From e5c4e9ec16aedbbc403135997cbf01e05d69ed62 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: programmercarl <826123027@qq.com> Date: Tue, 2 Jan 2024 12:07:19 +0800 Subject: [PATCH] Update --- problems/0070.爬楼梯.md | 2 - ...将有序数组转换为二叉搜索树.md | 2 +- problems/0209.长度最小的子数组.md | 2 +- problems/kama53.寻宝.md | 591 ++++++++++++++---- 4 files changed, 473 insertions(+), 124 deletions(-) diff --git a/problems/0070.爬楼梯.md b/problems/0070.爬楼梯.md index 7a59221d..3bd9b001 100644 --- a/problems/0070.爬楼梯.md +++ b/problems/0070.爬楼梯.md @@ -215,8 +215,6 @@ public: 所以不要轻视简单题,那种凭感觉就刷过去了,其实和没掌握区别不大,只有掌握方法论并说清一二三,才能触类旁通,举一反三哈! -就酱,循序渐进学算法,认准「代码随想录」! - ## 其他语言版本 diff --git a/problems/0108.将有序数组转换为二叉搜索树.md b/problems/0108.将有序数组转换为二叉搜索树.md index e699005e..9566b7b8 100644 --- a/problems/0108.将有序数组转换为二叉搜索树.md +++ b/problems/0108.将有序数组转换为二叉搜索树.md @@ -38,7 +38,7 @@ 题目中说要转换为一棵高度平衡二叉搜索树。为什么强调要平衡呢? -因为只要给我们一个有序数组,如果强调平衡,都可以以线性结构来构造二叉搜索树。 +因为只要给我们一个有序数组,如果不强调平衡,都可以以线性结构来构造二叉搜索树。 例如 有序数组[-10,-3,0,5,9] 就可以构造成这样的二叉搜索树,如图。 diff --git a/problems/0209.长度最小的子数组.md b/problems/0209.长度最小的子数组.md index afce2646..5934d5e3 100644 --- a/problems/0209.长度最小的子数组.md +++ b/problems/0209.长度最小的子数组.md @@ -100,7 +100,7 @@ public: 窗口就是 满足其和 ≥ s 的长度最小的 连续 子数组。 -窗口的起始位置如何移动:如果当前窗口的值大于s了,窗口就要向前移动了(也就是该缩小了)。 +窗口的起始位置如何移动:如果当前窗口的值大于等于s了,窗口就要向前移动了(也就是该缩小了)。 窗口的结束位置如何移动:窗口的结束位置就是遍历数组的指针,也就是for循环里的索引。 diff --git a/problems/kama53.寻宝.md b/problems/kama53.寻宝.md index b52ac374..08fc9a18 100644 --- a/problems/kama53.寻宝.md +++ b/problems/kama53.寻宝.md @@ -1,155 +1,506 @@ +思考一下边的权值为负数的情况 + -如果你的图相对较小且比较密集,而且你更注重简单性和空间效率,数组实现可能更合适。 +# 寻宝 -如果你的图规模较大,尤其是在稀疏图中,而且你更注重时间效率和通用性,优先级队列实现可能更合适。 +[卡码网:53. 寻宝](https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1053) -其关键 在于弄清楚 minDist 的定义 +题目描述: + +在世界的某个区域,有一些分散的神秘岛屿,每个岛屿上都有一种珍稀的资源或者宝藏。你是一名探险者,决定前往这些岛屿,但为了节省时间和资源,你希望规划一条最短的路径,以便在探索这些岛屿时尽量减少旅行的距离。 + +给定一张地图,其中包括了所有的岛屿,以及它们之间的距离。每个岛屿都需要被至少访问一次,你的目标是规划一条最短路径,以最小化探索路径的总距离,同时确保访问了所有岛屿。 + +输入描述: + +第一行包含两个整数V 和 E,V代表顶点数,E代表边数 。顶点编号是从1到V。例如:V=2,一个有两个顶点,分别是1和2。 + +接下来共有 E 行,每行三个整数 v1,v2 和 val,v1 和 v2 为边的起点和终点,val代表边的权值。 + +输出描述: + +输出联通所有岛屿的最小路径总距离 + +输入示例: + +``` +7 11 +1 2 1 +1 3 1 +1 5 2 +2 6 1 +2 4 2 +2 3 2 +3 4 1 +4 5 1 +5 6 2 +5 7 1 +6 7 1 +``` + +输出示例: + +6 + + +## 解题思路 + +本题是最小生成树的模板题,那么我们来讲一讲最小生成树。 + +最小生成树 可以使用 prim算法 也可以使用 kruskal算法计算出来。 + +本篇我们先讲解 prim算法。 + +最小生成树是所有节点的最小连通子图, 即:以最小的成本(边的权值)将图中所有节点链接到一起。 + +图中有n个节点,那么一定可以用 n - 1 条边将所有节点连接到一起。 + +那么如何选择 这 n-1 条边 就是 最小生成树算法的任务所在。 + +例如本题示例中的无向有权图为: + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231206164306.png) + +那么在这个图中,如何选取 n-1 条边 使得 图中所有节点连接到一起,并且边的权值和最小呢? + +(图中为n为7,即7个节点,那么只需要 n-1 即 6条边就可以讲所有顶点连接到一起) + +prim算法 是从节点的角度 采用贪心的策略 每次寻找距离 最小生成树最近的节点 并加入到最小生成树中。 + +prim算法核心就是三步,我称为**prim三部曲**,大家一定要熟悉这三步,代码相对会好些很多: + +1. 第一步,选距离生成树最近节点 +2. 第二步,最近节点加入生成树 +3. 第三步,更新非生成树节点到生成树的距离(即更新minDist数组) + +现在录友们会对这三步很陌生,不知道这是干啥的,没关系,下面将会画图举例来带大家把这**prim三部曲**理解到位。 + +在prim算法中,有一个数组特别重要,这里我起名为:minDist。 + +刚刚我有讲过 “每次寻找距离 最小生成树最近的节点 并加入到最小生成树中”,那么如何寻找距离最小生成树最近的节点呢? + +这就用到了 minDist 数组, 它用来作什么呢? + +**minDist数组 用来记录 每一个节点距离最小生成树的最近距离**。 理解这一点非常重要,这也是 prim算法最核心要点所在,很多录友看不懂prim算法的代码,都是因为没有理解透 这个数组的含义。 + +接下来,我们来通过一步一步画图,来带大家巩固 **prim三部曲** 以及 minDist数组 的作用。 + +(**示例中节点编号是从1开始,所以为了让大家看的不晕,minDist数组下标我也从 1 开始计数,下标0 就不使用了,这样 下标和节点标号就可以对应上了,避免大家搞混**) + + +### 1 初始状态 + +minDist 数组 里的数值初始化为 最大数,因为本题 节点距离不会超过 10000,所以 初始化最大数为 10001就可以。 + +相信这里录友就要问了,为什么这么做? + +现在 还没有最小生成树,默认每个节点距离最小生成树是最大的,这样后面我们在比较的时候,发现更近的距离,才能更新到 minDist 数组上。 + +如图: + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231215105603.png) + +开始构造最小生成树 + +### 2 + +1、prim三部曲,第一步:选距离生成树最近节点 + +选择距离最小生成树最近的节点,加入到最小生成树,刚开始还没有最小生成树,所以随便选一个节点加入就好(因为每一个节点一定会在最小生成树里,所以随便选一个就好),那我们选择节点1 (符合遍历数组的习惯,第一个遍历的也是节点1) + +2、prim三部曲,第二步:最近节点加入生成树 + +此时 节点1 已经算最小生成树的节点。 + +3、prim三部曲,第三步:更新非生成树节点到生成树的距离(即更新minDist数组) + +接下来,我们要更新所有节点距离最小生成树的距离,如图: + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231222102048.png) + + +注意下标0,我们就不管它了,下标 1 与节点 1 对应,这样可以避免大家把节点搞混。 + +此时所有非生成树的节点距离 最小生成树(节点1)的距离都已经跟新了 。 + +* 节点2 与 节点1 的距离为1,比原先的 距离值10001小,所以更新minDist[2]。 +* 节点3 和 节点1 的距离为1,比原先的 距离值10001小,所以更新minDist[3]。 +* 节点5 和 节点1 的距离为2,比原先的 距离值10001小,所以更新minDist[5]。 + +**注意图中我标记了 minDist数组里更新的权值**,是哪两个节点之间的权值,例如 minDist[2] =1 ,这个 1 是 节点1 与 节点2 之间的连线,清楚这一点对最后我们记录 最小生成树的权值总和很重要。 + +(我在后面依然会不断重复 prim三部曲,可能基础好的录友会感觉有点啰嗦,但也是让大家感觉这三部曲求解的过程) + +### 3 + +1、prim三部曲,第一步:选距离生成树最近节点 + +选取一个距离 最小生成树(节点1) 最近的非生成树里的节点,节点2,3,5 距离 最小生成树(节点1) 最近,选节点 2(其实选 节点3或者节点5都可以,距离一样的)加入最小生成树。 + +2、prim三部曲,第二步:最近节点加入生成树 + +此时 节点1 和 节点2,已经算最小生成树的节点。 + + +3、prim三部曲,第三步:更新非生成树节点到生成树的距离(即更新minDist数组) + +接下来,我们要更新节点距离最小生成树的距离,如图: + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231222102431.png) + +此时所有非生成树的节点距离 最小生成树(节点1、节点2)的距离都已经跟新了 。 + +* 节点3 和 节点2 的距离为2,和原先的距离值1 小,所以不用更新。 +* 节点4 和 节点2 的距离为2,比原先的距离值10001小,所以更新minDist[4]。 +* 节点5 和 节点2 的距离为10001(不连接),所以不用更新。 +* 节点6 和 节点2 的距离为1,比原先的距离值10001小,所以更新minDist[6]。 + +### 4 + +1、prim三部曲,第一步:选距离生成树最近节点 + +选择一个距离 最小生成树(节点1、节点2) 最近的非生成树里的节点,节点3,6 距离 最小生成树(节点1、节点2) 最近,选节点3 (选节点6也可以,距离一样)加入最小生成树。 + +2、prim三部曲,第二步:最近节点加入生成树 + +此时 节点1 、节点2 、节点3 算是最小生成树的节点。 + + +3、prim三部曲,第三步:更新非生成树节点到生成树的距离(即更新minDist数组) + +接下来更新节点距离最小生成树的距离,如图: + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231222102457.png) + +所有非生成树的节点距离 最小生成树(节点1、节点2、节点3 )的距离都已经跟新了 。 + +* 节点 4 和 节点 3的距离为 1,和原先的距离值 2 小,所以更新minDist[3]为1。 + +上面为什么我们只比较 节点4 和 节点3 的距离呢? + +因为节点3加入 最小生成树后,非 生成树节点 只有 节点 4 和 节点3是链接的,所以需要重新更新一下 节点4距离最小生成树的距离,其他节点距离最小生成树的距离 都不变。 + +### 5 + +1、prim三部曲,第一步:选距离生成树最近节点 + +继续选择一个距离 最小生成树(节点1、节点2、节点3) 最近的非生成树里的节点,为了巩固大家对 minDist数组的理解,这里我再啰嗦一遍: + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231217213516.png) + +**minDist数组 是记录了 所有非生成树节点距离生成树的最小距离**,所以 从数组里我们能看出来,非生成树节点 4 和 节点 6 距离 生成树最近。 + + +任选一个加入生成树,我们选 节点4(选节点6也行) 。 + +**注意**,我们根据 minDist数组,选取距离 生成树 最近的节点 加入生成树,那么 **minDist数组里记录的其实也是 最小生成树的边的权值**(我在图中把权值对应的是哪两个节点也标记出来了)。 + +如果大家不理解,可以跟着我们下面的讲解,看 minDist数组的变化, minDist数组 里记录的权值对应的哪条边。 + +理解这一点很重要,因为 最后我们要求 最小生成树里所有边的权值和。 + +2、prim三部曲,第二步:最近节点加入生成树 + +此时 节点1、节点2、节点3、节点4 算是 最小生成树的节点。 + +3、prim三部曲,第三步:更新非生成树节点到生成树的距离(即更新minDist数组) + +接下来更新节点距离最小生成树的距离,如图: + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231222102618.png) + +minDist数组已经更新了 所有非生成树的节点距离 最小生成树(节点1、节点2、节点3、节点4 )的距离 。 + +* 节点 5 和 节点 4的距离为 1,和原先的距离值 2 小,所以更新minDist[4]为1。 + +### 6 + +1、prim三部曲,第一步:选距离生成树最近节点 + +继续选距离 最小生成树(节点1、节点2、节点3、节点4 )最近的非生成树里的节点,只有 节点 5 和 节点6。 + + +选节点5 (选节点6也可以)加入 生成树。 + +2、prim三部曲,第二步:最近节点加入生成树 + +节点1、节点2、节点3、节点4、节点5 算是 最小生成树的节点。 + +3、prim三部曲,第三步:更新非生成树节点到生成树的距离(即更新minDist数组) + +接下来更新节点距离最小生成树的距离,如图: + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231222102646.png) + +minDist数组已经更新了 所有非生成树的节点距离 最小生成树(节点1、节点2、节点3、节点4 、节点5)的距离 。 + +* 节点 6 和 节点 5 距离为 2,比原先的距离值 1 大,所以不更新 +* 节点 7 和 节点 5 距离为 1,比原先的距离值 10001小,更新 minDist[7] + +### 7 + +1、prim三部曲,第一步:选距离生成树最近节点 + +继续选距离 最小生成树(节点1、节点2、节点3、节点4 、节点5)最近的非生成树里的节点,只有 节点 6 和 节点7。 + +2、prim三部曲,第二步:最近节点加入生成树 + +选节点6 (选节点7也行,距离一样的)加入生成树。 + +3、prim三部曲,第三步:更新非生成树节点到生成树的距离(即更新minDist数组) + +节点1、节点2、节点3、节点4、节点5、节点6 算是 最小生成树的节点 ,接下来更新节点距离最小生成树的距离,如图: + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231222102732.png) + +这里就不在重复描述了,大家类推,最后,节点7加入生成树,如图: + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231222102820.png) + +### 最后 + +最后我们就生成了一个 最小生成树, 绿色的边将所有节点链接到一起,并且 保证权值是最小的,因为我们在更新 minDist 数组的时候,都是选距离 最小生成树最近的点 加入到树中。 + +讲解上面的模拟过程的时候,我已经强调多次 minDist数组 是记录了 所有非生成树节点距离生成树的最小距离。 + +最后,minDist数组 也就是记录的是最小生成树所有边的权值。 + +我在图中,特别把 每条边的权值对应的是哪两个节点 标记出来(例如minDist[7] = 1,对应的是节点5 和 节点7之间的边,而不是 节点6 和 节点7),为了就是让大家清楚, minDist里的每一个值 对应的是哪条边。 + +那么我们要求最小生成树里边的权值总和 就是 把 最后的 minDist 数组 累加一起。 + +以下代码,我对 prim三部曲,做了重点注释,大家根据这三步,就可以 透彻理解prim。 ```CPP - -#include -#include -#include -#include - +#include +#include using namespace std; +int main() { + int v, e; + int x, y, k; + cin >> v >> e; + // 填一个默认最大值,题目描述val最大为10000 + vector> grid(v + 1, vector(v + 1, 10001)); + while (e--) { + cin >> x >> y >> k; + // 因为是双向图,所以两个方向都要填上 + grid[x][y] = k; + grid[y][x] = k; -// 定义图的邻接矩阵表示 -const int INF = INT_MAX; // 表示无穷大 -typedef vector> Graph; + } + // 所有节点到最小生成树的最小距离 + vector minDist(v + 1, 10001); -// 使用Prim算法找到最小生成树 -void primMST(const Graph& graph, int startVertex) { - int V = graph.size(); + // 这个节点是否在树里 + vector isInTree(v + 1, false); - // 存储顶点是否在最小生成树中 - vector inMST(V, false); + // 我们只需要循环 n-1次,建立 n - 1条边,就可以把n个节点的图连在一起 + for (int i = 1; i < v; i++) { - // 存储最小生成树的边权重 - vector key(V, INF); + // 1、prim三部曲,第一步:选距离生成树最近节点 + int cur = -1; // 选中哪个节点 加入最小生成树 + for (int j = 1; j <= v; j++) { // 1 - v,顶点编号,这里下标从1开始 + // 选取最小生成树节点的条件: + // (1)不在最小生成树里 + // (2)距离最小生成树最近的节点 + // (3)只要不在最小生成树里,先默认选一个节点 ,在比较 哪一个是最小的 + // 理解条件3 很重要,才能理解这段代码:(cur == -1 || minDist[j] < minDist[cur]) + if (!isInTree[j] && (cur == -1 || minDist[j] < minDist[cur])) { + cur = j; + } + } + // 2、prim三部曲,第二步:最近节点(cur)加入生成树 + isInTree[cur] = true; - // 优先队列,存储边权重和目标顶点 - priority_queue, vector>, greater>> pq; - - // 初始顶点的权重设为0,加入优先队列 - key[startVertex] = 0; - pq.push({0, startVertex}); - - while (!pq.empty()) { - // 从优先队列中取出权重最小的边 - int u = pq.top().second; - pq.pop(); - - // 将顶点u标记为在最小生成树中 - inMST[u] = true; - - // 遍历u的所有邻居 - for (int v = 0; v < V; ++v) { - // 如果v未在最小生成树中,且u到v的权重小于v的当前权重 - if (!inMST[v] && graph[u][v] < key[v]) { - // 更新v的权重为u到v的权重 - key[v] = graph[u][v]; - // 将(u, v)添加到最小生成树 - pq.push({key[v], v}); + // 3、prim三部曲,第三步:更新非生成树节点到生成树的距离(即更新minDist数组) + // cur节点加入之后, 最小生成树加入了新的节点,那么所有节点到 最小生成树的距离(即minDist数组)需要更新一下 + // 由于cur节点是新加入到最小生成树,那么只需要关心与 cur 相连的 非生成树节点 的距离 是否比 原来 非生成树节点到生成树节点的距离更小了呢 + for (int j = 1; j <= v; j++) { + // 更新的条件: + // (1)节点是 非生成树里的节点 + // (2)与cur相连的某节点的权值 比 该某节点距离最小生成树的距离小 + // 很多录友看到自己 就想不明白什么意思,其实就是 cur 是新加入 最小生成树的节点,那么 所有非生成树的节点距离生成树节点的最近距离 由于 cur的新加入,需要更新一下数据了 + if (!isInTree[j] && grid[cur][j] < minDist[j]) { + minDist[j] = grid[cur][j]; } } } - - // 输出最小生成树的边 - cout << "Edges in the Minimum Spanning Tree:\n"; - for (int i = 1; i < V; ++i) { - cout << i << " - " << key[i] << " - " << i << "\n"; + // 统计结果 + int result = 0; + for (int i = 2; i <= v; i++) { // 不计第一个顶点,因为统计的是边的权值,v个节点有 v-1条边 + result += minDist[i]; } + cout << result << endl; + } +``` -int main() { - // 例子:无向图的邻接矩阵表示 - Graph graph = { - {0, 2, 0, 6, 0}, - {2, 0, 3, 8, 5}, - {0, 3, 0, 0, 7}, - {6, 8, 0, 0, 9}, - {0, 5, 7, 9, 0} - }; +## 拓展 - // 从顶点0开始运行Prim算法 - primMST(graph, 0); +上面讲解的是记录了最小生成树 所有边的权值,如果让打印出来 最小生成树的每条边呢? 或者说 要把这个最小生成树画出来呢? - return 0; -} -``` +此时我们就需要把 最小生成树里每一条边记录下来。 + +此时有两个问题: + +* 1、用什么结构来记录 +* 2、如何记录 + +如果记录边,其实就是记录两个节点就可以,两个节点连成一条边。 + +如何记录两个节点呢? + +我们使用一维数组就可以记录。 parent[节点编号] = 节点编号, 这样就把一条边记录下来了。(当然如果节点编号非常大,可以考虑使用map) + +使用一维数组记录是有向边,不过我们这里不需要记录方向,所以只关注两条边是连接的就行。 + +parent数组初始化代码: ```CPP -#include -#include -#include +vector parent(v + 1, -1); +``` -using namespace std; +接下来就是第二个问题,如何记录? -// 定义图的邻接矩阵表示 -const int INF = INT_MAX; // 表示无穷大 -typedef vector> Graph; +我们再来回顾一下 prim三部曲, -// 使用Prim算法找到最小生成树 -void primMST(const Graph& graph, int startVertex) { - int V = graph.size(); +1. 第一步,选距离生成树最近节点 +2. 第二步,最近节点加入生成树 +3. 第三步,更新非生成树节点到生成树的距离(即更新minDist数组) - // 存储顶点是否在最小生成树中 - vector inMST(V, false); +大家先思考一下,我们是在第几步,可以记录 最小生成树的边呢? - // 存储每个顶点的权重 - vector key(V, INF); +在本面上半篇 我们讲解过:“我们根据 minDist数组,选组距离 生成树 最近的节点 加入生成树,那么 **minDist数组里记录的其实也是 最小生成树的边的权值**。” - // 初始化起始顶点的权重为0 - key[startVertex] = 0; +既然 minDist数组 记录了 最小生成树的边,是不是就是在更新 minDist数组 的时候,去更新parent数组来记录一下对应的边呢。 - // 存储最小生成树的边权重 - vector parent(V, -1); - // 构建最小生成树 - for (int count = 0; count < V - 1; ++count) { - // 从未在最小生成树中的顶点中找到权重最小的顶点 - int u = -1; - for (int v = 0; v < V; ++v) { - if (!inMST[v] && (u == -1 || key[v] < key[u])) { - u = v; - } - } +所以 在 prim三部曲中的第三步,更新 parent数组,代码如下: - // 将顶点u标记为在最小生成树中 - inMST[u] = true; - - // 更新u的邻居的权重和父节点 - for (int v = 0; v < V; ++v) { - if (graph[u][v] != 0 && !inMST[v] && graph[u][v] < key[v]) { - key[v] = graph[u][v]; - parent[v] = u; - } - } +```CPP +for (int j = 1; j <= v; j++) { + if (!isInTree[j] && grid[cur][j] < minDist[j]) { + minDist[j] = grid[cur][j]; + parent[j] = cur; // 记录最小生成树的边 (注意数组指向的顺序很重要) } - - // 输出最小生成树的边 - cout << "Edges in the Minimum Spanning Tree:\n"; - for (int i = 1; i < V; ++i) { - cout << parent[i] << " - " << key[i] << " - " << i << "\n"; - } -} - -int main() { - // 例子:无向图的邻接矩阵表示 - Graph graph = { - {0, 2, 0, 6, 0}, - {2, 0, 3, 8, 5}, - {0, 3, 0, 0, 7}, - {6, 8, 0, 0, 9}, - {0, 5, 7, 9, 0} - }; - - // 从顶点0开始运行Prim算法 - primMST(graph, 0); - - return 0; } ``` + +代码中注释中,我强调了 数组指向的顺序很重要。 因为不少录友在这里会写成这样: `parent[cur] = j` 。 + +这里估计大家会疑惑了,parent[节点编号A] = 节点编号B, 就表示A 和 B 相连,我们这里就不用在意方向,代码中 为什么 只能 `parent[j] = cur` 而不能 `parent[cur] = j` 这么写呢? + +如果写成 `parent[cur] = j`,在 for 循环中,有多个 j 满足要求, 那么 parent[cur] 就会被反复覆盖,因为 cur 是一个固定值。 + +举个例子,cur = 1, 在 for循环中,可能 就 j = 2, j = 3,j =4 都符合条件,那么本来应该记录 节点1 与 节点 2、节点3、节点4相连的。 + +如果 `parent[cur] = j` 这么写,最后更新的逻辑是 parent[1] = 2, parent[1] = 3, parent[1] = 4, 最后只能记录 节点1 与节点 4 相连,其他相连情况都被覆盖了。 + +如果这么写 `parent[j] = cur`, 那就是 parent[2] = 1, parent[3] = 1, parent[4] = 1 ,这样 才能完整表示出 节点1 与 其他节点都是链接的,才没有被覆盖。 + +主要问题也是我们使用了一维数组来记录。 + +如果是二维数组,来记录两个点链接,例如 parent[节点编号A][节点编号B] = 1 ,parent[节点编号B][节点编号A] = 1,来表示 节点A 与 节点B 相连,那就没有上面说的这个注意事项了,当然这么做的话,就是多开辟的内存空间。 + +以下是输出最小生成树边的代码,不算最后输出, 就额外添加了两行代码,我都注释标记了: + +```CPP +#include +#include +using namespace std; +int main() { + int v, e; + int x, y, k; + cin >> v >> e; + vector> grid(v + 1, vector(v + 1, 10001)); + while (e--) { + cin >> x >> y >> k; + grid[x][y] = k; + grid[y][x] = k; + } + + vector minDist(v + 1, 10001); + vector isInTree(v + 1, false); + + //加上初始化 + vector parent(v + 1, -1); + + for (int i = 1; i < v; i++) { + int cur = -1; + for (int j = 1; j <= v; j++) { + if (!isInTree[j] && (cur == -1 || minDist[j] < minDist[cur])) { + cur = j; + } + } + isInTree[cur] = true; + for (int j = 1; j <= v; j++) { + if (!isInTree[j] && grid[cur][j] < minDist[j]) { + minDist[j] = grid[cur][j]; + + parent[j] = cur; // 记录边 + } + } + } + // 输出 最小生成树边的链接情况 + for (int i = 1; i <= v; i++) { + cout << i "->" parent[i] << endl; + } +} +``` + +按照本题示例,代码输入如下: + +``` +1->-1 +2->1 +3->1 +4->3 +5->4 +6->2 +7->5 +``` + +注意,这里是无向图,我在输出上添加了箭头仅仅是为了方便大家看出是边的意思。 + +大家可以和我们本题最后生成的最小生成树的图 去对比一下 边的链接情况: + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231229115714.png) + +绿色的边 是最小生成树,和我们的 输出完全一致。 + +## 总结 + +此时我就把prim算法讲解完毕了,我们再来回顾一下。 + +关于 prim算法,我自创了三部曲,来帮助大家理解: + +1. 第一步,选距离生成树最近节点 +2. 第二步,最近节点加入生成树 +3. 第三步,更新非生成树节点到生成树的距离(即更新minDist数组) + +大家只要理解这三部曲, prim算法 至少是可以写出一个框架出来,然后在慢慢补充细节,这样不至于 自己在写prim的时候 两眼一抹黑 完全凭感觉去写。 +这也为什么很多录友感觉 prim算法比较难,而且每次学会来,隔一段时间 又不会写了,主要是 没有一个纲领。 + +理解这三部曲之后,更重要的 就是理解 minDist数组。 + +**minDist数组 是prim算法的灵魂,它帮助 prim算法完成最重要的一步,就是如何找到 距离最小生成树最近的点**。 + +再来帮大家回顾 minDist数组 的含义:记录 每一个节点距离最小生成树的最近距离。 + +理解 minDist数组 ,至少大家看prim算法的代码不会懵。 + +也正是 因为 minDist数组 的作用,我们根据 minDist数组,选取距离 生成树 最近的节点 加入生成树,那么 **minDist数组里记录的其实也是 最小生成树的边的权值**。 + +所以我们求 最小生成树的权值和 就是 计算后的 minDist数组 数值总和。 + +最后我们拓展了如何求职 最小生成树 的每一条边,其实 添加的代码很简单,主要是理解 为什么使用 parent数组 来记录边 以及 在哪里 更新parent数组。 + +同时,因为使用一维数组,数组的下标和数组 如何赋值很重要,不要搞反,导师结果被覆盖。 + +好了,以上为总结,录友们学习愉快。 + + + +