From e5c4e9ec16aedbbc403135997cbf01e05d69ed62 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: programmercarl <826123027@qq.com> Date: Tue, 2 Jan 2024 12:07:19 +0800 Subject: [PATCH] Update --- problems/0070.爬楼梯.md | 2 - ...将有序数组转换为二叉搜索树.md | 2 +- problems/0209.长度最小的子数组.md | 2 +- problems/kama53.寻宝.md | 591 ++++++++++++++---- 4 files changed, 473 insertions(+), 124 deletions(-) diff --git a/problems/0070.爬楼梯.md b/problems/0070.爬楼梯.md index 7a59221d..3bd9b001 100644 --- a/problems/0070.爬楼梯.md +++ b/problems/0070.爬楼梯.md @@ -215,8 +215,6 @@ public: 所以不要轻视简单题，那种凭感觉就刷过去了，其实和没掌握区别不大，只有掌握方法论并说清一二三，才能触类旁通，举一反三哈！ -就酱，循序渐进学算法，认准「代码随想录」！ - ## 其他语言版本 diff --git a/problems/0108.将有序数组转换为二叉搜索树.md b/problems/0108.将有序数组转换为二叉搜索树.md index e699005e..9566b7b8 100644 --- a/problems/0108.将有序数组转换为二叉搜索树.md +++ b/problems/0108.将有序数组转换为二叉搜索树.md @@ -38,7 +38,7 @@ 题目中说要转换为一棵高度平衡二叉搜索树。为什么强调要平衡呢？ -因为只要给我们一个有序数组，如果强调平衡，都可以以线性结构来构造二叉搜索树。 +因为只要给我们一个有序数组，如果不强调平衡，都可以以线性结构来构造二叉搜索树。 例如 有序数组[-10，-3，0，5，9] 就可以构造成这样的二叉搜索树，如图。 diff --git a/problems/0209.长度最小的子数组.md b/problems/0209.长度最小的子数组.md index afce2646..5934d5e3 100644 --- a/problems/0209.长度最小的子数组.md +++ b/problems/0209.长度最小的子数组.md @@ -100,7 +100,7 @@ public: 窗口就是 满足其和 ≥ s 的长度最小的 连续 子数组。 -窗口的起始位置如何移动：如果当前窗口的值大于s了，窗口就要向前移动了（也就是该缩小了）。 +窗口的起始位置如何移动：如果当前窗口的值大于等于s了，窗口就要向前移动了（也就是该缩小了）。 窗口的结束位置如何移动：窗口的结束位置就是遍历数组的指针，也就是for循环里的索引。 diff --git a/problems/kama53.寻宝.md b/problems/kama53.寻宝.md index b52ac374..08fc9a18 100644 --- a/problems/kama53.寻宝.md +++ b/problems/kama53.寻宝.md @@ -1,155 +1,506 @@ +思考一下边的权值为负数的情况 + -如果你的图相对较小且比较密集，而且你更注重简单性和空间效率，数组实现可能更合适。 +# 寻宝 -如果你的图规模较大，尤其是在稀疏图中，而且你更注重时间效率和通用性，优先级队列实现可能更合适。 +[卡码网：53. 寻宝](https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1053) -其关键 在于弄清楚 minDist 的定义 +题目描述： + +在世界的某个区域，有一些分散的神秘岛屿，每个岛屿上都有一种珍稀的资源或者宝藏。你是一名探险者，决定前往这些岛屿，但为了节省时间和资源，你希望规划一条最短的路径，以便在探索这些岛屿时尽量减少旅行的距离。 + +给定一张地图，其中包括了所有的岛屿，以及它们之间的距离。每个岛屿都需要被至少访问一次，你的目标是规划一条最短路径，以最小化探索路径的总距离，同时确保访问了所有岛屿。 + +输入描述： + +第一行包含两个整数V 和 E，V代表顶点数，E代表边数 。顶点编号是从1到V。例如：V=2，一个有两个顶点，分别是1和2。 + +接下来共有 E 行，每行三个整数 v1，v2 和 val，v1 和 v2 为边的起点和终点，val代表边的权值。 + +输出描述： + +输出联通所有岛屿的最小路径总距离 + +输入示例： + +``` +7 11 +1 2 1 +1 3 1 +1 5 2 +2 6 1 +2 4 2 +2 3 2 +3 4 1 +4 5 1 +5 6 2 +5 7 1 +6 7 1 +``` + +输出示例： + +6 + + +## 解题思路 + +本题是最小生成树的模板题，那么我们来讲一讲最小生成树。 + +最小生成树 可以使用 prim算法 也可以使用 kruskal算法计算出来。 + +本篇我们先讲解 prim算法。 + +最小生成树是所有节点的最小连通子图， 即：以最小的成本（边的权值）将图中所有节点链接到一起。 + +图中有n个节点，那么一定可以用 n - 1 条边将所有节点连接到一起。 + +那么如何选择 这 n-1 条边 就是 最小生成树算法的任务所在。 + +例如本题示例中的无向有权图为： + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231206164306.png) + +那么在这个图中，如何选取 n-1 条边 使得 图中所有节点连接到一起，并且边的权值和最小呢？ + +（图中为n为7，即7个节点，那么只需要 n-1 即 6条边就可以讲所有顶点连接到一起） + +prim算法 是从节点的角度 采用贪心的策略 每次寻找距离 最小生成树最近的节点 并加入到最小生成树中。 + +prim算法核心就是三步，我称为**prim三部曲**，大家一定要熟悉这三步，代码相对会好些很多： + +1. 第一步，选距离生成树最近节点 +2. 第二步，最近节点加入生成树 +3. 第三步，更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组） + +现在录友们会对这三步很陌生，不知道这是干啥的，没关系，下面将会画图举例来带大家把这**prim三部曲**理解到位。 + +在prim算法中，有一个数组特别重要，这里我起名为：minDist。 + +刚刚我有讲过 “每次寻找距离 最小生成树最近的节点 并加入到最小生成树中”，那么如何寻找距离最小生成树最近的节点呢？ + +这就用到了 minDist 数组， 它用来作什么呢？ + +**minDist数组 用来记录 每一个节点距离最小生成树的最近距离**。 理解这一点非常重要，这也是 prim算法最核心要点所在，很多录友看不懂prim算法的代码，都是因为没有理解透 这个数组的含义。 + +接下来，我们来通过一步一步画图，来带大家巩固 **prim三部曲** 以及 minDist数组 的作用。 + +（**示例中节点编号是从1开始，所以为了让大家看的不晕，minDist数组下标我也从 1 开始计数，下标0 就不使用了，这样 下标和节点标号就可以对应上了，避免大家搞混**） + + +### 1 初始状态 + +minDist 数组 里的数值初始化为 最大数，因为本题 节点距离不会超过 10000，所以 初始化最大数为 10001就可以。 + +相信这里录友就要问了，为什么这么做？ + +现在 还没有最小生成树，默认每个节点距离最小生成树是最大的，这样后面我们在比较的时候，发现更近的距离，才能更新到 minDist 数组上。 + +如图： + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231215105603.png) + +开始构造最小生成树 + +### 2 + +1、prim三部曲，第一步：选距离生成树最近节点 + +选择距离最小生成树最近的节点，加入到最小生成树，刚开始还没有最小生成树，所以随便选一个节点加入就好（因为每一个节点一定会在最小生成树里，所以随便选一个就好），那我们选择节点1 （符合遍历数组的习惯，第一个遍历的也是节点1） + +2、prim三部曲，第二步：最近节点加入生成树 + +此时 节点1 已经算最小生成树的节点。 + +3、prim三部曲，第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组） + +接下来，我们要更新所有节点距离最小生成树的距离，如图： + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231222102048.png) + + +注意下标0，我们就不管它了，下标 1 与节点 1 对应，这样可以避免大家把节点搞混。 + +此时所有非生成树的节点距离 最小生成树（节点1）的距离都已经跟新了 。 + +* 节点2 与 节点1 的距离为1，比原先的 距离值10001小，所以更新minDist[2]。 +* 节点3 和 节点1 的距离为1，比原先的 距离值10001小，所以更新minDist[3]。 +* 节点5 和 节点1 的距离为2，比原先的 距离值10001小，所以更新minDist[5]。 + +**注意图中我标记了 minDist数组里更新的权值**，是哪两个节点之间的权值，例如 minDist[2] =1 ，这个 1 是 节点1 与 节点2 之间的连线，清楚这一点对最后我们记录 最小生成树的权值总和很重要。 + +（我在后面依然会不断重复 prim三部曲，可能基础好的录友会感觉有点啰嗦，但也是让大家感觉这三部曲求解的过程） + +### 3 + +1、prim三部曲，第一步：选距离生成树最近节点 + +选取一个距离 最小生成树（节点1） 最近的非生成树里的节点，节点2，3，5 距离 最小生成树（节点1） 最近，选节点 2（其实选 节点3或者节点5都可以，距离一样的）加入最小生成树。 + +2、prim三部曲，第二步：最近节点加入生成树 + +此时 节点1 和 节点2，已经算最小生成树的节点。 + + +3、prim三部曲，第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组） + +接下来，我们要更新节点距离最小生成树的距离，如图： + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231222102431.png) + +此时所有非生成树的节点距离 最小生成树（节点1、节点2）的距离都已经跟新了 。 + +* 节点3 和 节点2 的距离为2，和原先的距离值1 小，所以不用更新。 +* 节点4 和 节点2 的距离为2，比原先的距离值10001小，所以更新minDist[4]。 +* 节点5 和 节点2 的距离为10001（不连接），所以不用更新。 +* 节点6 和 节点2 的距离为1，比原先的距离值10001小，所以更新minDist[6]。 + +### 4 + +1、prim三部曲，第一步：选距离生成树最近节点 + +选择一个距离 最小生成树（节点1、节点2） 最近的非生成树里的节点，节点3，6 距离 最小生成树（节点1、节点2） 最近，选节点3 （选节点6也可以，距离一样）加入最小生成树。 + +2、prim三部曲，第二步：最近节点加入生成树 + +此时 节点1 、节点2 、节点3 算是最小生成树的节点。 + + +3、prim三部曲，第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组） + +接下来更新节点距离最小生成树的距离，如图： + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231222102457.png) + +所有非生成树的节点距离 最小生成树（节点1、节点2、节点3 ）的距离都已经跟新了 。 + +* 节点 4 和 节点 3的距离为 1，和原先的距离值 2 小，所以更新minDist[3]为1。 + +上面为什么我们只比较 节点4 和 节点3 的距离呢？ + +因为节点3加入 最小生成树后，非 生成树节点 只有 节点 4 和 节点3是链接的，所以需要重新更新一下 节点4距离最小生成树的距离，其他节点距离最小生成树的距离 都不变。 + +### 5 + +1、prim三部曲，第一步：选距离生成树最近节点 + +继续选择一个距离 最小生成树（节点1、节点2、节点3） 最近的非生成树里的节点，为了巩固大家对 minDist数组的理解，这里我再啰嗦一遍： + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231217213516.png) + +**minDist数组 是记录了 所有非生成树节点距离生成树的最小距离**，所以 从数组里我们能看出来，非生成树节点 4 和 节点 6 距离 生成树最近。 + + +任选一个加入生成树，我们选 节点4（选节点6也行） 。 + +**注意**，我们根据 minDist数组，选取距离 生成树 最近的节点 加入生成树，那么 **minDist数组里记录的其实也是 最小生成树的边的权值**（我在图中把权值对应的是哪两个节点也标记出来了）。 + +如果大家不理解，可以跟着我们下面的讲解，看 minDist数组的变化， minDist数组 里记录的权值对应的哪条边。 + +理解这一点很重要，因为 最后我们要求 最小生成树里所有边的权值和。 + +2、prim三部曲，第二步：最近节点加入生成树 + +此时 节点1、节点2、节点3、节点4 算是 最小生成树的节点。 + +3、prim三部曲，第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组） + +接下来更新节点距离最小生成树的距离，如图： + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231222102618.png) + +minDist数组已经更新了 所有非生成树的节点距离 最小生成树（节点1、节点2、节点3、节点4 ）的距离 。 + +* 节点 5 和 节点 4的距离为 1，和原先的距离值 2 小，所以更新minDist[4]为1。 + +### 6 + +1、prim三部曲，第一步：选距离生成树最近节点 + +继续选距离 最小生成树（节点1、节点2、节点3、节点4 ）最近的非生成树里的节点，只有 节点 5 和 节点6。 + + +选节点5 （选节点6也可以）加入 生成树。 + +2、prim三部曲，第二步：最近节点加入生成树 + +节点1、节点2、节点3、节点4、节点5 算是 最小生成树的节点。 + +3、prim三部曲，第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组） + +接下来更新节点距离最小生成树的距离，如图： + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231222102646.png) + +minDist数组已经更新了 所有非生成树的节点距离 最小生成树（节点1、节点2、节点3、节点4 、节点5）的距离 。 + +* 节点 6 和 节点 5 距离为 2，比原先的距离值 1 大，所以不更新 +* 节点 7 和 节点 5 距离为 1，比原先的距离值 10001小，更新 minDist[7] + +### 7 + +1、prim三部曲，第一步：选距离生成树最近节点 + +继续选距离 最小生成树（节点1、节点2、节点3、节点4 、节点5）最近的非生成树里的节点，只有 节点 6 和 节点7。 + +2、prim三部曲，第二步：最近节点加入生成树 + +选节点6 （选节点7也行，距离一样的）加入生成树。 + +3、prim三部曲，第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组） + +节点1、节点2、节点3、节点4、节点5、节点6 算是 最小生成树的节点 ，接下来更新节点距离最小生成树的距离，如图： + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231222102732.png) + +这里就不在重复描述了，大家类推，最后，节点7加入生成树，如图： + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231222102820.png) + +### 最后 + +最后我们就生成了一个 最小生成树， 绿色的边将所有节点链接到一起，并且 保证权值是最小的，因为我们在更新 minDist 数组的时候，都是选距离 最小生成树最近的点 加入到树中。 + +讲解上面的模拟过程的时候，我已经强调多次 minDist数组 是记录了 所有非生成树节点距离生成树的最小距离。 + +最后，minDist数组 也就是记录的是最小生成树所有边的权值。 + +我在图中，特别把 每条边的权值对应的是哪两个节点 标记出来（例如minDist[7] = 1，对应的是节点5 和 节点7之间的边，而不是 节点6 和 节点7），为了就是让大家清楚， minDist里的每一个值 对应的是哪条边。 + +那么我们要求最小生成树里边的权值总和 就是 把 最后的 minDist 数组 累加一起。 + +以下代码，我对 prim三部曲，做了重点注释，大家根据这三步，就可以 透彻理解prim。 ```CPP - -#include -#include -#include -#include - +#include +#include using namespace std; +int main() { + int v, e; + int x, y, k; + cin >> v >> e; + // 填一个默认最大值，题目描述val最大为10000 + vector> grid(v + 1, vector(v + 1, 10001)); + while (e--) { + cin >> x >> y >> k; + // 因为是双向图，所以两个方向都要填上 + grid[x][y] = k; + grid[y][x] = k; -// 定义图的邻接矩阵表示 -const int INF = INT_MAX; // 表示无穷大 -typedef vector> Graph; + } + // 所有节点到最小生成树的最小距离 + vector minDist(v + 1, 10001); -// 使用Prim算法找到最小生成树 -void primMST(const Graph& graph, int startVertex) { - int V = graph.size(); + // 这个节点是否在树里 + vector isInTree(v + 1, false); - // 存储顶点是否在最小生成树中 - vector inMST(V, false); + // 我们只需要循环 n-1次，建立 n - 1条边，就可以把n个节点的图连在一起 + for (int i = 1; i < v; i++) { - // 存储最小生成树的边权重 - vector key(V, INF); + // 1、prim三部曲，第一步：选距离生成树最近节点 + int cur = -1; // 选中哪个节点 加入最小生成树 + for (int j = 1; j <= v; j++) { // 1 - v，顶点编号，这里下标从1开始 + // 选取最小生成树节点的条件： + // （1）不在最小生成树里 + // （2）距离最小生成树最近的节点 + // （3）只要不在最小生成树里，先默认选一个节点 ，在比较 哪一个是最小的 + // 理解条件3 很重要，才能理解这段代码：(cur == -1 || minDist[j] < minDist[cur]) + if (!isInTree[j] && (cur == -1 || minDist[j] < minDist[cur])) { + cur = j; + } + } + // 2、prim三部曲，第二步：最近节点（cur）加入生成树 + isInTree[cur] = true; - // 优先队列，存储边权重和目标顶点 - priority_queue, vector>, greater>> pq; - - // 初始顶点的权重设为0，加入优先队列 - key[startVertex] = 0; - pq.push({0, startVertex}); - - while (!pq.empty()) { - // 从优先队列中取出权重最小的边 - int u = pq.top().second; - pq.pop(); - - // 将顶点u标记为在最小生成树中 - inMST[u] = true; - - // 遍历u的所有邻居 - for (int v = 0; v < V; ++v) { - // 如果v未在最小生成树中，且u到v的权重小于v的当前权重 - if (!inMST[v] && graph[u][v] < key[v]) { - // 更新v的权重为u到v的权重 - key[v] = graph[u][v]; - // 将(u, v)添加到最小生成树 - pq.push({key[v], v}); + // 3、prim三部曲，第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组） + // cur节点加入之后， 最小生成树加入了新的节点，那么所有节点到 最小生成树的距离（即minDist数组）需要更新一下 + // 由于cur节点是新加入到最小生成树，那么只需要关心与 cur 相连的 非生成树节点 的距离 是否比 原来 非生成树节点到生成树节点的距离更小了呢 + for (int j = 1; j <= v; j++) { + // 更新的条件： + // （1）节点是 非生成树里的节点 + // （2）与cur相连的某节点的权值 比 该某节点距离最小生成树的距离小 + // 很多录友看到自己 就想不明白什么意思，其实就是 cur 是新加入 最小生成树的节点，那么 所有非生成树的节点距离生成树节点的最近距离 由于 cur的新加入，需要更新一下数据了 + if (!isInTree[j] && grid[cur][j] < minDist[j]) { + minDist[j] = grid[cur][j]; } } } - - // 输出最小生成树的边 - cout << "Edges in the Minimum Spanning Tree:\n"; - for (int i = 1; i < V; ++i) { - cout << i << " - " << key[i] << " - " << i << "\n"; + // 统计结果 + int result = 0; + for (int i = 2; i <= v; i++) { // 不计第一个顶点，因为统计的是边的权值，v个节点有 v-1条边 + result += minDist[i]; } + cout << result << endl; + } +``` -int main() { - // 例子：无向图的邻接矩阵表示 - Graph graph = { - {0, 2, 0, 6, 0}, - {2, 0, 3, 8, 5}, - {0, 3, 0, 0, 7}, - {6, 8, 0, 0, 9}, - {0, 5, 7, 9, 0} - }; +## 拓展 - // 从顶点0开始运行Prim算法 - primMST(graph, 0); +上面讲解的是记录了最小生成树 所有边的权值，如果让打印出来 最小生成树的每条边呢？ 或者说 要把这个最小生成树画出来呢？ - return 0; -} -``` +此时我们就需要把 最小生成树里每一条边记录下来。 + +此时有两个问题： + +* 1、用什么结构来记录 +* 2、如何记录 + +如果记录边，其实就是记录两个节点就可以，两个节点连成一条边。 + +如何记录两个节点呢？ + +我们使用一维数组就可以记录。 parent[节点编号] = 节点编号， 这样就把一条边记录下来了。（当然如果节点编号非常大，可以考虑使用map） + +使用一维数组记录是有向边，不过我们这里不需要记录方向，所以只关注两条边是连接的就行。 + +parent数组初始化代码： ```CPP -#include -#include -#include +vector parent(v + 1, -1); +``` -using namespace std; +接下来就是第二个问题，如何记录？ -// 定义图的邻接矩阵表示 -const int INF = INT_MAX; // 表示无穷大 -typedef vector> Graph; +我们再来回顾一下 prim三部曲， -// 使用Prim算法找到最小生成树 -void primMST(const Graph& graph, int startVertex) { - int V = graph.size(); +1. 第一步，选距离生成树最近节点 +2. 第二步，最近节点加入生成树 +3. 第三步，更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组） - // 存储顶点是否在最小生成树中 - vector inMST(V, false); +大家先思考一下，我们是在第几步，可以记录 最小生成树的边呢？ - // 存储每个顶点的权重 - vector key(V, INF); +在本面上半篇 我们讲解过：“我们根据 minDist数组，选组距离 生成树 最近的节点 加入生成树，那么 **minDist数组里记录的其实也是 最小生成树的边的权值**。” - // 初始化起始顶点的权重为0 - key[startVertex] = 0; +既然 minDist数组 记录了 最小生成树的边，是不是就是在更新 minDist数组 的时候，去更新parent数组来记录一下对应的边呢。 - // 存储最小生成树的边权重 - vector parent(V, -1); - // 构建最小生成树 - for (int count = 0; count < V - 1; ++count) { - // 从未在最小生成树中的顶点中找到权重最小的顶点 - int u = -1; - for (int v = 0; v < V; ++v) { - if (!inMST[v] && (u == -1 || key[v] < key[u])) { - u = v; - } - } +所以 在 prim三部曲中的第三步，更新 parent数组，代码如下： - // 将顶点u标记为在最小生成树中 - inMST[u] = true; - - // 更新u的邻居的权重和父节点 - for (int v = 0; v < V; ++v) { - if (graph[u][v] != 0 && !inMST[v] && graph[u][v] < key[v]) { - key[v] = graph[u][v]; - parent[v] = u; - } - } +```CPP +for (int j = 1; j <= v; j++) { + if (!isInTree[j] && grid[cur][j] < minDist[j]) { + minDist[j] = grid[cur][j]; + parent[j] = cur; // 记录最小生成树的边 （注意数组指向的顺序很重要） } - - // 输出最小生成树的边 - cout << "Edges in the Minimum Spanning Tree:\n"; - for (int i = 1; i < V; ++i) { - cout << parent[i] << " - " << key[i] << " - " << i << "\n"; - } -} - -int main() { - // 例子：无向图的邻接矩阵表示 - Graph graph = { - {0, 2, 0, 6, 0}, - {2, 0, 3, 8, 5}, - {0, 3, 0, 0, 7}, - {6, 8, 0, 0, 9}, - {0, 5, 7, 9, 0} - }; - - // 从顶点0开始运行Prim算法 - primMST(graph, 0); - - return 0; } ``` + +代码中注释中，我强调了 数组指向的顺序很重要。 因为不少录友在这里会写成这样： `parent[cur] = j` 。 + +这里估计大家会疑惑了，parent[节点编号A] = 节点编号B， 就表示A 和 B 相连，我们这里就不用在意方向，代码中 为什么 只能 `parent[j] = cur` 而不能 `parent[cur] = j` 这么写呢？ + +如果写成 `parent[cur] = j`，在 for 循环中，有多个 j 满足要求， 那么 parent[cur] 就会被反复覆盖，因为 cur 是一个固定值。 + +举个例子，cur = 1， 在 for循环中，可能 就 j = 2， j = 3，j =4 都符合条件，那么本来应该记录 节点1 与 节点 2、节点3、节点4相连的。 + +如果 `parent[cur] = j` 这么写，最后更新的逻辑是 parent[1] = 2, parent[1] = 3， parent[1] = 4， 最后只能记录 节点1 与节点 4 相连，其他相连情况都被覆盖了。 + +如果这么写 `parent[j] = cur`， 那就是 parent[2] = 1, parent[3] = 1， parent[4] = 1 ，这样 才能完整表示出 节点1 与 其他节点都是链接的，才没有被覆盖。 + +主要问题也是我们使用了一维数组来记录。 + +如果是二维数组，来记录两个点链接，例如 parent[节点编号A][节点编号B] = 1 ，parent[节点编号B][节点编号A] = 1，来表示 节点A 与 节点B 相连，那就没有上面说的这个注意事项了，当然这么做的话，就是多开辟的内存空间。 + +以下是输出最小生成树边的代码，不算最后输出， 就额外添加了两行代码，我都注释标记了： + +```CPP +#include +#include +using namespace std; +int main() { + int v, e; + int x, y, k; + cin >> v >> e; + vector> grid(v + 1, vector(v + 1, 10001)); + while (e--) { + cin >> x >> y >> k; + grid[x][y] = k; + grid[y][x] = k; + } + + vector minDist(v + 1, 10001); + vector isInTree(v + 1, false); + + //加上初始化 + vector parent(v + 1, -1); + + for (int i = 1; i < v; i++) { + int cur = -1; + for (int j = 1; j <= v; j++) { + if (!isInTree[j] && (cur == -1 || minDist[j] < minDist[cur])) { + cur = j; + } + } + isInTree[cur] = true; + for (int j = 1; j <= v; j++) { + if (!isInTree[j] && grid[cur][j] < minDist[j]) { + minDist[j] = grid[cur][j]; + + parent[j] = cur; // 记录边 + } + } + } + // 输出 最小生成树边的链接情况 + for (int i = 1; i <= v; i++) { + cout << i "->" parent[i] << endl; + } +} +``` + +按照本题示例，代码输入如下： + +``` +1->-1 +2->1 +3->1 +4->3 +5->4 +6->2 +7->5 +``` + +注意，这里是无向图，我在输出上添加了箭头仅仅是为了方便大家看出是边的意思。 + +大家可以和我们本题最后生成的最小生成树的图 去对比一下 边的链接情况： + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20231229115714.png) + +绿色的边 是最小生成树，和我们的 输出完全一致。 + +## 总结 + +此时我就把prim算法讲解完毕了，我们再来回顾一下。 + +关于 prim算法，我自创了三部曲，来帮助大家理解： + +1. 第一步，选距离生成树最近节点 +2. 第二步，最近节点加入生成树 +3. 第三步，更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组） + +大家只要理解这三部曲， prim算法 至少是可以写出一个框架出来，然后在慢慢补充细节，这样不至于 自己在写prim的时候 两眼一抹黑 完全凭感觉去写。 +这也为什么很多录友感觉 prim算法比较难，而且每次学会来，隔一段时间 又不会写了，主要是 没有一个纲领。 + +理解这三部曲之后，更重要的 就是理解 minDist数组。 + +**minDist数组 是prim算法的灵魂，它帮助 prim算法完成最重要的一步，就是如何找到 距离最小生成树最近的点**。 + +再来帮大家回顾 minDist数组 的含义：记录 每一个节点距离最小生成树的最近距离。 + +理解 minDist数组 ，至少大家看prim算法的代码不会懵。 + +也正是 因为 minDist数组 的作用，我们根据 minDist数组，选取距离 生成树 最近的节点 加入生成树，那么 **minDist数组里记录的其实也是 最小生成树的边的权值**。 + +所以我们求 最小生成树的权值和 就是 计算后的 minDist数组 数值总和。 + +最后我们拓展了如何求职 最小生成树 的每一条边，其实 添加的代码很简单，主要是理解 为什么使用 parent数组 来记录边 以及 在哪里 更新parent数组。 + +同时，因为使用一维数组，数组的下标和数组 如何赋值很重要，不要搞反，导师结果被覆盖。 + +好了，以上为总结，录友们学习愉快。 + 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