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> 找到有没有环已经很不容易了，还要让我找到环的入口? ## 142.环形链表II https://leetcode-cn.com/problems/linked-list-cycle-ii/ 题意： 给定一个链表，返回链表开始入环的第一个节点。 如果链表无环，则返回 null。 为了表示给定链表中的环，使用整数 pos 来表示链表尾连接到链表中的位置（索引从 0 开始）。 如果 pos 是 -1，则在该链表中没有环。 **说明**：不允许修改给定的链表。  ## 思路 这道题目，不仅考察对链表的操作，而且还需要一些数学运算。 主要考察两知识点： * 判断链表是否环 * 如果有环，如何找到这个环的入口 ### 判断链表是否有环 可以使用快慢指针法， 分别定义 fast 和 slow指针，从头结点出发，fast指针每次移动两个节点，slow指针每次移动一个节点，如果 fast 和 slow指针在途中相遇 ，说明这个链表有环。 为什么fast 走两个节点，slow走一个节点，有环的话，一定会在环内相遇呢，而不是永远的错开呢 首先第一点： **fast指针一定先进入环中，如果fast 指针和slow指针相遇的话，一定是在环中相遇，这是毋庸置疑的。** 那么来看一下，**为什么fast指针和slow指针一定会相遇呢？** 可以画一个环，然后让 fast指针在任意一个节点开始追赶slow指针。 会发现最终都是这种情况， 如下图：  fast和slow各自再走一步， fast和slow就相遇了 这是因为fast是走两步，slow是走一步，**其实相对于slow来说，fast是一个节点一个节点的靠近slow的**，所以fast一定可以和slow重合。 动画如下：  ### 如果有环，如何找到这个环的入口 **此时已经可以判断链表是否有环了，那么接下来要找这个环的入口了。** 假设从头结点到环形入口节点 的节点数为x。 环形入口节点到 fast指针与slow指针相遇节点 节点数为y。 从相遇节点 再到环形入口节点节点数为 z。 如图所示：  那么相遇时： slow指针走过的节点数为: `x + y`， fast指针走过的节点数：` x + y + n (y + z)`，n为fast指针在环内走了n圈才遇到slow指针， （y+z）为 一圈内节点的个数A。 因为fast指针是一步走两个节点，slow指针一步走一个节点， 所以 fast指针走过的节点数 = slow指针走过的节点数 * 2： `(x + y) * 2 = x + y + n (y + z)` 两边消掉一个（x+y）: `x + y = n (y + z) ` 因为要找环形的入口，那么要求的是x，因为x表示 头结点到 环形入口节点的的距离。 所以要求x ，将x单独放在左面：`x = n (y + z) - y` , 再从n(y+z)中提出一个 （y+z）来，整理公式之后为如下公式：`x = (n - 1) (y + z) + z ` 注意这里n一定是大于等于1的，因为 fast指针至少要多走一圈才能相遇slow指针。 这个公式说明什么呢？ 先拿n为1的情况来举例，意味着fast指针在环形里转了一圈之后，就遇到了 slow指针了。 当 n为1的时候，公式就化解为 `x = z`， 这就意味着，**从头结点出发一个指针，从相遇节点 也出发一个指针，这两个指针每次只走一个节点， 那么当这两个指针相遇的时候就是 环形入口的节点**。 也就是在相遇节点处，定义一个指针index1，在头结点处定一个指针index2。 让index1和index2同时移动，每次移动一个节点， 那么他们相遇的地方就是 环形入口的节点。 动画如下：  那么 n如果大于1是什么情况呢，就是fast指针在环形转n圈之后才遇到 slow指针。 其实这种情况和n为1的时候 效果是一样的，一样可以通过这个方法找到 环形的入口节点，只不过，index1 指针在环里 多转了(n-1)圈，然后再遇到index2，相遇点依然是环形的入口节点。 代码如下： ```C++ /** * Definition for singly-linked list. * struct ListNode { * int val; * ListNode *next; * ListNode(int x) : val(x), next(NULL) {} * }; */ class Solution { public: ListNode *detectCycle(ListNode *head) { ListNode* fast = head; ListNode* slow = head; while(fast != NULL && fast->next != NULL) { slow = slow->next; fast = fast->next->next; // 快慢指针相遇，此时从head 和 相遇点，同时查找直至相遇 if (slow == fast) { ListNode* index1 = fast; ListNode* index2 = head; while (index1 != index2) { index1 = index1->next; index2 = index2->next; } return index2; // 返回环的入口 } } return NULL; } }; ``` ## 补充 在推理过程中，大家可能有一个疑问就是：**为什么第一次在环中相遇，slow的 步数 是 x+y 而不是 x + 若干环的长度 + y 呢？** 即文章[链表：环找到了，那入口呢？](https://mp.weixin.qq.com/s/_QVP3IkRZWx9zIpQRgajzA)中如下的地方：  首先slow进环的时候，fast一定是先进环来了。 如果slow进环入口，fast也在环入口，那么把这个环展开成直线，就是如下图的样子：  可以看出如果slow 和 fast同时在环入口开始走，一定会在环入口3相遇，slow走了一圈，fast走了两圈。 重点来了，slow进环的时候，fast一定是在环的任意一个位置，如图：  那么fast指针走到环入口3的时候，已经走了k + n 个节点，slow相应的应该走了(k + n) / 2 个节点。 因为k是小于n的（图中可以看出），所以(k + n) / 2 一定小于n。 **也就是说slow一定没有走到环入口3，而fast已经到环入口3了**。 这说明什么呢？ **在slow开始走的那一环已经和fast相遇了**。 那有同学又说了，为什么fast不能跳过去呢？ 在刚刚已经说过一次了，**fast相对于slow是一次移动一个节点，所以不可能跳过去**。 好了，这次把为什么第一次在环中相遇，slow的 步数 是 x+y 而不是 x + 若干环的长度 + y ，用数学推理了一下，算是对[链表：环找到了，那入口呢？](https://mp.weixin.qq.com/s/_QVP3IkRZWx9zIpQRgajzA)的补充。 ## 总结 这次可以说把环形链表这道题目的各个细节，完完整整的证明了一遍，说这是全网最详细讲解不为过吧，哈哈。 ## 其他语言版本 Java： Python： ```python class Solution: def detectCycle(self, head: ListNode) -> ListNode: slow, fast = head, head while fast and fast.next: slow = slow.next fast = fast.next.next # 如果相遇 if slow == fast: p = head q = slow while p!=q: p = p.next q = q.next #你也可以return q return p return None ``` Go： ----------------------- * 作者微信：[程序员Carl](https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw) * B站视频：[代码随想录](https://space.bilibili.com/525438321) * 知识星球：[代码随想录](https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ)