# prim算法精讲 [卡码网：53. 寻宝](https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1053) 题目描述： 在世界的某个区域，有一些分散的神秘岛屿，每个岛屿上都有一种珍稀的资源或者宝藏。国王打算在这些岛屿上建公路，方便运输。 不同岛屿之间，路途距离不同，国王希望你可以规划建公路的方案，如何可以以最短的总公路距离将 所有岛屿联通起来。 给定一张地图，其中包括了所有的岛屿，以及它们之间的距离。以最小化公路建设长度，确保可以链接到所有岛屿。 输入描述： 第一行包含两个整数V 和 E，V代表顶点数，E代表边数 。顶点编号是从1到V。例如：V=2，一个有两个顶点，分别是1和2。 接下来共有 E 行，每行三个整数 v1，v2 和 val，v1 和 v2 为边的起点和终点，val代表边的权值。 输出描述： 输出联通所有岛屿的最小路径总距离 输入示例： ``` 7 11 1 2 1 1 3 1 1 5 2 2 6 1 2 4 2 2 3 2 3 4 1 4 5 1 5 6 2 5 7 1 6 7 1 ``` 输出示例： 6 ## 解题思路 本题是最小生成树的模板题，那么我们来讲一讲最小生成树。 最小生成树 可以使用 prim算法 也可以使用 kruskal算法计算出来。 本篇我们先讲解 prim算法。 最小生成树是所有节点的最小连通子图， 即：以最小的成本（边的权值）将图中所有节点链接到一起。 图中有n个节点，那么一定可以用 n - 1 条边将所有节点连接到一起。 那么如何选择 这 n-1 条边 就是 最小生成树算法的任务所在。 例如本题示例中的无向有权图为： ![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231206164306.png) 那么在这个图中，如何选取 n-1 条边 使得 图中所有节点连接到一起，并且边的权值和最小呢？ （图中为n为7，即7个节点，那么只需要 n-1 即 6条边就可以讲所有顶点连接到一起） prim算法 是从节点的角度 采用贪心的策略 每次寻找距离 最小生成树最近的节点 并加入到最小生成树中。 prim算法核心就是三步，我称为**prim三部曲**，大家一定要熟悉这三步，代码相对会好些很多： 1. 第一步，选距离生成树最近节点 2. 第二步，最近节点加入生成树 3. 第三步，更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组） 现在录友们会对这三步很陌生，不知道这是干啥的，没关系，下面将会画图举例来带大家把这**prim三部曲**理解到位。 在prim算法中，有一个数组特别重要，这里我起名为：minDist。 刚刚我有讲过 “每次寻找距离 最小生成树最近的节点 并加入到最小生成树中”，那么如何寻找距离最小生成树最近的节点呢？ 这就用到了 minDist 数组， 它用来作什么呢？ **minDist数组 用来记录 每一个节点距离最小生成树的最近距离**。 理解这一点非常重要，这也是 prim算法最核心要点所在，很多录友看不懂prim算法的代码，都是因为没有理解透 这个数组的含义。 接下来，我们来通过一步一步画图，来带大家巩固 **prim三部曲** 以及 minDist数组 的作用。 （**示例中节点编号是从1开始，所以为了让大家看的不晕，minDist数组下标我也从 1 开始计数，下标0 就不使用了，这样 下标和节点标号就可以对应上了，避免大家搞混**） ### 1 初始状态 minDist 数组 里的数值初始化为 最大数，因为本题 节点距离不会超过 10000，所以 初始化最大数为 10001就可以。 相信这里录友就要问了，为什么这么做？ 现在 还没有最小生成树，默认每个节点距离最小生成树是最大的，这样后面我们在比较的时候，发现更近的距离，才能更新到 minDist 数组上。 如图： ![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231215105603.png) 开始构造最小生成树 ### 2 1、prim三部曲，第一步：选距离生成树最近节点 选择距离最小生成树最近的节点，加入到最小生成树，刚开始还没有最小生成树，所以随便选一个节点加入就好（因为每一个节点一定会在最小生成树里，所以随便选一个就好），那我们选择节点1 （符合遍历数组的习惯，第一个遍历的也是节点1） 2、prim三部曲，第二步：最近节点加入生成树 此时 节点1 已经算最小生成树的节点。 3、prim三部曲，第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组） 接下来，我们要更新所有节点距离最小生成树的距离，如图： ![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231222102048.png) 注意下标0，我们就不管它了，下标 1 与节点 1 对应，这样可以避免大家把节点搞混。 此时所有非生成树的节点距离 最小生成树（节点1）的距离都已经跟新了 。 * 节点2 与 节点1 的距离为1，比原先的 距离值10001小，所以更新minDist[2]。 * 节点3 和 节点1 的距离为1，比原先的 距离值10001小，所以更新minDist[3]。 * 节点5 和 节点1 的距离为2，比原先的 距离值10001小，所以更新minDist[5]。 **注意图中我标记了 minDist数组里更新的权值**，是哪两个节点之间的权值，例如 minDist[2] =1 ，这个 1 是 节点1 与 节点2 之间的连线，清楚这一点对最后我们记录 最小生成树的权值总和很重要。 （我在后面依然会不断重复 prim三部曲，可能基础好的录友会感觉有点啰嗦，但也是让大家感觉这三部曲求解的过程） ### 3 1、prim三部曲，第一步：选距离生成树最近节点 选取一个距离 最小生成树（节点1） 最近的非生成树里的节点，节点2，3，5 距离 最小生成树（节点1） 最近，选节点 2（其实选 节点3或者节点2都可以，距离一样的）加入最小生成树。 2、prim三部曲，第二步：最近节点加入生成树 此时 节点1 和 节点2，已经算最小生成树的节点。 3、prim三部曲，第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组） 接下来，我们要更新节点距离最小生成树的距离，如图： ![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231222102431.png) 此时所有非生成树的节点距离 最小生成树（节点1、节点2）的距离都已经跟新了 。 * 节点3 和 节点2 的距离为2，和原先的距离值1 小，所以不用更新。 * 节点4 和 节点2 的距离为2，比原先的距离值10001小，所以更新minDist[4]。 * 节点5 和 节点2 的距离为10001（不连接），所以不用更新。 * 节点6 和 节点2 的距离为1，比原先的距离值10001小，所以更新minDist[6]。 ### 4 1、prim三部曲，第一步：选距离生成树最近节点 选择一个距离 最小生成树（节点1、节点2） 最近的非生成树里的节点，节点3，6 距离 最小生成树（节点1、节点2） 最近，选节点3 （选节点6也可以，距离一样）加入最小生成树。 2、prim三部曲，第二步：最近节点加入生成树 此时 节点1 、节点2 、节点3 算是最小生成树的节点。 3、prim三部曲，第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组） 接下来更新节点距离最小生成树的距离，如图： ![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231222102457.png) 所有非生成树的节点距离 最小生成树（节点1、节点2、节点3 ）的距离都已经跟新了 。 * 节点 4 和 节点 3的距离为 1，和原先的距离值 2 小，所以更新minDist[3]为1。 上面为什么我们只比较 节点4 和 节点3 的距离呢？ 因为节点3加入 最小生成树后，非 生成树节点 只有 节点 4 和 节点3是链接的，所以需要重新更新一下 节点4距离最小生成树的距离，其他节点距离最小生成树的距离 都不变。 ### 5 1、prim三部曲，第一步：选距离生成树最近节点 继续选择一个距离 最小生成树（节点1、节点2、节点3） 最近的非生成树里的节点，为了巩固大家对 minDist数组的理解，这里我再啰嗦一遍： ![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231217213516.png) **minDist数组 是记录了 所有非生成树节点距离生成树的最小距离**，所以 从数组里我们能看出来，非生成树节点 4 和 节点 6 距离 生成树最近。 任选一个加入生成树，我们选 节点4（选节点6也行） 。 **注意**，我们根据 minDist数组，选取距离 生成树 最近的节点 加入生成树，那么 **minDist数组里记录的其实也是 最小生成树的边的权值**（我在图中把权值对应的是哪两个节点也标记出来了）。 如果大家不理解，可以跟着我们下面的讲解，看 minDist数组的变化， minDist数组 里记录的权值对应的哪条边。 理解这一点很重要，因为 最后我们要求 最小生成树里所有边的权值和。 2、prim三部曲，第二步：最近节点加入生成树 此时 节点1、节点2、节点3、节点4 算是 最小生成树的节点。 3、prim三部曲，第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组） 接下来更新节点距离最小生成树的距离，如图： ![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231222102618.png) minDist数组已经更新了 所有非生成树的节点距离 最小生成树（节点1、节点2、节点3、节点4 ）的距离 。 * 节点 5 和 节点 4的距离为 1，和原先的距离值 2 小，所以更新minDist[4]为1。 ### 6 1、prim三部曲，第一步：选距离生成树最近节点 继续选距离 最小生成树（节点1、节点2、节点3、节点4 ）最近的非生成树里的节点，只有 节点 5 和 节点6。 选节点5 （选节点6也可以）加入 生成树。 2、prim三部曲，第二步：最近节点加入生成树 节点1、节点2、节点3、节点4、节点5 算是 最小生成树的节点。 3、prim三部曲，第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组） 接下来更新节点距离最小生成树的距离，如图： ![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231222102646.png) minDist数组已经更新了 所有非生成树的节点距离 最小生成树（节点1、节点2、节点3、节点4 、节点5）的距离 。 * 节点 6 和 节点 5 距离为 2，比原先的距离值 1 大，所以不更新 * 节点 7 和 节点 5 距离为 1，比原先的距离值 10001小，更新 minDist[7] ### 7 1、prim三部曲，第一步：选距离生成树最近节点 继续选距离 最小生成树（节点1、节点2、节点3、节点4 、节点5）最近的非生成树里的节点，只有 节点 6 和 节点7。 2、prim三部曲，第二步：最近节点加入生成树 选节点6 （选节点7也行，距离一样的）加入生成树。 3、prim三部曲，第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组） 节点1、节点2、节点3、节点4、节点5、节点6 算是 最小生成树的节点 ，接下来更新节点距离最小生成树的距离，如图： ![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231222102732.png) 这里就不在重复描述了，大家类推，最后，节点7加入生成树，如图： ![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231222102820.png) ### 最后 最后我们就生成了一个 最小生成树， 绿色的边将所有节点链接到一起，并且 保证权值是最小的，因为我们在更新 minDist 数组的时候，都是选距离 最小生成树最近的点 加入到树中。 讲解上面的模拟过程的时候，我已经强调多次 minDist数组 是记录了 所有非生成树节点距离生成树的最小距离。 最后，minDist数组 也就是记录的是最小生成树所有边的权值。 我在图中，特别把 每条边的权值对应的是哪两个节点 标记出来（例如minDist[7] = 1，对应的是节点5 和 节点7之间的边，而不是 节点6 和 节点7），为了就是让大家清楚， minDist里的每一个值 对应的是哪条边。 那么我们要求最小生成树里边的权值总和 就是 把 最后的 minDist 数组 累加一起。 以下代码，我对 prim三部曲，做了重点注释，大家根据这三步，就可以 透彻理解prim。 ```CPP #include #include #include using namespace std; int main() { int v, e; int x, y, k; cin >> v >> e; // 填一个默认最大值，题目描述val最大为10000 vector> grid(v + 1, vector(v + 1, 10001)); while (e--) { cin >> x >> y >> k; // 因为是双向图，所以两个方向都要填上 grid[x][y] = k; grid[y][x] = k; } // 所有节点到最小生成树的最小距离 vector minDist(v + 1, 10001); // 这个节点是否在树里 vector isInTree(v + 1, false); // 我们只需要循环 n-1次，建立 n - 1条边，就可以把n个节点的图连在一起 for (int i = 1; i < v; i++) { // 1、prim三部曲，第一步：选距离生成树最近节点 int cur = -1; // 选中哪个节点 加入最小生成树 int minVal = INT_MAX; for (int j = 1; j <= v; j++) { // 1 - v，顶点编号，这里下标从1开始 // 选取最小生成树节点的条件： // （1）不在最小生成树里 // （2）距离最小生成树最近的节点 if (!isInTree[j] && minDist[j] < minVal) { minVal = minDist[j]; cur = j; } } // 2、prim三部曲，第二步：最近节点（cur）加入生成树 isInTree[cur] = true; // 3、prim三部曲，第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组） // cur节点加入之后， 最小生成树加入了新的节点，那么所有节点到 最小生成树的距离（即minDist数组）需要更新一下 // 由于cur节点是新加入到最小生成树，那么只需要关心与 cur 相连的 非生成树节点 的距离 是否比 原来 非生成树节点到生成树节点的距离更小了呢 for (int j = 1; j <= v; j++) { // 更新的条件： // （1）节点是 非生成树里的节点 // （2）与cur相连的某节点的权值 比 该某节点距离最小生成树的距离小 // 很多录友看到自己 就想不明白什么意思，其实就是 cur 是新加入 最小生成树的节点，那么 所有非生成树的节点距离生成树节点的最近距离 由于 cur的新加入，需要更新一下数据了 if (!isInTree[j] && grid[cur][j] < minDist[j]) { minDist[j] = grid[cur][j]; } } } // 统计结果 int result = 0; for (int i = 2; i <= v; i++) { // 不计第一个顶点，因为统计的是边的权值，v个节点有 v-1条边 result += minDist[i]; } cout << result << endl; } ``` 时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 为节点数量。 ## 拓展 上面讲解的是记录了最小生成树 所有边的权值，如果让打印出来 最小生成树的每条边呢？ 或者说 要把这个最小生成树画出来呢？ 此时我们就需要把 最小生成树里每一条边记录下来。 此时有两个问题： * 1、用什么结构来记录 * 2、如何记录 如果记录边，其实就是记录两个节点就可以，两个节点连成一条边。 如何记录两个节点呢？ 我们使用一维数组就可以记录。 parent[节点编号] = 节点编号， 这样就把一条边记录下来了。（当然如果节点编号非常大，可以考虑使用map） 使用一维数组记录是有向边，不过我们这里不需要记录方向，所以只关注两条边是连接的就行。 parent数组初始化代码： ```CPP vector parent(v + 1, -1); ``` 接下来就是第二个问题，如何记录？ 我们再来回顾一下 prim三部曲， 1. 第一步，选距离生成树最近节点 2. 第二步，最近节点加入生成树 3. 第三步，更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组） 大家先思考一下，我们是在第几步，可以记录 最小生成树的边呢？ 在本面上半篇 我们讲解过：“我们根据 minDist数组，选组距离 生成树 最近的节点 加入生成树，那么 **minDist数组里记录的其实也是 最小生成树的边的权值**。” 既然 minDist数组 记录了 最小生成树的边，是不是就是在更新 minDist数组 的时候，去更新parent数组来记录一下对应的边呢。 所以 在 prim三部曲中的第三步，更新 parent数组，代码如下： ```CPP for (int j = 1; j <= v; j++) { if (!isInTree[j] && grid[cur][j] < minDist[j]) { minDist[j] = grid[cur][j]; parent[j] = cur; // 记录最小生成树的边 （注意数组指向的顺序很重要） } } ``` 代码中注释中，我强调了 数组指向的顺序很重要。 因为不少录友在这里会写成这样： `parent[cur] = j` 。 这里估计大家会疑惑了，parent[节点编号A] = 节点编号B， 就表示A 和 B 相连，我们这里就不用在意方向，代码中 为什么 只能 `parent[j] = cur` 而不能 `parent[cur] = j` 这么写呢？ 如果写成 `parent[cur] = j`，在 for 循环中，有多个 j 满足要求， 那么 parent[cur] 就会被反复覆盖，因为 cur 是一个固定值。 举个例子，cur = 1， 在 for循环中，可能 就 j = 2， j = 3，j =4 都符合条件，那么本来应该记录 节点1 与 节点 2、节点3、节点4相连的。 如果 `parent[cur] = j` 这么写，最后更新的逻辑是 parent[1] = 2, parent[1] = 3， parent[1] = 4， 最后只能记录 节点1 与节点 4 相连，其他相连情况都被覆盖了。 如果这么写 `parent[j] = cur`， 那就是 parent[2] = 1, parent[3] = 1， parent[4] = 1 ，这样 才能完整表示出 节点1 与 其他节点都是链接的，才没有被覆盖。 主要问题也是我们使用了一维数组来记录。 如果是二维数组，来记录两个点链接，例如 parent[节点编号A][节点编号B] = 1 ，parent[节点编号B][节点编号A] = 1，来表示 节点A 与 节点B 相连，那就没有上面说的这个注意事项了，当然这么做的话，就是多开辟的内存空间。 以下是输出最小生成树边的代码，不算最后输出， 就额外添加了两行代码，我都注释标记了： ```CPP #include #include #include using namespace std; int main() { int v, e; int x, y, k; cin >> v >> e; vector> grid(v + 1, vector(v + 1, 10001)); while (e--) { cin >> x >> y >> k; grid[x][y] = k; grid[y][x] = k; } vector minDist(v + 1, 10001); vector isInTree(v + 1, false); //加上初始化 vector parent(v + 1, -1); for (int i = 1; i < v; i++) { int cur = -1; int minVal = INT_MAX; for (int j = 1; j <= v; j++) { if (!isInTree[j] && minDist[j] < minVal) { minVal = minDist[j]; cur = j; } } isInTree[cur] = true; for (int j = 1; j <= v; j++) { if (!isInTree[j] && grid[cur][j] < minDist[j]) { minDist[j] = grid[cur][j]; parent[j] = cur; // 记录边 } } } // 输出 最小生成树边的链接情况 for (int i = 1; i <= v; i++) { cout << i << "->" << parent[i] << endl; } } ``` 按照本题示例，代码输入如下： ``` 1->-1 2->1 3->1 4->3 5->4 6->2 7->5 ``` 注意，这里是无向图，我在输出上添加了箭头仅仅是为了方便大家看出是边的意思。 大家可以和我们本题最后生成的最小生成树的图 去对比一下 边的链接情况： ![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231229115714.png) 绿色的边 是最小生成树，和我们的 输出完全一致。 ## 总结 此时我就把prim算法讲解完毕了，我们再来回顾一下。 关于 prim算法，我自创了三部曲，来帮助大家理解： 1. 第一步，选距离生成树最近节点 2. 第二步，最近节点加入生成树 3. 第三步，更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组） 大家只要理解这三部曲， prim算法 至少是可以写出一个框架出来，然后在慢慢补充细节，这样不至于 自己在写prim的时候 两眼一抹黑 完全凭感觉去写。 这也为什么很多录友感觉 prim算法比较难，而且每次学会来，隔一段时间 又不会写了，主要是 没有一个纲领。 理解这三部曲之后，更重要的 就是理解 minDist数组。 **minDist数组 是prim算法的灵魂，它帮助 prim算法完成最重要的一步，就是如何找到 距离最小生成树最近的点**。 再来帮大家回顾 minDist数组 的含义：记录 每一个节点距离最小生成树的最近距离。 理解 minDist数组 ，至少大家看prim算法的代码不会懵。 也正是 因为 minDist数组 的作用，我们根据 minDist数组，选取距离 生成树 最近的节点 加入生成树，那么 **minDist数组里记录的其实也是 最小生成树的边的权值**。 所以我们求 最小生成树的权值和 就是 计算后的 minDist数组 数值总和。 最后我们拓展了如何求职 最小生成树 的每一条边，其实 添加的代码很简单，主要是理解 为什么使用 parent数组 来记录边 以及 在哪里 更新parent数组。 同时，因为使用一维数组，数组的下标和数组 如何赋值很重要，不要搞反，导师结果被覆盖。 好了，以上为总结，录友们学习愉快。