更新笔记

时间复杂度.md

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+# 时间复杂度和空间复杂度
+
+
+## 一. 时间复杂度数据规模
+
+1s 内能解决问题的数据规模：
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+- O(n^2) 算法可以处理 10^4 级别的数据规模(保守估计，处理 1000 级别的问题肯定没问题)
+- O(n) 算法可以处理 10^8 级别的数据规模(保守估计，处理 10^7 级别的问题肯定没问题)
+- O(nlog n) 算法可以处理 10^7 级别的数据规模(保守估计，处理 10^6 级别的问题肯定没问题)
+
+一些具有迷惑性的例子：
+
+```c
+void hello (int n){
+
+    for( int sz = 1 ; sz < n ; sz += sz)
+        for( int i = 1 ; i < n ; i ++)
+            cout << "Hello" << endl;
+}
+```
+
+上面这段代码的时间复杂度是 O(nlog n) 而不是 O(n^2)
+
+```c
+bool isPrime (int n){
+
+    for( int x = 2 ; x * x <= n ; x ++ )
+        if( n % x == 0)
+            return false;
+    return true;
+}
+```
+
+上面这段代码的时间复杂度是 O(sqrt(n)) 而不是 O(n)
+
+再举一个例子，有一个字符串数组，将数组中的每一个字符串按照字母序排序，之后再降整个字符串数组按照字典序排序。两步操作的整体时间复杂度是多少呢？
+
+如果回答是 O(n*nlog n + nlog n) = O(n^2log n)，这个答案是错误的。
+
+字符串的长度和数组的长度是没有关系的，所以这两个变量应该单独计算。
+
+假设最长的字符串长度为 s，数组中有 n 个字符串。对每个字符串排序的时间复杂度是 O(slog s)，将数组中每个字符串都按照字母序排序的时间复杂度是 O(n * slog s)。
+
+将整个字符串数组按照字典序排序的时间复杂度是 O(s * nlog n)。排序算法中的 O(nlog n) 是比较的次数，由于比较的是整型数字，所以每次比较是 O(1)。但是字符串按照字典序比较，时间复杂度是 O(s)。所以字符串数组按照字典序排序的时间复杂度是 O(s * nlog n)
+
+所以整体复杂度是 O(n * slog s) + O(s * nlog n) = O(n\*slog s + s\*nlogn) = O(n\*s\*(log s + log n))
+
+## 二. 空间复杂度
+
+递归调用是有空间代价的，递归算法需要保存递归栈信息，所以花费的空间复杂度会比非递归算法要高。
+
+```c
+int sum( int n ){
+    assert( n >= 0 )
+    int ret = 0;
+    for ( int i = 0 ; i <= n ; i++)
+        ret += i;
+    return ret;
+}
+```
+
+上面算法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度 O(1)。
+
+```c
+int sum( int n ){
+    assert( n >= 0 )
+    if ( n == 0 )
+        return 0;
+    return n + sum( n - 1);
+}
+```
+
+上面算法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度 O(n)。
+
+## 三. 递归的时间复杂度
+
+### 只有一次递归调用
+
+如果递归函数中，只进行了一次递归调用，且递归深度为 depth，在每个递归函数中，时间复杂度为 T，那么总体的时间复杂度为 O(T * depth)
+
+举个例子：
+
+```c
+int binarySearch(int arr[], int l, int r, int target){
+	if( l > r)
+	    return -1;
+    int mid = l + (r-l)/2;//防溢出
+    if(arr[mid] == target)
+        return mid;
+    else if (arr[mid]>target)
+        return binarySearch(arr,l,mid-1,target);
+    eles 
+        return binarySearch(arr,mid+1,r,target);
+}
+
+```
+
+在二分查找的递归实现中，只递归调用了自身。递归深度是 log n ，每次递归里面的复杂度是 O(1) 的，所以二分查找的递归实现的时间复杂度为 O(log n) 的。
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+
+### 只有多次递归调用
+
+针对多次递归调用的情况，就需要看它的计算调用的次数了。通常可以画一颗递归树来看。举例：
+
+```c
+int f(int n){
+    assert( n >= 0 );
+    if( n ==0 )
+        return 1;
+    return f( n - 1 ) + f ( n - 1 );
+
+```
+
+上述这次递归调用的次数为 2^0^ + 2^1^ + 2^2^ + …… + 2^n^ = 2^n+1^ - 1 = O(2^n)
+
+
+> 关于更加复杂的递归的复杂度分析，请参考，主定理。主定理中针对各种复杂情况都给出了正确的结论。