时，需要复制长度为 $n$ 的列表，使用 $O(n)$ 时间。因此，**时间复杂度为 $O(n!n)$** 。
最大递归深度为 $n$ ，使用 $O(n)$ 栈帧空间。`selected` 使用 $O(n)$ 空间。同一时刻最多共有 $n$ 个 `duplicated` ，使用 $O(n^2)$ 空间。**因此空间复杂度为 $O(n^2)$** 。

24
docs/chapter_backtracking/subset_sum_problem.md
View File

@ -105,6 +105,14 @@
[class]{}-[func]{subsetSumINaive}
```
=== "Rust"
```rust title="subset_sum_i_naive.rs"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{subset_sum_i_naive}
```
向以上代码输入数组 $[3, 4, 5]$ 和目标元素 $9$ ，输出结果为 $[3, 3, 3], [4, 5], [5, 4]$ 。**虽然成功找出了所有和为 $9$ 的子集，但其中存在重复的子集 $[4, 5]$ 和 $[5, 4]$** 。
这是因为搜索过程是区分选择顺序的，然而子集不区分选择顺序。如下图所示，先选 $4$ 后选 $5$ 与先选 $5$ 后选 $4$ 是两个不同的分支，但两者对应同一个子集。
@ -230,6 +238,14 @@
[class]{}-[func]{subsetSumI}
```
=== "Rust"
```rust title="subset_sum_i.rs"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{subset_sum_i}
```
如下图所示，为将数组 $[3, 4, 5]$ 和目标元素 $9$ 输入到以上代码后的整体回溯过程。
![子集和 I 回溯过程](subset_sum_problem.assets/subset_sum_i.png)
@ -342,6 +358,14 @@
[class]{}-[func]{subsetSumII}
```
=== "Rust"
```rust title="subset_sum_ii.rs"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{subset_sum_ii}
```
下图展示了数组 $[4, 4, 5]$ 和目标元素 $9$ 的回溯过程，共包含四种剪枝操作。请你将图示与代码注释相结合，理解整个搜索过程，以及每种剪枝操作是如何工作的。
![子集和 II 回溯过程](subset_sum_problem.assets/subset_sum_ii.png)

54
docs/chapter_computational_complexity/space_complexity.md
View File

@ -280,6 +280,12 @@
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
```
## 推算方法
空间复杂度的推算方法与时间复杂度大致相同，只是将统计对象从“计算操作数量”转为“使用空间大小”。与时间复杂度不同的是，**我们通常只关注「最差空间复杂度」**，这是因为内存空间是一项硬性要求，我们必须确保在所有输入数据下都有足够的内存空间预留。
@ -412,6 +418,12 @@
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
```
**在递归函数中，需要注意统计栈帧空间**。例如，函数 `loop()` 在循环中调用了 $n$ 次 `function()` ，每轮中的 `function()` 都返回并释放了栈帧空间，因此空间复杂度仍为 $O(1)$ 。而递归函数 `recur()` 在运行过程中会同时存在 $n$ 个未返回的 `recur()` ，从而占用 $O(n)$ 的栈帧空间。
=== "Java"
@ -627,6 +639,12 @@
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
```
## 常见类型
设输入数据大小为 $n$ ，常见的空间复杂度类型有（从低到高排列）
@ -716,6 +734,12 @@ $$
[class]{}-[func]{constant}
```
=== "Rust"
```rust title="space_complexity.rs"
[class]{}-[func]{constant}
```
### 线性阶 $O(n)$
线性阶常见于元素数量与 $n$ 成正比的数组、链表、栈、队列等。
@ -788,6 +812,12 @@ $$
[class]{}-[func]{linear}
```
=== "Rust"
```rust title="space_complexity.rs"
[class]{}-[func]{linear}
```
以下递归函数会同时存在 $n$ 个未返回的 `algorithm()` 函数，使用 $O(n)$ 大小的栈帧空间。
=== "Java"
@ -856,6 +886,12 @@ $$
[class]{}-[func]{linearRecur}
```
=== "Rust"
```rust title="space_complexity.rs"
[class]{}-[func]{linear_recur}
```
![递归函数产生的线性阶空间复杂度](space_complexity.assets/space_complexity_recursive_linear.png)
### 平方阶 $O(n^2)$
@ -928,6 +964,12 @@ $$
[class]{}-[func]{quadratic}
```
=== "Rust"
```rust title="space_complexity.rs"
[class]{}-[func]{quadratic}
```
在以下递归函数中，同时存在 $n$ 个未返回的 `algorithm()` ，并且每个函数中都初始化了一个数组，长度分别为 $n, n-1, n-2, ..., 2, 1$ ，平均长度为 $\frac{n}{2}$ ，因此总体占用 $O(n^2)$ 空间。
=== "Java"
@ -996,6 +1038,12 @@ $$
[class]{}-[func]{quadraticRecur}
```
=== "Rust"
```rust title="space_complexity.rs"
[class]{}-[func]{quadratic_recur}
```
![递归函数产生的平方阶空间复杂度](space_complexity.assets/space_complexity_recursive_quadratic.png)
### 指数阶 $O(2^n)$
@ -1068,6 +1116,12 @@ $$
[class]{}-[func]{buildTree}
```
=== "Rust"
```rust title="space_complexity.rs"
[class]{}-[func]{build_tree}
```
![满二叉树产生的指数阶空间复杂度](space_complexity.assets/space_complexity_exponential.png)
### 对数阶 $O(\log n)$

98
docs/chapter_computational_complexity/time_complexity.md
View File

@ -168,6 +168,12 @@ $$
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
```
然而实际上，**统计算法的运行时间既不合理也不现实**。首先，我们不希望预估时间和运行平台绑定，因为算法需要在各种不同的平台上运行。其次，我们很难获知每种操作的运行时间，这给预估过程带来了极大的难度。
## 统计时间增长趋势
@ -394,6 +400,12 @@ $$
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
```
![算法 A, B, C 的时间增长趋势](time_complexity.assets/time_complexity_simple_example.png)
相较于直接统计算法运行时间，时间复杂度分析有哪些优势和局限性呢？
@ -556,6 +568,12 @@ $$
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
```
$T(n)$ 是一次函数，说明时间增长趋势是线性的，因此可以得出时间复杂度是线性阶。
我们将线性阶的时间复杂度记为 $O(n)$ ，这个数学符号称为「大 $O$ 记号 Big-$O$ Notation」，表示函数 $T(n)$ 的「渐近上界 Asymptotic Upper Bound」。
@ -795,6 +813,12 @@ $$
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
```
### 第二步：判断渐近上界
**时间复杂度由多项式 $T(n)$ 中最高阶的项来决定**。这是因为在 $n$ 趋于无穷大时，最高阶的项将发挥主导作用，其他项的影响都可以被忽略。
@ -902,6 +926,12 @@ $$
[class]{}-[func]{constant}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
[class]{}-[func]{constant}
```
### 线性阶 $O(n)$
线性阶的操作数量相对于输入数据大小以线性级别增长。线性阶通常出现在单层循环中。
@ -972,6 +1002,12 @@ $$
[class]{}-[func]{linear}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
[class]{}-[func]{linear}
```
遍历数组和遍历链表等操作的时间复杂度均为 $O(n)$ ，其中 $n$ 为数组或链表的长度。
!!! question "如何确定输入数据大小 $n$ ？"
@ -1044,6 +1080,12 @@ $$
[class]{}-[func]{arrayTraversal}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
[class]{}-[func]{array_traversal}
```
### 平方阶 $O(n^2)$
平方阶的操作数量相对于输入数据大小以平方级别增长。平方阶通常出现在嵌套循环中，外层循环和内层循环都为 $O(n)$ ，因此总体为 $O(n^2)$ 。
@ -1114,6 +1156,12 @@ $$
[class]{}-[func]{quadratic}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
[class]{}-[func]{quadratic}
```
![常数阶、线性阶、平方阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_constant_linear_quadratic.png)
以「冒泡排序」为例，外层循环执行 $n - 1$ 次，内层循环执行 $n-1, n-2, \cdots, 2, 1$ 次，平均为 $\frac{n}{2}$ 次，因此时间复杂度为 $O(n^2)$ 。
@ -1188,6 +1236,12 @@ $$
[class]{}-[func]{bubbleSort}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
[class]{}-[func]{bubble_sort}
```
### 指数阶 $O(2^n)$
!!! note
@ -1262,6 +1316,12 @@ $$
[class]{}-[func]{exponential}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
[class]{}-[func]{exponential}
```
![指数阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_exponential.png)
在实际算法中，指数阶常出现于递归函数。例如以下代码，不断地一分为二，经过 $n$ 次分裂后停止。
@ -1332,6 +1392,12 @@ $$
[class]{}-[func]{expRecur}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
[class]{}-[func]{exp_recur}
```
### 对数阶 $O(\log n)$
与指数阶相反，对数阶反映了“每轮缩减到一半的情况”。对数阶仅次于常数阶，时间增长缓慢，是理想的时间复杂度。
@ -1406,6 +1472,12 @@ $$
[class]{}-[func]{logarithmic}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
[class]{}-[func]{logarithmic}
```
![对数阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic.png)
与指数阶类似，对数阶也常出现于递归函数。以下代码形成了一个高度为 $\log_2 n$ 的递归树。
@ -1476,6 +1548,12 @@ $$
[class]{}-[func]{logRecur}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
[class]{}-[func]{log_recur}
```
### 线性对数阶 $O(n \log n)$
线性对数阶常出现于嵌套循环中，两层循环的时间复杂度分别为 $O(\log n)$ 和 $O(n)$ 。
@ -1548,6 +1626,12 @@ $$
[class]{}-[func]{linearLogRecur}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
[class]{}-[func]{linear_log_recur}
```
![线性对数阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic_linear.png)
### 阶乘阶 $O(n!)$
@ -1626,6 +1710,12 @@ $$
[class]{}-[func]{factorialRecur}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
[class]{}-[func]{factorial_recur}
```
![阶乘阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_factorial.png)
## 最差、最佳、平均时间复杂度
@ -1744,6 +1834,14 @@ $$
[class]{}-[func]{findOne}
```
=== "Rust"
```rust title="worst_best_time_complexity.rs"
[class]{}-[func]{random_numbers}
[class]{}-[func]{find_one}
```
!!! tip
实际应用中我们很少使用「最佳时间复杂度」，因为通常只有在很小概率下才能达到，可能会带来一定的误导性。相反，「最差时间复杂度」更为实用，因为它给出了一个“效率安全值”，让我们可以放心地使用算法。

6
docs/chapter_data_structure/basic_data_types.md
View File

@ -139,3 +139,9 @@
List<String> characters = List.filled(5, 'a');
List<bool> booleans = List.filled(5, false);
```
=== "Rust"
```rust title=""
```

8
docs/chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur.md
View File

@ -127,3 +127,11 @@
[class]{}-[func]{binarySearch}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search_recur.rs"
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{binary_search}
```

8
docs/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem.md
View File

@ -147,6 +147,14 @@
[class]{}-[func]{buildTree}
```
=== "Rust"
```rust title="build_tree.rs"
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{build_tree}
```
下图展示了构建二叉树的递归过程，各个节点是在向下“递”的过程中建立的，而各条边（即引用）是在向上“归”的过程中建立的。
=== "<1>"

10
docs/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md
View File

@ -192,6 +192,16 @@
[class]{}-[func]{hanota}
```
=== "Rust"
```rust title="hanota.rs"
[class]{}-[func]{move_pan}
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{hanota}
```
如下图所示，汉诺塔问题形成一个高度为 $n$ 的递归树，每个节点代表一个子问题、对应一个开启的 `dfs()` 函数，**因此时间复杂度为 $O(2^n)$ ，空间复杂度为 $O(n)$** 。
![汉诺塔问题的递归树](hanota_problem.assets/hanota_recursive_tree.png)

18
docs/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features.md
View File

@ -100,6 +100,12 @@ $$
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDP}
```
=== "Rust"
```rust title="min_cost_climbing_stairs_dp.rs"
[class]{}-[func]{min_cost_climbing_stairs_dp}
```
![爬楼梯最小代价的动态规划过程](dp_problem_features.assets/min_cost_cs_dp.png)
本题也可以进行状态压缩，将一维压缩至零维，使得空间复杂度从 $O(n)$ 降低至 $O(1)$ 。
@ -170,6 +176,12 @@ $$
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDPComp}
```
=== "Rust"
```rust title="min_cost_climbing_stairs_dp.rs"
[class]{}-[func]{min_cost_climbing_stairs_dp_comp}
```
## 无后效性
「无后效性」是动态规划能够有效解决问题的重要特性之一，定义为：**给定一个确定的状态，它的未来发展只与当前状态有关，而与当前状态过去所经历过的所有状态无关**。
@ -274,6 +286,12 @@ $$
[class]{}-[func]{climbingStairsConstraintDP}
```
=== "Rust"
```rust title="climbing_stairs_constraint_dp.rs"
[class]{}-[func]{climbing_stairs_constraint_dp}
```
在上面的案例中，由于仅需多考虑前面一个状态，我们仍然可以通过扩展状态定义，使得问题恢复无后效性。然而，许多问题具有非常严重的“有后效性”，例如：
!!! question "爬楼梯与障碍生成"

24
docs/chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline.md
View File

@ -164,6 +164,12 @@ $$
[class]{}-[func]{minPathSumDFS}
```
=== "Rust"
```rust title="min_path_sum.rs"
[class]{}-[func]{min_path_sum_dfs}
```
下图给出了以 $dp[2, 1]$ 为根节点的递归树，其中包含一些重叠子问题，其数量会随着网格 `grid` 的尺寸变大而急剧增多。
本质上看，造成重叠子问题的原因为：**存在多条路径可以从左上角到达某一单元格**。
@ -242,6 +248,12 @@ $$
[class]{}-[func]{minPathSumDFSMem}
```
=== "Rust"
```rust title="min_path_sum.rs"
[class]{}-[func]{min_path_sum_dfs_mem}
```
引入记忆化后，所有子问题的解只需计算一次，因此时间复杂度取决于状态总数，即网格尺寸 $O(nm)$ 。
![记忆化搜索递归树](dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_dfs_mem.png)
@ -316,6 +328,12 @@ $$
[class]{}-[func]{minPathSumDP}
```
=== "Rust"
```rust title="min_path_sum.rs"
[class]{}-[func]{min_path_sum_dp}
```
下图展示了最小路径和的状态转移过程，其遍历了整个网格，**因此时间复杂度为 $O(nm)$** 。
数组 `dp` 大小为 $n \times m$ ，**因此空间复杂度为 $O(nm)$** 。
@ -427,3 +445,9 @@ $$
```dart title="min_path_sum.dart"
[class]{}-[func]{minPathSumDPComp}
```
=== "Rust"
```rust title="min_path_sum.rs"
[class]{}-[func]{min_path_sum_dp_comp}
```

12
docs/chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem.md
View File

@ -131,6 +131,12 @@ $$
[class]{}-[func]{editDistanceDP}
```
=== "Rust"
```rust title="edit_distance.rs"
[class]{}-[func]{edit_distance_dp}
```
如下图所示，编辑距离问题的状态转移过程与背包问题非常类似，都可以看作是填写一个二维网格的过程。
=== "<1>"
@ -249,3 +255,9 @@ $$
```dart title="edit_distance.dart"
[class]{}-[func]{editDistanceDPComp}
```
=== "Rust"
```rust title="edit_distance.rs"
[class]{}-[func]{edit_distance_dp_comp}
```

36
docs/chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md
View File

@ -102,6 +102,14 @@
[class]{}-[func]{climbingStairsBacktrack}
```
=== "Rust"
```rust title="climbing_stairs_backtrack.rs"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{climbing_stairs_backtrack}
```
## 方法一：暴力搜索
回溯算法通常并不显式地对问题进行拆解，而是将问题看作一系列决策步骤，通过试探和剪枝，搜索所有可能的解。
@ -219,6 +227,14 @@ $$
[class]{}-[func]{climbingStairsDFS}
```
=== "Rust"
```rust title="climbing_stairs_dfs.rs"
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{climbing_stairs_dfs}
```
下图展示了暴力搜索形成的递归树。对于问题 $dp[n]$ ，其递归树的深度为 $n$ ，时间复杂度为 $O(2^n)$ 。指数阶属于爆炸式增长，如果我们输入一个比较大的 $n$ ，则会陷入漫长的等待之中。
![爬楼梯对应递归树](intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_dfs_tree.png)
@ -322,6 +338,14 @@ $$
[class]{}-[func]{climbingStairsDFSMem}
```
=== "Rust"
```rust title="climbing_stairs_dfs_mem.rs"
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{climbing_stairs_dfs_mem}
```
观察下图，**经过记忆化处理后，所有重叠子问题都只需被计算一次，时间复杂度被优化至 $O(n)$** ，这是一个巨大的飞跃。
![记忆化搜索对应递归树](intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_dfs_memo_tree.png)
@ -400,6 +424,12 @@ $$
[class]{}-[func]{climbingStairsDP}
```
=== "Rust"
```rust title="climbing_stairs_dp.rs"
[class]{}-[func]{climbing_stairs_dp}
```
与回溯算法一样，动态规划也使用“状态”概念来表示问题求解的某个特定阶段，每个状态都对应一个子问题以及相应的局部最优解。例如，爬楼梯问题的状态定义为当前所在楼梯阶数 $i$ 。
总结以上，动态规划的常用术语包括：
@ -480,6 +510,12 @@ $$
[class]{}-[func]{climbingStairsDPComp}
```
=== "Rust"
```rust title="climbing_stairs_dp.rs"
[class]{}-[func]{climbing_stairs_dp_comp}
```
观察以上代码，由于省去了数组 `dp` 占用的空间，因此空间复杂度从 $O(n)$ 降低至 $O(1)$ 。
**这种空间优化技巧被称为「状态压缩」**。在常见的动态规划问题中，当前状态仅与前面有限个状态有关，这时我们可以应用状态压缩，只保留必要的状态，通过“降维”来节省内存空间。

24
docs/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md
View File

@ -122,6 +122,12 @@ $$
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```
=== "Rust"
```rust title="knapsack.rs"
[class]{}-[func]{knapsack_dfs}
```
如下图所示，由于每个物品都会产生不选和选两条搜索分支，因此时间复杂度为 $O(2^n)$ 。
观察递归树，容易发现其中存在重叠子问题，例如 $dp[1, 10]$ 等。而当物品较多、背包容量较大，尤其是相同重量的物品较多时，重叠子问题的数量将会大幅增多。
@ -200,6 +206,12 @@ $$
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```
=== "Rust"
```rust title="knapsack.rs"
[class]{}-[func]{knapsack_dfs_mem}
```
![0-1 背包的记忆化搜索递归树](knapsack_problem.assets/knapsack_dfs_mem.png)
### 方法三：动态规划
@ -272,6 +284,12 @@ $$
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```
=== "Rust"
```rust title="knapsack.rs"
[class]{}-[func]{knapsack_dp}
```
如下图所示，时间复杂度和空间复杂度都由数组 `dp` 大小决定，即 $O(n \times cap)$ 。
=== "<1>"
@ -412,3 +430,9 @@ $$
```dart title="knapsack.dart"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```
=== "Rust"
```rust title="knapsack.rs"
[class]{}-[func]{knapsack_dp_comp}
```

36
docs/chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem.md
View File

@ -96,6 +96,12 @@ $$
[class]{}-[func]{unboundedKnapsackDP}
```
=== "Rust"
```rust title="unbounded_knapsack.rs"
[class]{}-[func]{unbounded_knapsack_dp}
```
### 状态压缩
由于当前状态是从左边和上边的状态转移而来，**因此状态压缩后应该对 $dp$ 表中的每一行采取正序遍历**。
@ -188,6 +194,12 @@ $$
[class]{}-[func]{unboundedKnapsackDPComp}
```
=== "Rust"
```rust title="unbounded_knapsack.rs"
[class]{}-[func]{unbounded_knapsack_dp_comp}
```
## 零钱兑换问题
背包问题是一大类动态规划问题的代表，其拥有很多的变种，例如零钱兑换问题。
@ -301,6 +313,12 @@ $$
[class]{}-[func]{coinChangeDP}
```
=== "Rust"
```rust title="coin_change.rs"
[class]{}-[func]{coin_change_dp}
```
下图展示了零钱兑换的动态规划过程，和完全背包非常相似。
=== "<1>"
@ -418,6 +436,12 @@ $$
[class]{}-[func]{coinChangeDPComp}
```
=== "Rust"
```rust title="coin_change.rs"
[class]{}-[func]{coin_change_dp_comp}
```
## 零钱兑换问题 II
!!! question
@ -504,6 +528,12 @@ $$
[class]{}-[func]{coinChangeIIDP}
```
=== "Rust"
```rust title="coin_change_ii.rs"
[class]{}-[func]{coin_change_ii_dp}
```
### 状态压缩
状态压缩处理方式相同，删除硬币维度即可。
@ -573,3 +603,9 @@ $$
```dart title="coin_change_ii.dart"
[class]{}-[func]{coinChangeIIDPComp}
```
=== "Rust"
```rust title="coin_change_ii.rs"
[class]{}-[func]{coin_change_ii_dp_comp}
```

12
docs/chapter_graph/graph_operations.md
View File

@ -94,6 +94,12 @@
[class]{GraphAdjMat}-[func]{}
```
=== "Rust"
```rust title="graph_adjacency_matrix.rs"
[class]{GraphAdjMat}-[func]{}
```
## 基于邻接表的实现
设无向图的顶点总数为 $n$ 、边总数为 $m$ ，则有：
@ -191,6 +197,12 @@
[class]{GraphAdjList}-[func]{}
```
=== "Rust"
```rust title="graph_adjacency_list.rs"
[class]{GraphAdjList}-[func]{}
```
## 效率对比
设图中共有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边，下表为邻接矩阵和邻接表的时间和空间效率对比。

14
docs/chapter_graph/graph_traversal.md
View File

@ -90,6 +90,12 @@ BFS 通常借助「队列」来实现。队列具有“先入先出”的性质
[class]{}-[func]{graphBFS}
```
=== "Rust"
```rust title="graph_bfs.rs"
[class]{}-[func]{graph_bfs}
```
代码相对抽象，建议对照以下动画图示来加深理解。
=== "<1>"
@ -233,6 +239,14 @@ BFS 通常借助「队列」来实现。队列具有“先入先出”的性质
[class]{}-[func]{graphDFS}
```
=== "Rust"
```rust title="graph_dfs.rs"
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{graph_dfs}
```
深度优先遍历的算法流程如下图所示，其中：
- **直虚线代表向下递推**，表示开启了一个新的递归方法来访问新顶点。

8
docs/chapter_greedy/fractional_knapsack_problem.md
View File

@ -119,6 +119,14 @@
[class]{}-[func]{fractionalKnapsack}
```
=== "Rust"
```rust title="fractional_knapsack.rs"
[class]{Item}-[func]{}
[class]{}-[func]{fractional_knapsack}
```
最差情况下，需要遍历整个物品列表，**因此时间复杂度为 $O(n)$** ，其中 $n$ 为物品数量。
由于初始化了一个 `Item` 对象列表，**因此空间复杂度为 $O(n)$** 。

6
docs/chapter_greedy/greedy_algorithm.md
View File

@ -85,6 +85,12 @@
[class]{}-[func]{coinChangeGreedy}
```
=== "Rust"
```rust title="coin_change_greedy.rs"
[class]{}-[func]{coin_change_greedy}
```
## 贪心优点与局限性
**贪心算法不仅操作直接、实现简单，而且通常效率也很高**。在以上代码中，记硬币最小面值为 $\min(coins)$ ，则贪心选择最多循环 $amt / \min(coins)$ 次，时间复杂度为 $O(amt / \min(coins))$ 。这比动态规划解法的时间复杂度 $O(n \times amt)$ 提升了一个数量级。

6
docs/chapter_greedy/max_capacity_problem.md
View File

@ -143,6 +143,12 @@ $$
[class]{}-[func]{maxCapacity}
```
=== "Rust"
```rust title="max_capacity.rs"
[class]{}-[func]{max_capacity}
```
### 正确性证明
之所以贪心比穷举更快，是因为每轮的贪心选择都会“跳过”一些状态。

6
docs/chapter_greedy/max_product_cutting_problem.md
View File

@ -129,6 +129,12 @@ $$
[class]{}-[func]{maxProductCutting}
```
=== "Rust"
```rust title="max_product_cutting.rs"
[class]{}-[func]{max_product_cutting}
```
![最大切分乘积的计算方法](max_product_cutting_problem.assets/max_product_cutting_greedy_calculation.png)
**时间复杂度取决于编程语言的幂运算的实现方法**。以 Python 为例，常用的幂计算函数有三种：

18
docs/chapter_hashing/hash_algorithm.md
View File

@ -177,6 +177,18 @@ index = hash(key) % capacity
[class]{}-[func]{rot_hash}
```
=== "Rust"
```rust title="simple_hash.rs"
[class]{}-[func]{add_hash}
[class]{}-[func]{mul_hash}
[class]{}-[func]{xor_hash}
[class]{}-[func]{rot_hash}
```
观察发现，每种哈希算法的最后一步都是对大质数 $1000000007$ 取模，以确保哈希值在合适的范围内。值得思考的是，为什么要强调对质数取模，或者说对合数取模的弊端是什么？这是一个有趣的问题。
先抛出结论：**当我们使用大质数作为模数时，可以最大化地保证哈希值的均匀分布**。因为质数不会与其他数字存在公约数，可以减少因取模操作而产生的周期性模式，从而避免哈希冲突。
@ -431,6 +443,12 @@ $$
// 节点对象 Instance of 'ListNode' 的哈希值为 1033450432
```
=== "Rust"
```rust title="built_in_hash.rs"
```
在许多编程语言中，**只有不可变对象才可作为哈希表的 `key`** 。假如我们将列表（动态数组）作为 `key` ，当列表的内容发生变化时，它的哈希值也随之改变，我们就无法在哈希表中查询到原先的 `value` 了。
虽然自定义对象（比如链表节点）的成员变量是可变的，但它是可哈希的。**这是因为对象的哈希值通常是基于内存地址生成的**，即使对象的内容发生了变化，但它的内存地址不变，哈希值仍然是不变的。

12
docs/chapter_hashing/hash_collision.md
View File

@ -97,6 +97,12 @@
[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```
=== "Rust"
```rust title="hash_map_chaining.rs"
[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```
!!! tip
当链表很长时，查询效率 $O(n)$ 很差，**此时可以将链表转换为「AVL 树」或「红黑树」**，从而将查询操作的时间复杂度优化至 $O(\log n)$ 。
@ -190,6 +196,12 @@
[class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
```
=== "Rust"
```rust title="hash_map_open_addressing.rs"
[class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
```
### 多次哈希
顾名思义，多次哈希方法是使用多个哈希函数 $f_1(x)$ , $f_2(x)$ , $f_3(x)$ , $\cdots$ 进行探测。

20
docs/chapter_hashing/hash_map.md
View File

@ -250,6 +250,12 @@
map.remove(10583);
```
=== "Rust"
```rust title="hash_map.rs"
```
哈希表有三种常用遍历方式：遍历键值对、遍历键和遍历值。
=== "Java"
@ -425,6 +431,12 @@
});
```
=== "Rust"
```rust title="hash_map.rs"
```
## 哈希表简单实现
我们先考虑最简单的情况，**仅用一个数组来实现哈希表**。在哈希表中，我们将数组中的每个空位称为「桶 Bucket」，每个桶可存储一个键值对。因此，查询操作就是找到 `key` 对应的桶，并在桶中获取 `value` 。
@ -545,6 +557,14 @@ index = hash(key) % capacity
[class]{ArrayHashMap}-[func]{}
```
=== "Rust"
```rust title="array_hash_map.rs"
[class]{Pair}-[func]{}
[class]{ArrayHashMap}-[func]{}
```
## 哈希冲突与扩容
本质上看，哈希函数的作用是将所有 `key` 构成的输入空间映射到数组所有索引构成的输出空间，而输入空间往往远大于输出空间。因此，**理论上一定存在“多个输入对应相同输出”的情况**。

6
docs/chapter_heap/build_heap.md
View File

@ -78,6 +78,12 @@
[class]{MaxHeap}-[func]{MaxHeap}
```
=== "Rust"
```rust title="my_heap.rs"
[class]{MaxHeap}-[func]{new}
```
## 复杂度分析
为什么第二种建堆方法的时间复杂度是 $O(n)$ ？我们来展开推算一下。

38
docs/chapter_heap/heap.md
View File

@ -307,6 +307,12 @@
// Dart 未提供内置 Heap 类
```
=== "Rust"
```rust title="heap.rs"
```
## 堆的实现
下文实现的是大顶堆。若要将其转换为小顶堆，只需将所有大小逻辑判断取逆（例如，将 $\geq$ 替换为 $\leq$ ）。感兴趣的读者可以自行实现。
@ -433,6 +439,16 @@
[class]{MaxHeap}-[func]{_parent}
```
=== "Rust"
```rust title="my_heap.rs"
[class]{MaxHeap}-[func]{left}
[class]{MaxHeap}-[func]{right}
[class]{MaxHeap}-[func]{parent}
```
### 访问堆顶元素
堆顶元素即为二叉树的根节点，也就是列表的首个元素。
@ -503,6 +519,12 @@
[class]{MaxHeap}-[func]{peek}
```
=== "Rust"
```rust title="my_heap.rs"
[class]{MaxHeap}-[func]{peek}
```
### 元素入堆
给定元素 `val` ，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于 val 可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏。因此，**需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点**，这个操作被称为「堆化 Heapify」。
@ -626,6 +648,14 @@
[class]{MaxHeap}-[func]{siftUp}
```
=== "Rust"
```rust title="my_heap.rs"
[class]{MaxHeap}-[func]{push}
[class]{MaxHeap}-[func]{sift_up}
```
### 堆顶元素出堆
堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采取以下操作步骤：
@ -756,6 +786,14 @@
[class]{MaxHeap}-[func]{siftDown}
```
=== "Rust"
```rust title="my_heap.rs"
[class]{MaxHeap}-[func]{pop}
[class]{MaxHeap}-[func]{sift_down}
```
## 堆常见应用
- **优先队列**：堆通常作为实现优先队列的首选数据结构，其入队和出队操作的时间复杂度均为 $O(\log n)$ ，而建队操作为 $O(n)$ ，这些操作都非常高效。

6
docs/chapter_heap/top_k.md
View File

@ -131,3 +131,9 @@
```dart title="top_k.dart"
[class]{}-[func]{top_k_heap}
```
=== "Rust"
```rust title="top_k.rs"
[class]{}-[func]{top_k_heap}
```

6
docs/chapter_preface/suggestions.md
View File

@ -154,6 +154,12 @@
*/
```
=== "Rust"
```rust title=""
```
## 在动画图解中高效学习
相较于文字，视频和图片具有更高的信息密度和结构化程度，因此更易于理解。在本书中，**重点和难点知识将主要通过动画和图解形式展示**，而文字则作为动画和图片的解释与补充。

12
docs/chapter_searching/binary_search.md
View File

@ -110,6 +110,12 @@
[class]{}-[func]{binarySearch}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search.rs"
[class]{}-[func]{binary_search}
```
时间复杂度为 $O(\log n)$ 。每轮缩小一半区间，因此二分循环次数为 $\log_2 n$ 。
空间复杂度为 $O(1)$ 。指针 `i` , `j` 使用常数大小空间。
@ -186,6 +192,12 @@
[class]{}-[func]{binarySearchLCRO}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search.rs"
[class]{}-[func]{binary_search_lcro}
```
如下图所示，在两种区间表示下，二分查找算法的初始化、循环条件和缩小区间操作皆有所不同。
在“双闭区间”表示法中，由于左右边界都被定义为闭区间，因此指针 $i$ 和 $j$ 缩小区间操作也是对称的。这样更不容易出错。因此，**我们通常采用“双闭区间”的写法**。

12
docs/chapter_searching/binary_search_edge.md
View File

@ -118,6 +118,12 @@
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search_edge.rs"
[class]{}-[func]{binary_search_left_edge}
```
## 查找右边界
类似地，我们也可以二分查找最右边的 `target` 。当 `nums[m] == target` 时，说明大于 `target` 的元素在区间 $[m + 1, j]$ 中，因此执行 `i = m + 1` ，**使得指针 $i$ 向大于 `target` 的元素靠近**。
@ -190,6 +196,12 @@
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search_edge.rs"
[class]{}-[func]{binary_search_right_edge}
```
观察下图，搜索最右边元素时指针 $j$ 的作用与搜索最左边元素时指针 $i$ 的作用一致，反之亦然。也就是说，**搜索最左边元素和最右边元素的实现是镜像对称的**。
![查找最左边和最右边元素的对称性](binary_search_edge.assets/binary_search_left_right_edge.png)

12
docs/chapter_searching/replace_linear_by_hashing.md
View File

@ -78,6 +78,12 @@
[class]{}-[func]{twoSumBruteForce}
```
=== "Rust"
```rust title="two_sum.rs"
[class]{}-[func]{two_sum_brute_force}
```
此方法的时间复杂度为 $O(n^2)$ ，空间复杂度为 $O(1)$ ，在大数据量下非常耗时。
## 哈希查找：以空间换时间
@ -166,6 +172,12 @@
[class]{}-[func]{twoSumHashTable}
```
=== "Rust"
```rust title="two_sum.rs"
[class]{}-[func]{two_sum_hash_table}
```
此方法通过哈希查找将时间复杂度从 $O(n^2)$ 降低至 $O(n)$ ，大幅提升运行效率。
由于需要维护一个额外的哈希表，因此空间复杂度为 $O(n)$ 。**尽管如此，该方法的整体时空效率更为均衡，因此它是本题的最优解法**。

12
docs/chapter_sorting/bubble_sort.md
View File

@ -102,6 +102,12 @@
[class]{}-[func]{bubbleSort}
```
=== "Rust"
```rust title="bubble_sort.rs"
[class]{}-[func]{bubble_sort}
```
## 效率优化
我们发现，如果某轮“冒泡”中没有执行任何交换操作，说明数组已经完成排序，可直接返回结果。因此，可以增加一个标志位 `flag` 来监测这种情况，一旦出现就立即返回。
@ -174,6 +180,12 @@
[class]{}-[func]{bubbleSortWithFlag}
```
=== "Rust"
```rust title="bubble_sort.rs"
[class]{}-[func]{bubble_sort_with_flag}
```
## 算法特性
- **时间复杂度为 $O(n^2)$ 、自适应排序** ：各轮“冒泡”遍历的数组长度依次为 $n - 1$ , $n - 2$ , $\cdots$ , $2$ , $1$ ，总和为 $\frac{(n - 1) n}{2}$ 。在引入 `flag` 优化后，最佳时间复杂度可达到 $O(n)$ 。

6
docs/chapter_sorting/bucket_sort.md
View File

@ -80,6 +80,12 @@
[class]{}-[func]{bucketSort}
```
=== "Rust"
```rust title="bucket_sort.rs"
[class]{}-[func]{bucket_sort}
```
!!! question "桶排序的适用场景是什么？"
桶排序适用于处理体量很大的数据。例如，输入数据包含 100 万个元素，由于空间限制，系统内存无法一次性加载所有数据。此时，可以将数据分成 1000 个桶，然后分别对每个桶进行排序，最后将结果合并。

12
docs/chapter_sorting/counting_sort.md
View File

@ -78,6 +78,12 @@
[class]{}-[func]{countingSortNaive}
```
=== "Rust"
```rust title="counting_sort.rs"
[class]{}-[func]{counting_sort_naive}
```
!!! note "计数排序与桶排序的联系"
从桶排序的角度看，我们可以将计数排序中的计数数组 `counter` 的每个索引视为一个桶，将统计数量的过程看作是将各个元素分配到对应的桶中。本质上，计数排序是桶排序在整型数据下的一个特例。
@ -191,6 +197,12 @@ $$
[class]{}-[func]{countingSort}
```
=== "Rust"
```rust title="counting_sort.rs"
[class]{}-[func]{counting_sort}
```
## 算法特性
- **时间复杂度 $O(n + m)$** ：涉及遍历 `nums` 和遍历 `counter` ，都使用线性时间。一般情况下 $n \gg m$ ，时间复杂度趋于 $O(n)$ 。

8
docs/chapter_sorting/heap_sort.md
View File

@ -148,6 +148,14 @@
[class]{}-[func]{heapSort}
```
=== "Rust"
```rust title="heap_sort.rs"
[class]{}-[func]{sift_down}
[class]{}-[func]{heap_sort}
```
## 算法特性
- **时间复杂度 $O(n \log n)$ 、非自适应排序** ：建堆操作使用 $O(n)$ 时间。从堆中提取最大元素的时间复杂度为 $O(\log n)$ ，共循环 $n - 1$ 轮。

6
docs/chapter_sorting/insertion_sort.md
View File

@ -85,6 +85,12 @@
[class]{}-[func]{insertionSort}
```
=== "Rust"
```rust title="insertion_sort.rs"
[class]{}-[func]{insertion_sort}
```
## 算法特性
- **时间复杂度 $O(n^2)$ 、自适应排序** ：最差情况下，每次插入操作分别需要循环 $n - 1$ , $n-2$ , $\cdots$ , $2$ , $1$ 次，求和得到 $\frac{(n - 1) n}{2}$ ，因此时间复杂度为 $O(n^2)$ 。在遇到有序数据时，插入操作会提前终止。当输入数组完全有序时，插入排序达到最佳时间复杂度 $O(n)$ 。

8
docs/chapter_sorting/merge_sort.md
View File

@ -139,6 +139,14 @@
[class]{}-[func]{mergeSort}
```
=== "Rust"
```rust title="merge_sort.rs"
[class]{}-[func]{merge}
[class]{}-[func]{merge_sort}
```
合并方法 `merge()` 代码中的难点包括：
- **在阅读代码时，需要特别注意各个变量的含义**。`nums` 的待合并区间为 `[left, right]` ，但由于 `tmp` 仅复制了 `nums` 该区间的元素，因此 `tmp` 对应区间为 `[0, right - left]` 。

26
docs/chapter_sorting/quick_sort.md
View File

@ -125,6 +125,12 @@
[class]{QuickSort}-[func]{_partition}
```
=== "Rust"
```rust title="quick_sort.rs"
[class]{QuickSort}-[func]{partition}
```
## 算法流程
1. 首先，对原数组执行一次「哨兵划分」，得到未排序的左子数组和右子数组。
@ -199,6 +205,12 @@
[class]{QuickSort}-[func]{quickSort}
```
=== "Rust"
```rust title="quick_sort.rs"
[class]{QuickSort}-[func]{quick_sort}
```
## 算法特性
- **时间复杂度 $O(n \log n)$ 、自适应排序** ：在平均情况下，哨兵划分的递归层数为 $\log n$ ，每层中的总循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n \log n)$ 时间。在最差情况下，每轮哨兵划分操作都将长度为 $n$ 的数组划分为长度为 $0$ 和 $n - 1$ 的两个子数组，此时递归层数达到 $n$ 层，每层中的循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n^2)$ 时间。
@ -311,6 +323,14 @@
[class]{QuickSortMedian}-[func]{_partition}
```
=== "Rust"
```rust title="quick_sort.rs"
[class]{QuickSortMedian}-[func]{median_three}
[class]{QuickSortMedian}-[func]{partition}
```
## 尾递归优化
**在某些输入下，快速排序可能占用空间较多**。以完全倒序的输入数组为例，由于每轮哨兵划分后右子数组长度为 $0$ ，递归树的高度会达到 $n - 1$ ，此时需要占用 $O(n)$ 大小的栈帧空间。
@ -382,3 +402,9 @@
```dart title="quick_sort.dart"
[class]{QuickSortTailCall}-[func]{quickSort}
```
=== "Rust"
```rust title="quick_sort.rs"
[class]{QuickSortTailCall}-[func]{quick_sort}
```

10
docs/chapter_sorting/radix_sort.md
View File

@ -134,6 +134,16 @@ $$
[class]{}-[func]{radixSort}
```
=== "Rust"
```rust title="radix_sort.rs"
[class]{}-[func]{digit}
[class]{}-[func]{counting_sort_digit}
[class]{}-[func]{radix_sort}
```
!!! question "为什么从最低位开始排序？"
在连续的排序轮次中，后一轮排序会覆盖前一轮排序的结果。举例来说，如果第一轮排序结果 $a < b$ ，而第二轮排序结果 $a > b$ ，那么第二轮的结果将取代第一轮的结果。由于数字的高位优先级高于低位，我们应该先排序低位再排序高位。

6
docs/chapter_sorting/selection_sort.md
View File

@ -111,6 +111,12 @@
[class]{}-[func]{selectionSort}
```
=== "Rust"
```rust title="selection_sort.rs"
[class]{}-[func]{selection_sort}
```
## 算法特性
- **时间复杂度为 $O(n^2)$ 、非自适应排序**：外循环共 $n - 1$ 轮，第一轮的未排序区间长度为 $n$ ，最后一轮的未排序区间长度为 $2$ ，即各轮外循环分别包含 $n$ , $n - 1$ , $\cdots$ , $2$ 轮内循环，求和为 $\frac{(n - 1)(n + 2)}{2}$ 。

20
docs/chapter_stack_and_queue/deque.md
View File

@ -312,6 +312,12 @@
bool isEmpty = deque.isEmpty;W
```
=== "Rust"
```rust title="deque.rs"
```
## 双向队列实现 *
双向队列的实现与队列类似，可以选择链表或数组作为底层数据结构。
@ -427,6 +433,14 @@
[class]{LinkedListDeque}-[func]{}
```
=== "Rust"
```rust title="linkedlist_deque.rs"
[class]{ListNode}-[func]{}
[class]{LinkedListDeque}-[func]{}
```
### 基于数组的实现
与基于数组实现队列类似，我们也可以使用环形数组来实现双向队列。在队列的实现基础上，仅需增加“队首入队”和“队尾出队”的方法。
@ -514,6 +528,12 @@
[class]{ArrayDeque}-[func]{}
```
=== "Rust"
```rust title="array_deque.rs"
[class]{ArrayDeque}-[func]{}
```
## 双向队列应用
双向队列兼具栈与队列的逻辑，**因此它可以实现这两者的所有应用场景，同时提供更高的自由度**。

18
docs/chapter_stack_and_queue/queue.md
View File

@ -279,6 +279,12 @@
bool isEmpty = queue.isEmpty;
```
=== "Rust"
```rust title="queue.rs"
```
## 队列实现
为了实现队列，我们需要一种数据结构，可以在一端添加元素，并在另一端删除元素。因此，链表和数组都可以用来实现队列。
@ -364,6 +370,12 @@
[class]{LinkedListQueue}-[func]{}
```
=== "Rust"
```rust title="linkedlist_queue.rs"
[class]{LinkedListQueue}-[func]{}
```
### 基于数组的实现
由于数组删除首元素的时间复杂度为 $O(n)$ ，这会导致出队操作效率较低。然而，我们可以采用以下巧妙方法来避免这个问题。
@ -456,6 +468,12 @@
[class]{ArrayQueue}-[func]{}
```
=== "Rust"
```rust title="array_queue.rs"
[class]{ArrayQueue}-[func]{}
```
以上实现的队列仍然具有局限性，即其长度不可变。然而，这个问题不难解决，我们可以将数组替换为动态数组，从而引入扩容机制。有兴趣的同学可以尝试自行实现。
两种实现的对比结论与栈一致，在此不再赘述。

18
docs/chapter_stack_and_queue/stack.md
View File

@ -277,6 +277,12 @@
bool isEmpty = stack.isEmpty;
```
=== "Rust"
```rust title="stack.rs"
```
## 栈的实现
为了深入了解栈的运行机制，我们来尝试自己实现一个栈类。
@ -366,6 +372,12 @@
[class]{LinkedListStack}-[func]{}
```
=== "Rust"
```rust title="linkedlist_stack.rs"
[class]{LinkedListStack}-[func]{}
```
### 基于数组的实现
在基于「数组」实现栈时，我们可以将数组的尾部作为栈顶。在这样的设计下，入栈与出栈操作就分别对应在数组尾部添加元素与删除元素，时间复杂度都为 $O(1)$ 。
@ -447,6 +459,12 @@
[class]{ArrayStack}-[func]{}
```
=== "Rust"
```rust title="array_stack.rs"
[class]{ArrayStack}-[func]{}
```
## 两种实现对比
### 支持操作

12
docs/chapter_tree/array_representation_of_tree.md
View File

@ -108,6 +108,12 @@
List<int?> tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];
```
=== "Rust"
```rust title=""
```
![任意类型二叉树的数组表示](array_representation_of_tree.assets/array_representation_with_empty.png)
值得说明的是，**完全二叉树非常适合使用数组来表示**。回顾完全二叉树的定义，$\text{None}$ 只出现在最底层且靠右的位置，**因此所有 $\text{None}$ 一定出现在层序遍历序列的末尾**。这意味着使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储所有 $\text{None}$ ，非常方便。
@ -185,6 +191,12 @@
[class]{ArrayBinaryTree}-[func]{}
```
=== "Rust"
```rust title="array_binary_tree.rs"
[class]{ArrayBinaryTree}-[func]{}
```
## 优势与局限性
二叉树的数组表示的优点包括：

54
docs/chapter_tree/avl_tree.md
View File

@ -182,6 +182,12 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
```
「节点高度」是指从该节点到最远叶节点的距离，即所经过的“边”的数量。需要特别注意的是，叶节点的高度为 0 ，而空节点的高度为 -1 。我们将创建两个工具函数，分别用于获取和更新节点的高度。
=== "Java"
@ -272,6 +278,14 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
[class]{AVLTree}-[func]{updateHeight}
```
=== "Rust"
```rust title="avl_tree.rs"
[class]{AVLTree}-[func]{height}
[class]{AVLTree}-[func]{update_height}
```
### 节点平衡因子
节点的「平衡因子 Balance Factor」定义为节点左子树的高度减去右子树的高度，同时规定空节点的平衡因子为 0 。我们同样将获取节点平衡因子的功能封装成函数，方便后续使用。
@ -342,6 +356,12 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
[class]{AVLTree}-[func]{balanceFactor}
```
=== "Rust"
```rust title="avl_tree.rs"
[class]{AVLTree}-[func]{balance_factor}
```
!!! note
设平衡因子为 $f$ ，则一棵 AVL 树的任意节点的平衡因子皆满足 $-1 \le f \le 1$ 。
@ -440,6 +460,12 @@ AVL 树的特点在于「旋转 Rotation」操作，它能够在不影响二叉
[class]{AVLTree}-[func]{rightRotate}
```
=== "Rust"
```rust title="avl_tree.rs"
[class]{AVLTree}-[func]{right_rotate}
```
### 左旋
相应的，如果考虑上述失衡二叉树的“镜像”，则需要执行「左旋」操作。
@ -518,6 +544,12 @@ AVL 树的特点在于「旋转 Rotation」操作，它能够在不影响二叉
[class]{AVLTree}-[func]{leftRotate}
```
=== "Rust"
```rust title="avl_tree.rs"
[class]{AVLTree}-[func]{left_rotate}
```
### 先左旋后右旋
对于下图中的失衡节点 3，仅使用左旋或右旋都无法使子树恢复平衡。此时需要先左旋后右旋，即先对 `child` 执行「左旋」，再对 `node` 执行「右旋」。
@ -617,6 +649,12 @@ AVL 树的特点在于「旋转 Rotation」操作，它能够在不影响二叉
[class]{AVLTree}-[func]{rotate}
```
=== "Rust"
```rust title="avl_tree.rs"
[class]{AVLTree}-[func]{rotate}
```
## AVL 树常用操作
### 插入节点
@ -711,6 +749,14 @@ AVL 树的特点在于「旋转 Rotation」操作，它能够在不影响二叉
[class]{AVLTree}-[func]{insertHelper}
```
=== "Rust"
```rust title="avl_tree.rs"
[class]{AVLTree}-[func]{insert}
[class]{AVLTree}-[func]{insert_helper}
```
### 删除节点
类似地，在二叉搜索树的删除节点方法的基础上，需要从底至顶地执行旋转操作，使所有失衡节点恢复平衡。
@ -803,6 +849,14 @@ AVL 树的特点在于「旋转 Rotation」操作，它能够在不影响二叉
[class]{AVLTree}-[func]{removeHelper}
```
=== "Rust"
```rust title="avl_tree.rs"
[class]{AVLTree}-[func]{remove}
[class]{AVLTree}-[func]{remove_helper}
```
### 查找节点
AVL 树的节点查找操作与二叉搜索树一致，在此不再赘述。

18
docs/chapter_tree/binary_search_tree.md
View File

@ -97,6 +97,12 @@
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search_tree.rs"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```
### 插入节点
给定一个待插入元素 `num` ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，插入操作分为两步：
@ -174,6 +180,12 @@
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search_tree.rs"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```
为了插入节点，我们需要利用辅助节点 `pre` 保存上一轮循环的节点，这样在遍历至 $\text{None}$ 时，我们可以获取到其父节点，从而完成节点插入操作。
与查找节点相同，插入节点使用 $O(\log n)$ 时间。
@ -275,6 +287,12 @@
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search_tree.rs"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}
```
### 排序
我们知道，二叉树的中序遍历遵循“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”的遍历顺序，而二叉搜索树满足“左子节点 $<$ 根节点 $<$ 右子节点”的大小关系。因此，在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小节点，从而得出一个重要性质：**二叉搜索树的中序遍历序列是升序的**。

18
docs/chapter_tree/binary_tree.md
View File

@ -155,6 +155,12 @@
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
```
节点的两个指针分别指向「左子节点」和「右子节点」，同时该节点被称为这两个子节点的「父节点」。当给定一个二叉树的节点时，我们将该节点的左子节点及其以下节点形成的树称为该节点的「左子树」，同理可得「右子树」。
**在二叉树中，除叶节点外，其他所有节点都包含子节点和非空子树**。例如，在以下示例中，若将“节点 2”视为父节点，则其左子节点和右子节点分别是“节点 4”和“节点 5”，左子树是“节点 4 及其以下节点形成的树”，右子树是“节点 5 及其以下节点形成的树”。
@ -358,6 +364,12 @@
n2.right = n5;
```
=== "Rust"
```rust title="binary_tree.rs"
```
**插入与删除节点**。与链表类似，通过修改指针来实现插入与删除节点。
![在二叉树中插入与删除节点](binary_tree.assets/binary_tree_add_remove.png)
@ -486,6 +498,12 @@
n1.left = n2;
```
=== "Rust"
```rust title="binary_tree.rs"
```
!!! note
需要注意的是，插入节点可能会改变二叉树的原有逻辑结构，而删除节点通常意味着删除该节点及其所有子树。因此，在二叉树中，插入与删除操作通常是由一套操作配合完成的，以实现有实际意义的操作。

16
docs/chapter_tree/binary_tree_traversal.md
View File

@ -80,6 +80,12 @@
[class]{}-[func]{levelOrder}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_tree_bfs.rs"
[class]{}-[func]{level_order}
```
**时间复杂度**：所有节点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间，其中 $n$ 为节点数量。
**空间复杂度**：在最差情况下，即满二叉树时，遍历到最底层之前，队列中最多同时存在 $\frac{n + 1}{2}$ 个节点，占用 $O(n)$ 空间。
@ -204,6 +210,16 @@
[class]{}-[func]{postOrder}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_tree_dfs.rs"
[class]{}-[func]{pre_order}
[class]{}-[func]{in_order}
[class]{}-[func]{post_order}
```
**时间复杂度**：所有节点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间，其中 $n$ 为节点数量。
**空间复杂度**：在最差情况下，即树退化为链表时，递归深度达到 $n$ ，系统占用 $O(n)$ 栈帧空间。