# kruskal算法精讲 [卡码网：53. 寻宝](https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1053) 题目描述： 在世界的某个区域，有一些分散的神秘岛屿，每个岛屿上都有一种珍稀的资源或者宝藏。国王打算在这些岛屿上建公路，方便运输。 不同岛屿之间，路途距离不同，国王希望你可以规划建公路的方案，如何可以以最短的总公路距离将 所有岛屿联通起来。 给定一张地图，其中包括了所有的岛屿，以及它们之间的距离。以最小化公路建设长度，确保可以链接到所有岛屿。 输入描述： 第一行包含两个整数V 和 E，V代表顶点数，E代表边数 。顶点编号是从1到V。例如：V=2，一个有两个顶点，分别是1和2。 接下来共有 E 行，每行三个整数 v1，v2 和 val，v1 和 v2 为边的起点和终点，val代表边的权值。 输出描述： 输出联通所有岛屿的最小路径总距离 输入示例： ``` 7 11 1 2 1 1 3 1 1 5 2 2 6 1 2 4 2 2 3 2 3 4 1 4 5 1 5 6 2 5 7 1 6 7 1 ``` 输出示例： 6 ## 解题思路 在上一篇 我们讲解了 prim算法求解 最小生成树，本篇我们来讲解另一个算法：Kruskal，同样可以求最小生成树。 **prim 算法是维护节点的集合，而 Kruskal 是维护边的集合**。 上来就这么说，大家应该看不太懂，这里是先让大家有这么个印象，带着这个印象在看下文，理解的会更到位一些。 kruscal的思路： * 边的权值排序，因为要优先选最小的边加入到生成树里 * 遍历排序后的边 * 如果边首尾的两个节点在同一个集合，说明如果连上这条边图中会出现环 * 如果边首尾的两个节点不在同一个集合，加入到最小生成树，并把两个节点加入同一个集合 下面我们画图举例说明kruscal的工作过程。 依然以示例中，如下这个图来举例。 ![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240111113514.png) 将图中的边按照权值有小到大排序，这样从贪心的角度来说，优先选 权值小的边加入到 最小生成树中。 排序后的边顺序为[(1,2) (4,5) (1,3) (2,6) (3,4) (6,7) (5,7) (1,5) (3,2) (2,4) (5,6)] > (1,2) 表示节点1 与 节点2 之间的边。权值相同的边，先后顺序无所谓。 **开始从头遍历排序后的边**。 -------- 选边(1,2)，节点1 和 节点2 不在同一个集合，所以生成树可以添加边(1,2)，并将 节点1，节点2 放在同一个集合。 ![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240111114204.png) -------- 选边(4,5)，节点4 和 节点 5 不在同一个集合，生成树可以添加边(4,5) ，并将节点4，节点5 放到同一个集合。 ![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240111120458.png) **大家判断两个节点是否在同一个集合，就看图中两个节点是否有绿色的粗线连着就行** ------ （这里在强调一下，以下选边是按照上面排序好的边的数组来选择的） 选边(1,3)，节点1 和 节点3 不在同一个集合，生成树添加边(1,3)，并将节点1，节点3 放到同一个集合。 ![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240112105834.png) --------- 选边(2,6)，节点2 和 节点6 不在同一个集合，生成树添加边(2,6)，并将节点2，节点6 放到同一个集合。 ![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240112110214.png) -------- 选边(3,4)，节点3 和 节点4 不在同一个集合，生成树添加边(3,4)，并将节点3，节点4 放到同一个集合。 ![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240112110450.png) ---------- 选边(6,7)，节点6 和 节点7 不在同一个集合，生成树添加边(6,7)，并将 节点6，节点7 放到同一个集合。 ![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240112110637.png) ----------- 选边(5,7)，节点5 和 节点7 在同一个集合，不做计算。 选边(1,5)，两个节点在同一个集合，不做计算。 后面遍历 边(3,2)，(2,4)，(5,6) 同理，都因两个节点已经在同一集合，不做计算。 ------- 此时 我们就已经生成了一个最小生成树，即： ![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240112110637.png) 在上面的讲解中，看图的话 大家知道如何判断 两个节点 是否在同一个集合（是否有绿色的线连在一起），以及如何把两个节点加入集合（就在图中把两个节点连上） **但在代码中，如果将两个节点加入同一个集合，又如何判断两个节点是否在同一个集合呢**？ 这里就涉及到我们之前讲解的[并查集](https://www.programmercarl.com/%E5%9B%BE%E8%AE%BA%E5%B9%B6%E6%9F%A5%E9%9B%86%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%80.html)。 我们在并查集开篇的时候就讲了，并查集主要就两个功能： * 将两个元素添加到一个集合中 * 判断两个元素在不在同一个集合 大家发现这正好符合 Kruskal算法的需求，这也是为什么 **我要先讲并查集，再讲 Kruskal**。 关于 并查集，我已经在[并查集精讲](https://www.programmercarl.com/%E5%9B%BE%E8%AE%BA%E5%B9%B6%E6%9F%A5%E9%9B%86%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%80.html) 详细讲解过了，所以这里不再赘述，我们直接用。 本题代码如下，已经详细注释： ```CPP #include #include #include using namespace std; // l,r为 边两边的节点，val为边的数值 struct Edge { int l, r, val; }; // 节点数量 int n = 10001; // 并查集标记节点关系的数组 vector father(n, -1); // 节点编号是从1开始的，n要大一些 // 并查集初始化 void init() { for (int i = 0; i < n; ++i) { father[i] = i; } } // 并查集的查找操作 int find(int u) { return u == father[u] ? u : father[u] = find(father[u]); // 路径压缩 } // 并查集的加入集合 void join(int u, int v) { u = find(u); // 寻找u的根 v = find(v); // 寻找v的根 if (u == v) return ; // 如果发现根相同，则说明在一个集合，不用两个节点相连直接返回 father[v] = u; } int main() { int v, e; int v1, v2, val; vector edges; int result_val = 0; cin >> v >> e; while (e--) { cin >> v1 >> v2 >> val; edges.push_back({v1, v2, val}); } // 执行Kruskal算法 // 按边的权值对边进行从小到大排序 sort(edges.begin(), edges.end(), [](const Edge& a, const Edge& b) { return a.val < b.val; }); // 并查集初始化 init(); // 从头开始遍历边 for (Edge edge : edges) { // 并查集，搜出两个节点的祖先 int x = find(edge.l); int y = find(edge.r); // 如果祖先不同，则不在同一个集合 if (x != y) { result_val += edge.val; // 这条边可以作为生成树的边 join(x, y); // 两个节点加入到同一个集合 } } cout << result_val << endl; return 0; } ``` 时间复杂度：nlogn （快排） + logn （并查集） ，所以最后依然是 nlogn 。n为边的数量。 关于并查集时间复杂度，可以看我在 [并查集理论基础](https://programmercarl.com/%E5%9B%BE%E8%AE%BA%E5%B9%B6%E6%9F%A5%E9%9B%86%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%80.html) 的讲解。 ## 拓展一 如果题目要求将最小生成树的边输出的话，应该怎么办呢？ Kruskal 算法 输出边的话，相对prim 要容易很多，因为 Kruskal 本来就是直接操作边，边的结构自然清晰，不用像 prim一样 需要再节点练成线输出边 （因为prim是对节点操作，而 Kruskal是对边操作，这是本质区别） 本题中，边的结构为： ```CPP struct Edge { int l, r, val; }; ``` 那么我们只需要找到 在哪里把生成树的边保存下来就可以了。 当判断两个节点不在同一个集合的时候，这两个节点的边就加入到最小生成树， 所以添加边的操作在这里： ```CPP vector result; // 存储最小生成树的边 // 如果祖先不同，则不在同一个集合 if (x != y) { result.push_back(edge); // 记录最小生成树的边 result_val += edge.val; // 这条边可以作为生成树的边 join(x, y); // 两个节点加入到同一个集合 } ``` 整体代码如下，为了突出重点，我仅仅将 打印最小生成树的部分代码注释了，大家更容易看到哪些改动。 ```CPP #include #include #include using namespace std; struct Edge { int l, r, val; }; int n = 10001; vector father(n, -1); void init() { for (int i = 0; i < n; ++i) { father[i] = i; } } int find(int u) { return u == father[u] ? u : father[u] = find(father[u]); } void join(int u, int v) { u = find(u); v = find(v); if (u == v) return ; father[v] = u; } int main() { int v, e; int v1, v2, val; vector edges; int result_val = 0; cin >> v >> e; while (e--) { cin >> v1 >> v2 >> val; edges.push_back({v1, v2, val}); } sort(edges.begin(), edges.end(), [](const Edge& a, const Edge& b) { return a.val < b.val; }); vector result; // 存储最小生成树的边 init(); for (Edge edge : edges) { int x = find(edge.l); int y = find(edge.r); if (x != y) { result.push_back(edge); // 保存最小生成树的边 result_val += edge.val; join(x, y); } } // 打印最小生成树的边 for (Edge edge : result) { cout << edge.l << " - " << edge.r << " : " << edge.val << endl; } return 0; } ``` 按照题目中的示例，打印边的输出为： ``` 1 - 2 : 1 1 - 3 : 1 2 - 6 : 1 3 - 4 : 1 4 - 5 : 1 5 - 7 : 1 ``` 大家可能发现 怎么和我们 模拟画的图不一样，差别在于 代码生成的最小生成树中 节点5 和 节点7相连的。 ![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240116163014.png) 其实造成这个差别 是对边排序的时候 权值相同的边先后顺序的问题导致的，无论相同权值边的顺序是什么样的，最后都能得出最小生成树。 ## 拓展二 此时我们已经讲完了 Kruskal 和 prim 两个解法来求最小生成树。 什么情况用哪个算法更合适呢。 Kruskal 与 prim 的关键区别在于，prim维护的是节点的集合，而 Kruskal 维护的是边的集合。 如果 一个图中，节点多，但边相对较少，那么使用Kruskal 更优。 有录友可能疑惑，一个图里怎么可能节点多，边却少呢？ 节点未必一定要连着边那， 例如 这个图，大家能明显感受到边没有那么多对吧，但节点数量 和 上述我们讲的例子是一样的。 ![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240116152211.png) 为什么边少的话，使用 Kruskal 更优呢？ 因为 Kruskal 是对边进行排序的后 进行操作是否加入到最小生成树。 边如果少，那么遍历操作的次数就少。 在节点数量固定的情况下，图中的边越少，Kruskal 需要遍历的边也就越少。 而 prim 算法是对节点进行操作的，节点数量越少，prim算法效率就越少。 所以在 稀疏图中，用Kruskal更优。 在稠密图中，用prim算法更优。 > 边数量较少为稀疏图，接近或等于完全图（所有节点皆相连）为稠密图 Prim 算法 时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 为节点数量，它的运行效率和图中边树无关，适用稠密图。 Kruskal算法 时间复杂度 为 nlogn，其中n 为边的数量，适用稀疏图。 ## 总结 如果学过了并查集，其实 kruskal 比 prim更好理解一些。 本篇，我们依然通过模拟 Kruskal 算法的过程，来带大家一步步了解其工作过程。 在 拓展一 中讲解了 如何输出最小生成树的边。 在拓展二 中讲解了 prim 和 Kruskal的区别。 录友们可以细细体会。