修改一些命名问题
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3、**加粗等信息需要保留,同时鼓励扩展自己的知识**,增加参考文献,将重要知识点添加粗体或使用英语(或其他语言)特有的表达形式来表达某些思想。
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4、对于图片,很少包含汉字,如果不影响理解,比如图片右下角的公众号水印,就不必修改了。**如果汉字涉及算法理解,需要把图片一同修改了**,把汉字抹掉换成英文,或者汉字比较少的话,在汉字旁添加对应英文。**对于一些描述题目的图片**,都是我在中文版 LeetCode 上截的图,你可以去英文版 LeetCode 上寻找对应题目截图替换,如果不知道是哪一题,可以要求我给你找。
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4、对于图片,很少包含汉字,如果不影响理解,比如图片右下角的公众号水印,就不必修改了。**如果汉字涉及算法理解,需要把图片一同修改了**,把汉字抹掉换成英文,或者汉字比较少的话,在汉字旁添加对应英文。**对于一些描述题目的图片**,都是我在中文版 LeetCode 上截的图,你可以去英文版 LeetCode 上寻找对应题目截图替换,如果不知道是哪一题,可以在 issue 留言我给你找。原中文 md 文件需要删除。
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5、**保持原有的目录结构,但文件和文件夹的名称应改为英文**,md 文件的名称根据具体文章内容修改成恰当的英文,文章引用的图片路径有时也会包含中文,需要你将装有该图片的文件夹改成适当的英文。
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5、**保持原有的目录结构,但文件和文件夹的名称应改为英文**,md 文件的名称根据具体文章内容修改成恰当的英文(文件名不要带空格),文章引用的图片路径有时也会包含中文,需要你将装有该图片的文件夹改成适当的英文。
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6、**只处理在 issue 中约定的文章(和相关的图片),不要动其他任何的内容**,否则后续你对主仓库提交成果的时候,容易出现冲突。如果出现冲突,你需要先想办法使用 Git 工具解决本地仓库和主仓库的版本冲突才能提交 pull request,练习 Git 的使用是非常重要的。
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@ -1,208 +0,0 @@
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# 如何调度考生的座位
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这是 LeetCode 第 885 题,有趣且具有一定技巧性。这种题目并不像动态规划这类算法拼智商,而是看你对常用数据结构的理解和写代码的水平,个人认为值得重视和学习。
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另外说句题外话,很多读者都问,算法框架是如何总结出来的,其实框架反而是慢慢从细节里抠出来的。希望大家看了我们的文章之后,最好能抽时间把相关的问题亲自做一做,纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行嘛。
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先来描述一下题目:假设有一个考场,考场有一排共 `N` 个座位,索引分别是 `[0..N-1]`,考生会**陆续**进入考场考试,并且可能在**任何时候**离开考场。
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你作为考官,要安排考生们的座位,满足:**每当一个学生进入时,你需要最大化他和最近其他人的距离;如果有多个这样的座位,安排到他到索引最小的那个座位**。这很符合实际情况对吧,
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也就是请你实现下面这样一个类:
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```java
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class ExamRoom {
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// 构造函数,传入座位总数 N
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public ExamRoom(int N);
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// 来了一名考生,返回你给他分配的座位
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public int seat();
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// 坐在 p 位置的考生离开了
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// 可以认为 p 位置一定坐有考生
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public void leave(int p);
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}
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```
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比方说考场有 5 个座位,分别是 `[0..4]`:
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第一名考生进入时(调用 `seat()`),坐在任何位置都行,但是要给他安排索引最小的位置,也就是返回位置 0。
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第二名学生进入时(再调用 `seat()`),要和旁边的人距离最远,也就是返回位置 4。
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第三名学生进入时,要和旁边的人距离最远,应该做到中间,也就是座位 2。
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如果再进一名学生,他可以坐在座位 1 或者 3,取较小的索引 1。
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以此类推。
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刚才所说的情况,没有调用 `leave` 函数,不过读者肯定能够发现规律:
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**如果将每两个相邻的考生看做线段的两端点,新安排考生就是找最长的线段,然后让该考生在中间把这个线段「二分」,中点就是给他分配的座位。`leave(p)` 其实就是去除端点 `p`,使得相邻两个线段合并为一个**。
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核心思路很简单对吧,所以这个问题实际上实在考察你对数据结构的理解。对于上述这个逻辑,你用什么数据结构来实现呢?
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### 一、思路分析
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根据上述思路,首先需要把坐在教室的学生抽象成线段,我们可以简单的用一个大小为 2 的数组表示。
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另外,思路需要我们找到「最长」的线段,还需要去除线段,增加线段。
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**但凡遇到在动态过程中取最值的要求,肯定要使用有序数据结构,我们常用的数据结构就是二叉堆和平衡二叉搜索树了**。二叉堆实现的优先级队列取最值的时间复杂度是 O(logN),但是只能删除最大值。平衡二叉树也可以取最值,也可以修改、删除任意一个值,而且时间复杂度都是 O(logN)。
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综上,二叉堆不能满足 `leave` 操作,应该使用平衡二叉树。所以这里我们会用到 Java 的一种数据结构 `TreeSet`,这是一种有序数据结构,底层由红黑树维护有序性。
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这里顺便提一下,一说到集合(Set)或者映射(Map),有的读者可能就想当然的认为是哈希集合(HashSet)或者哈希表(HashMap),这样理解是有点问题的。
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因为哈希集合/映射底层是由哈希函数和数组实现的,特性是遍历无固定顺序,但是操作效率高,时间复杂度为 O(1)。
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而集合/映射还可以依赖其他底层数据结构,常见的就是红黑树(一种平衡二叉搜索树),特性是自动维护其中元素的顺序,操作效率是 O(logN)。这种一般称为「有序集合/映射」。
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我们使用的 `TreeSet` 就是一个有序集合,目的就是为了保持线段长度的有序性,快速查找最大线段,快速删除和插入。
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### 二、简化问题
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首先,如果有多个可选座位,需要选择索引最小的座位对吧?**我们先简化一下问题,暂时不管这个要求**,实现上述思路。
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这个问题还用到一个常用的编程技巧,就是使用一个「虚拟线段」让算法正确启动,这就和链表相关的算法需要「虚拟头结点」一个道理。
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```java
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// 将端点 p 映射到以 p 为左端点的线段
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private Map<Integer, int[]> startMap;
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// 将端点 p 映射到以 p 为右端点的线段
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private Map<Integer, int[]> endMap;
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// 根据线段长度从小到大存放所有线段
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private TreeSet<int[]> pq;
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private int N;
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public ExamRoom(int N) {
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this.N = N;
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startMap = new HashMap<>();
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endMap = new HashMap<>();
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pq = new TreeSet<>((a, b) -> {
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// 算出两个线段的长度
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int distA = distance(a);
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int distB = distance(b);
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// 长度更长的更大,排后面
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return distA - distB;
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});
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// 在有序集合中先放一个虚拟线段
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addInterval(new int[] {-1, N});
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}
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/* 去除一个线段 */
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private void removeInterval(int[] intv) {
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pq.remove(intv);
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startMap.remove(intv[0]);
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||||
endMap.remove(intv[1]);
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}
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/* 增加一个线段 */
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||||
private void addInterval(int[] intv) {
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pq.add(intv);
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startMap.put(intv[0], intv);
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||||
endMap.put(intv[1], intv);
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||||
}
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||||
/* 计算一个线段的长度 */
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||||
private int distance(int[] intv) {
|
||||
return intv[1] - intv[0] - 1;
|
||||
}
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```
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「虚拟线段」其实就是为了将所有座位表示为一个线段:
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有了上述铺垫,主要 API `seat` 和 `leave` 就可以写了:
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```java
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public int seat() {
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// 从有序集合拿出最长的线段
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int[] longest = pq.last();
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int x = longest[0];
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int y = longest[1];
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int seat;
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if (x == -1) { // 情况一
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seat = 0;
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} else if (y == N) { // 情况二
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||||
seat = N - 1;
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} else { // 情况三
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seat = (y - x) / 2 + x;
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}
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// 将最长的线段分成两段
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int[] left = new int[] {x, seat};
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int[] right = new int[] {seat, y};
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removeInterval(longest);
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addInterval(left);
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||||
addInterval(right);
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return seat;
|
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}
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public void leave(int p) {
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// 将 p 左右的线段找出来
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int[] right = startMap.get(p);
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int[] left = endMap.get(p);
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// 合并两个线段成为一个线段
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||||
int[] merged = new int[] {left[0], right[1]};
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||||
removeInterval(left);
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||||
removeInterval(right);
|
||||
addInterval(merged);
|
||||
}
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```
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至此,算法就基本实现了,代码虽多,但思路很简单:找最长的线段,从中间分隔成两段,中点就是 `seat()` 的返回值;找 `p` 的左右线段,合并成一个线段,这就是 `leave(p)` 的逻辑。
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### 三、进阶问题
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但是,题目要求多个选择时选择索引最小的那个座位,我们刚才忽略了这个问题。比如下面这种情况会出错:
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现在有序集合里有线段 `[0,4]` 和 `[4,9]`,那么最长线段 `longest` 就是后者,按照 `seat` 的逻辑,就会分割 `[4,9]`,也就是返回座位 6。但正确答案应该是座位 2,因为 2 和 6 都满足最大化相邻考生距离的条件,二者应该取较小的。
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**遇到题目的这种要求,解决方式就是修改有序数据结构的排序方式**。具体到这个问题,就是修改 `TreeMap` 的比较函数逻辑:
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```java
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pq = new TreeSet<>((a, b) -> {
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int distA = distance(a);
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int distB = distance(b);
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// 如果长度相同,就比较索引
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if (distA == distB)
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return b[0] - a[0];
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return distA - distB;
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});
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```
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除此之外,还要改变 `distance` 函数,**不能简单地让它计算一个线段两个端点间的长度,而是让它计算该线段中点和端点之间的长度**。
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```java
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private int distance(int[] intv) {
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int x = intv[0];
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int y = intv[1];
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if (x == -1) return y;
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if (y == N) return N - 1 - x;
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// 中点和端点之间的长度
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||||
return (y - x) / 2;
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}
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```
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这样,`[0,4]` 和 `[4,9]` 的 `distance` 值就相等了,算法会比较二者的索引,取较小的线段进行分割。到这里,这道算法题目算是完全解决了。
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### 四、最后总结
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本文聊的这个问题其实并不算难,虽然看起来代码很多。核心问题就是考察有序数据结构的理解和使用,来梳理一下。
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处理动态问题一般都会用到有序数据结构,比如平衡二叉搜索树和二叉堆,二者的时间复杂度差不多,但前者支持的操作更多。
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既然平衡二叉搜索树这么好用,还用二叉堆干嘛呢?因为二叉堆底层就是数组,实现简单啊,详见旧文「二叉堆详解」。你实现个红黑树试试?操作复杂,而且消耗的空间相对来说会多一些。具体问题,还是要选择恰当的数据结构来解决。
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希望本文对大家有帮助。
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