3.3 KiB
| title | type | weight |
|---|---|---|
| 3.5 Binary Indexed Tree | docs | 5 |
树状数组 Binary Indexed Tree (二叉索引树)
针对区间问题，除了常见的线段树解法，还可以考虑树状数组。树状数组也能满足区间内插入数据，删除数据，一段区间内的查询的需求，并且这些操作的时间复杂度能在 O(log n) 或者 O(1) 内完成。
一. 一维树状数组概念
树状数组名字虽然又有树，又有数组，但是它实际上物理形式还是数组，不过每个节点的含义是树的关系，如上图。树状数组中父子节点下标关系是 p = s + {{< katex display >}}2^{k}{{< /katex >}}，其中 k 是子节点下标对应二进制末尾 0 的个数。
例如上图中 A 和 B 都是数组。A 数组正常存储数据，B 数组是树状数组。B4，B6，B7 是 B8 的子节点。4 的二进制是 100，4 + 2^2 = 8，所以 8 是 4 的父节点。同理，7 的二进制 111，7 + 2^0 = 8，8 也是 7 的父节点。
1. 节点意义
在树状数组中，所有的奇数下标的节点的含义是叶子节点，表示单点，它存的值是原数组相同下标存的值。例如上图中 B1，B3，B5，B7 分别存的值是 A1，A3，A5，A7。所有的偶数下标的节点均是父节点。父节点内存的是区间和。例如 B4 内存的是 B1 + B2 + B3 + A4 = A1 + A2 + A3 + A4。这个区间的左边界是该父节点最左边叶子节点对应的下标，右边界就是自己的下标。例如 B8 表示的区间左边界是 B1，右边界是 B8，所以它表示的区间和是 A1 + A2 + …… + A8。
由数学归纳法可以得出，左边界的下标一定是 i - 2^k + 1，其中 i 为父节点的下标，k 为 i 的二进制中末尾 0 的个数。用数学方式表达偶数节点的区间和：
{{< katex display >}} B_{i} = \sum_{j = i - 2^{k} + 1}^{i} A_{j} {{< /katex >}}
2. 插入操作
3. 查询操作
树状数组中查询 [1, i] 区间内的和。按照节点的含义，可以得出下面的关系：
{{< katex display >}} \begin{aligned} Query(i) &= A_{1} + A_{2} + ...... + A_{i} \ &= A_{1} + A_{2} + A_{i-2^{k}} + A_{i-2^{k}+1} + ...... + A_{i} \ &= A_{1} + A_{2} + A_{i-2^{k}} + B_{i} \ &= Query(i-2^{k}) + B_{i} \ &= Query(i-lowbit(i)) + B_{i} \ \end{aligned} {{< /katex >}}
Bi 是树状数组存的值。Query 操作实际是一个递归的过程。lowbit(i) 表示 2^k，其中 k 是 i 的二进制表示中末尾 0 的个数。i - lowbit(i) 将 i 的二进制中末尾的 1 去掉，最多有 logi 个 1，所以查询操作最坏的时间复杂度是 O(log n)。查询操作实现代码如下：
// Query define
func (bit *BinaryIndexedTree) Query(index int) int {
sum := 0
for index >= 1 {
sum += bit.tree[index]
index -= lowbit(index)
}
return sum
}
二. 不同场景下树状数组的功能
根据节点维护的数据含义不同，树状数组可以提供不同的功能来满足各种各样的区间场景。下面我们先以上例中讲述的区间和为例，进而引出 RMQ 的使用场景。