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亚当优化器

这是论文《亚当：随机优化方法》中流行的优化器 Adam 的 Py Torch 实现。

亚当的更新是，

m_{t} v_{t} \overset{m}{^}_{t} \overset{v}{^}_{t} θ_{t} \leftarrow β_{1} m_{t - 1} + (1 - β_{1}) \cdot g_{t} \leftarrow β_{2} v_{t - 1} + (1 - β_{2}) \cdot g_{t}^{2} \leftarrow \frac{m _{t}}{1 - β _{1} ^{t}} \leftarrow \frac{v _{t}}{1 - β _{2} ^{t}} \leftarrow θ_{t - 1} - α \cdot \frac{m ^ _{t}}{v ^ _{t} + ϵ}

其中 $α$ $β_{1}$ 、 $β_{2}$ 和 $ϵ$ 是标量超级参数。 $m_{t}$ 和 $v_{t}$ 是一阶和二阶时刻。 $\overset{m}{^}_{t}$ 并且 $\overset{v}{^}_{t}$ 是有偏差的校正时刻。 $ϵ$ 用作除以零误差的修复，但也用作对梯度方差起作用的超参数的一种形式。

假设采取的有效步骤 $ϵ = 0$ 是， $Δ t = α \cdot \frac{m ^ _{t}}{v ^ _{t}}$ 这受限于、 $∣Δ t ∣ \leq α \cdot \frac{1 - β _{1}}{1 - β _{2}}$ 何时 $1 - β_{1} > 1 - β_{2}$ 以及 $∣Δ t ∣ \leq α$ 其他方面。在大多数常见情况下， $∣Δ t ∣ \approx α$

40import math
41from typing import Dict, Any, Tuple, Optional
42
43import torch
44from labml import tracker
45from torch import nn
46
47from labml_nn.optimizers import GenericAdaptiveOptimizer, WeightDecay

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亚当优化器

我们扩展了中GenericAdaptiveOptimizer 定义的类__init__.py 来实现 Adam 优化器。

50class Adam(GenericAdaptiveOptimizer):

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初始化优化器

params 是参数列表
lr 是学习率 $α$
betas 是 ( $β_{1}$ , $β_{2}$ ) 的元组
eps 是 $\overset{ϵ}{^}$ 或 $ϵ$ 基于optimized_update
weight_decay 是在中WeightDecay 定义的类的实例 __init__.py
optimized_update 是一个标志，是否在添加后通过这样做来优化第二个时刻的偏差校正 $ϵ$
defaults 是组值的默认字典。当你想扩展类时，这很有用Adam 。

58    def __init__(self, params,
59                 lr: float = 1e-3, betas: Tuple[float, float] = (0.9, 0.999), eps: float = 1e-16,
60                 weight_decay: WeightDecay = WeightDecay(),
61                 optimized_update: bool = True,
62                 defaults: Optional[Dict[str, Any]] = None):

#

76        defaults = {} if defaults is None else defaults
77        defaults.update(weight_decay.defaults())
78        super().__init__(params, defaults, lr, betas, eps)
79
80        self.weight_decay = weight_decay
81        self.optimized_update = optimized_update

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初始化参数状态

state 是参数（张量）的优化器状态
group 存储参数组的优化程序属性
param 是参数张量 $θ_{t - 1}$

83    def init_state(self, state: Dict[str, any], group: Dict[str, any], param: nn.Parameter):

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这是优化器对参数采取的步骤数， $t$

93        state['step'] = 0

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梯度的指数移动平均线， $m_{t}$

95        state['exp_avg'] = torch.zeros_like(param, memory_format=torch.preserve_format)

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梯度平方值的指数移动平均线， $v_{t}$

97        state['exp_avg_sq'] = torch.zeros_like(param, memory_format=torch.preserve_format)

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计算 $m_{t}$ 和和 $v_{t}$

state 是参数（张量）的优化器状态
group 存储参数组的优化程序属性
grad 是参数的当前梯 $g_{t}$ 度张量 $θ_{t - 1}$

99    def get_mv(self, state: Dict[str, Any], group: Dict[str, Any], grad: torch.Tensor):

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获取 $β_{1}$ 和 $β_{2}$

109        beta1, beta2 = group['betas']

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获取 $m_{t - 1}$ 和 $v_{t - 1}$

112        m, v = state['exp_avg'], state['exp_avg_sq']

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就地计算 $m_{t}$ $m_{t} \leftarrow β_{1} m_{t - 1} + (1 - β_{1}) \cdot g_{t}$

116        m.mul_(beta1).add_(grad, alpha=1 - beta1)

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就地计算 $v_{t}$ $v_{t} \leftarrow β_{2} v_{t - 1} + (1 - β_{2}) \cdot g_{t}^{2}$

119        v.mul_(beta2).addcmul_(grad, grad, value=1 - beta2)
120
121        return m, v

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获取学习率

这将根据状态返回修改后的学习速率。对于 Adam 来说，这只是参数组的指定学习速率 $α$ 。

123    def get_lr(self, state: Dict[str, any], group: Dict[str, any]):

#

131        return group['lr']

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Adam 参数是否更新

state 是参数（张量）的优化器状态
group 存储参数组的优化程序属性
param 是参数张量 $θ_{t - 1}$
m 并且v 是未校正的第一和第二时刻 $m_{t}$ ，以及 $v_{t}$ .

这计算出以下内容

θ_{t} \leftarrow θ_{t - 1} - α \cdot \frac{m ^ _{t}}{v ^ _{t} + ϵ}

由

于 $α$ $β_{1}$ 、 $β_{2}$ 和 $ϵ$ 是标量，其他是张量，因此我们将此计算修改为优化计算。

θ_{t} θ_{t} θ_{t} \leftarrow θ_{t - 1} - α \cdot \frac{m ^ _{t}}{v ^ _{t} + ϵ} \leftarrow θ_{t - 1} - α \cdot \frac{m _{t} / ( 1 - β _{1} ^{t} )}{v _{t} / ( 1 - β _{2} ^{t} ) + ϵ} \leftarrow θ_{t - 1} - α \frac{1 - β _{2} ^{t}}{1 - β _{1} ^{t}} \cdot \frac{m _{t}}{v _{t} + ϵ ^}

wher $\overset{ϵ}{^} = (1 - β_{2}^{t}) ϵ$ e 是我们应该指定为超参数的内容。

133    def adam_update(self, state: Dict[str, any], group: Dict[str, any], param: torch.nn.Parameter,
134                    m: torch.Tensor, v: torch.Tensor):

#

获取 $β_{1}$ 和 $β_{2}$

166        beta1, beta2 = group['betas']

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偏差校正术语 $\overset{m}{^}_{t}$ ， $1 - β_{1}^{t}$

168        bias_correction1 = 1 - beta1 ** state['step']

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偏差校正术语 $\overset{v}{^}_{t}$ ， $1 - β_{2}^{t}$

170        bias_correction2 = 1 - beta2 ** state['step']

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获取学习率

173        lr = self.get_lr(state, group)

#

是否优化计算

176        if self.optimized_update:

#

$v_{t} + \overset{ϵ}{^}$

178            denominator = v.sqrt().add_(group['eps'])

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$α \frac{1 - β _{2} ^{t}}{1 - β _{1} ^{t}}$

180            step_size = lr * math.sqrt(bias_correction2) / bias_correction1

#

$θ_{t} \leftarrow θ_{t - 1} - α \frac{1 - β _{2} ^{t}}{1 - β _{1} ^{t}} \cdot \frac{m _{t}}{v _{t} + ϵ ^}$

183            param.data.addcdiv_(m, denominator, value=-step_size)

#

无需优化的计算

185        else:

#

$\frac{v _{t}}{1 - β _{2} ^{t}} + ϵ$

187            denominator = (v.sqrt() / math.sqrt(bias_correction2)).add_(group['eps'])

#

$\frac{α}{1 - β _{1} ^{t}}$

189            step_size = lr / bias_correction1

#

$θ_{t} \leftarrow θ_{t - 1} - α \cdot \frac{m ^ _{t}}{v ^ _{t} + ϵ}$

192            param.data.addcdiv_(m, denominator, value=-step_size)

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对给定参数张量执行更新步骤

state 是参数（张量）的优化器状态
group 存储参数组的优化程序属性
grad 是参数的当前梯 $g_{t}$ 度张量 $θ_{t - 1}$
param 是参数张量 $θ_{t - 1}$

194    def step_param(self, state: Dict[str, any], group: Dict[str, any], grad: torch.Tensor, param: torch.nn.Parameter):

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计算体重衰减

205        grad = self.weight_decay(param, grad, group)

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获取 $m_{t}$ 和 $v_{t}$

208        m, v = self.get_mv(state, group, grad)

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$t$ 增加优化器步数

211        state['step'] += 1

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执行 Adam 更新

214        self.adam_update(state, group, param, m, v)

亚当优化器

亚当优化器

初始化优化器

初始化参数状态

计算mt​和和vt​

获取学习率

Adam 参数是否更新

对给定参数张量执行更新步骤

计算 $m_{t}$ 和和 $v_{t}$