diff --git a/problems/0207.课程表.md b/problems/0207.课程表.md new file mode 100644 index 00000000..18c46840 --- /dev/null +++ b/problems/0207.课程表.md @@ -0,0 +1,51 @@ + +拓扑排序指的是一种 解决问题的大体思路， 而具体算法，可能是 广搜 可能是深搜。 + +大家可能发现 各式各样的解法，纠结哪个是拓扑排序？ + +只要能在把 有向无环图 进行线性排序 的算法 都可以叫做 拓扑排序。 + +引用与任务调度，课程安排等等。 + +为什么 + + +----- + +「拓扑排序」是专门应用于有向图的算法； + +把一个 有向无环图 转成 线性的排序 就叫 拓扑排序。 + +拓扑排序（Kahn 算法，其实就是广度优先遍历的思路） + +这道题的做法同样适用于第 210 题。 + +------------------ + +``` +vector inDegree(numCourses); +unordered_map> map; +for (int i = 0; i < prerequisites.size(); i++) { + inDegree[prerequisites[i][0]]++;//当前课程入度值+1 + map[prerequisites[i][1]].push_back(prerequisites[i][0]);//添加依赖他的后续课 +} +queue Qu; +for (int i = 0; i < numCourses; i++) { + if (inDegree[i] == 0) Qu.push(i);//所有入度为0的课入列 +} +int count = 0; +while (Qu.size()) { + int selected = Qu.front(); //当前选的课 + Qu.pop();//出列 + count++;//选课数+1 + vector toEnQueue = map[selected];//获取这门课对应的后续课 + if (toEnQueue.size()) { //确实有后续课 + for (int i = 0; i < toEnQueue.size(); i++) { + inDegree[toEnQueue[i]]--; //依赖它的后续课的入度-1 + if (inDegree[toEnQueue[i]] == 0) Qu.push(toEnQueue[i]); //如果因此减为0，入列 + } + } +} +if (count == numCourses) return true; +return false; +``` diff --git a/problems/0743.网络延迟时间.md b/problems/0743.网络延迟时间.md index d9440609..e631951a 100644 --- a/problems/0743.网络延迟时间.md +++ b/problems/0743.网络延迟时间.md @@ -1194,8 +1194,7 @@ public: 至此通过 两篇dijkstra的文章，终于把 dijkstra 讲完了，如果大家对我讲解里所涉及的内容都吃透的话，详细对 dijkstra 算法也就理解到位了。 - -# Bellman_ford +这里在给出本题的Bellman_ford解法，关于 Bellman_ford ，后面我会专门来讲解的，Bellman_ford 有其独特的应用场景 ```CPP class Solution { @@ -1204,27 +1203,25 @@ public: int networkDelayTime(vector>& times, int n, int k) { vector minDist(n + 1 , INT_MAX/2); minDist[k] = 0; - vector minDist_copy(n); // 用来记录每一次遍历的结果 + //vector minDist_copy(n); // 用来记录每一次遍历的结果 for (int i = 1; i <= n + 1; i++) { - minDist_copy = minDist; // 获取上一次计算的结果 + //minDist_copy = minDist; // 获取上一次计算的结果 for (auto &f : times) { int from = f[0]; int to = f[1]; - int price = f[2]; - if (minDist[to] > minDist_copy[from] + price) minDist[to] = minDist_copy[from] + price; - } + int price = f[2]; + if (minDist[to] > minDist[from] + price) minDist[to] = minDist[from] + price; + } } - int result = 0; + int result = 0; for (int i = 1;i <= n; i++) { if (minDist[i] == INT_MAX/2) return -1;// 没有路径 result = max(minDist[i], result); } - return result; } }; - ``` diff --git a/problems/0787.K站中转内最便宜的航班.md b/problems/0787.K站中转内最便宜的航班.md index c7b6236b..1ece7116 100644 --- a/problems/0787.K站中转内最便宜的航班.md +++ b/problems/0787.K站中转内最便宜的航班.md @@ -1,4 +1,21 @@ +# 787. K 站中转内最便宜的航班 + +有 n 个城市通过一些航班连接。给你一个数组 flights ，其中 flights[i] = [fromi, toi, pricei] ，表示该航班都从城市 fromi 开始，以价格 pricei 抵达 toi。 + +现在给定所有的城市和航班，以及出发城市 src 和目的地 dst，你的任务是找到出一条最多经过 k 站中转的路线，使得从 src 到 dst 的 价格最便宜 ，并返回该价格。 如果不存在这样的路线，则输出 -1。 + + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240319103900.png) + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240319103919.png) + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240319104026.png) + + +## 思路 + + ```CPP class Solution { @@ -13,7 +30,8 @@ public: int from = f[0]; int to = f[1]; int price = f[2]; - if (minDist[to] > minDist_copy[from] + price) minDist[to] = minDist_copy[from] + price; + minDist[to] = min(minDist_copy[from] + price, minDist[to]); + // if (minDist[to] > minDist_copy[from] + price) minDist[to] = minDist_copy[from] + price; } } @@ -23,6 +41,8 @@ public: }; ``` +下面是典型的错误写法 + ```CPP class Solution { public: @@ -42,3 +62,117 @@ public: } }; ``` + + +----------- + +SPFA + + +class Solution { +struct Edge { + int to; // 链接的节点 + int val; // 边的权重 + + Edge(int t, int w): to(t), val(w) {} // 构造函数 +}; + +public: + int findCheapestPrice(int n, vector>& flights, int src, int dst, int k) { + vector minDist(n , INT_MAX/2); + vector> grid(n + 1); // 邻接表 + for (auto &f : flights) { + int from = f[0]; + int to = f[1]; + int price = f[2]; + grid[from].push_back(Edge(to, price)); + + } + minDist[src] = 0; + vector minDist_copy(n); // 用来记录每一次遍历的结果 + k++; + queue que; + que.push(src); + std::vector visited(n + 1, false); // 可加，可不加，加了效率高一些，防止重复访问 + int que_size; + while (k-- && !que.empty()) { + + minDist_copy = minDist; // 获取上一次计算的结果 + que_size = que.size(); + while (que_size--) { // 这个while循环的设计实在是妙啊 + int node = que.front(); que.pop(); + for (Edge edge : grid[node]) { + int from = node; + int to = edge.to; + int price = edge.val; + if (minDist[to] > minDist_copy[from] + price) { + minDist[to] = minDist_copy[from] + price; + que.push(to); + } + } + + } + } + int result = minDist[dst] == INT_MAX/2 ? -1 : minDist[dst]; + return result; + } +}; + + +----------------- + +队列加上 visited 不能重复访问 + +class Solution { +struct Edge { + int to; // 链接的节点 + int val; // 边的权重 + + Edge(int t, int w): to(t), val(w) {} // 构造函数 +}; + +public: + int findCheapestPrice(int n, vector>& flights, int src, int dst, int k) { + vector minDist(n , INT_MAX/2); + vector> grid(n + 1); // 邻接表 + for (auto &f : flights) { + int from = f[0]; + int to = f[1]; + int price = f[2]; + grid[from].push_back(Edge(to, price)); + + } + minDist[src] = 0; + vector minDist_copy(n); // 用来记录每一次遍历的结果 + k++; + queue que; + que.push(src); + int que_size; + while (k-- && !que.empty()) { + // 注意这个数组放的位置 + vector visited(n + 1, false); // 可加，可不加，加了效率高一些，防止队列里重复访问，其数值已经算过了 + minDist_copy = minDist; // 获取上一次计算的结果 + que_size = que.size(); + while (que_size--) { + int node = que.front(); que.pop(); + for (Edge edge : grid[node]) { + int from = node; + int to = edge.to; + int price = edge.val; + if (minDist[to] > minDist_copy[from] + price) { + minDist[to] = minDist_copy[from] + price; + if(visited[to]) continue; // 不用重复放入队列，但需要重复计算，所以放在这里位置 + visited[to] = true; + que.push(to); + } + } + + } + } + int result = minDist[dst] == INT_MAX/2 ? -1 : minDist[dst]; + return result; + } +}; + + + diff --git a/problems/1334.阈值距离内邻居最少的城市.md b/problems/1334.阈值距离内邻居最少的城市.md new file mode 100644 index 00000000..2156ee04 --- /dev/null +++ b/problems/1334.阈值距离内邻居最少的城市.md @@ -0,0 +1,46 @@ + +floyd + + +class Solution { +public: + int findTheCity(int n, vector>& edges, int distanceThreshold) { + vector> grid(n, vector(n, 10005)); // 因为边的最大距离是10^4 + + // 节点到自己的距离为0 + for (int i = 0; i < n; i++) grid[i][i] = 0; + // 构造邻接矩阵 + for (const vector& e : edges) { + int from = e[0]; + int to = e[1]; + int val = e[2]; + grid[from][to] = val; + grid[to][from] = val; // 注意这里是双向图 + } + + // 开始 floyd + // 思考 为什么 p 要放在最外面一层 + for (int p = 0; p < n; p++) { + for (int i = 0; i < n; i++) { + for (int j = 0; j < n; j++) { + grid[i][j] = min(grid[i][j], grid[i][p] + grid[p][j]); + } + } + } + + int result = 0; + int count = n + 10; // 记录所有城市在范围内连接的最小城市数量 + for (int i = 0; i < n; i++) { + int curCount = 0; // 统计一个城市在范围内可以连接几个城市 + for (int j = 0; j < n; j++) { + if (i != j && grid[i][j] <= distanceThreshold) curCount++; + // cout << "i:" << i << ", j:" << j << ", val: " << grid[i][j] << endl; + } + if (curCount <= count) { // 注意这里是 <= + count = curCount; + result = i; + } + } + return result; + } +}; diff --git a/problems/kama94.城市间货物运输I.md b/problems/kama94.城市间货物运输I.md new file mode 100644 index 00000000..836ac345 --- /dev/null +++ b/problems/kama94.城市间货物运输I.md @@ -0,0 +1,371 @@ + +# 94. 城市间货物运输 I + +[题目链接](https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1152) + +题目描述 + +某国为促进城市间经济交流，决定对货物运输提供补贴。共有 n 个编号为 1 到 n 的城市，通过道路网络连接，网络中的道路仅允许从某个城市单向通行到另一个城市，不能反向通行。 + + +网络中的道路都有各自的运输成本和政府补贴，道路的权值计算方式为：运输成本 - 政府补贴。权值为正表示扣除了政府补贴后运输货物仍需支付的费用；权值为负则表示政府的补贴超过了支出的运输成本，实际表现为运输过程中还能赚取一定的收益。 + + +请找出从城市 1 到城市 n 的所有可能路径中，综合政府补贴后的最低运输成本。如果最低运输成本是一个负数，它表示在遵循最优路径的情况下，运输过程中反而能够实现盈利。 + + +城市 1 到城市 n 之间可能会出现没有路径的情况，同时保证道路网络中不存在任何负权回路。 + +输入描述 + +第一行包含两个正整数，第一个正整数 n 表示该国一共有 n 个城市，第二个整数 m 表示这些城市中共有 m 条道路。 + +接下来为 m 行，每行包括三个整数，s、t 和 v，表示 s 号城市运输货物到达 t 号城市，道路权值为 v（单向图）。 + +输出描述 + +如果能够从城市 1 到连通到城市 n， 请输出一个整数，表示运输成本。如果该整数是负数，则表示实现了盈利。如果从城市 1 没有路径可达城市 n，请输出 "unconnected"。 + +输入示例： + +``` +6 7 +5 6 -2 +1 2 1 +5 3 1 +2 5 2 +2 4 -3 +4 6 4 +1 3 5 +``` + +## 思路 + +本题依然是最短路问题，求 从 节点1 到节点n 的最小费用。 但本题不同之处在于 边的权值是有负数的。 + +从 节点1 到节点n 的最小费用也可以是负数，费用如果是负数 则表示 运输的过程中 政府补贴大于运输成本。 + +在求单源最短路的方法中，使用dijkstra 的话，则要求图中边的权值都为正数。 + +我们在 [kama47.参会dijkstra朴素](./kama47.参会dijkstra朴素.md) 中专门有讲解，为什么有边为负数 使用dijkstra就不行了。 + +本题是经典的带负权值的单源最短路问题，此时就轮到Bellman_ford登场了，接下来我们来详细介绍Bellman_ford 算法 如何解决这类问题。 + +> 该算法是由 R.Bellman 和L.Ford 在20世纪50年代末期发明的算法，故称为Bellman_ford算法。 + +**Bellman_ford算法的核心思想是 对所有边进行松弛n-1次操作（n为节点数量），从而求得目标最短路**。 + + +看到这里，估计大家都比较晕了，为什么是 n-1 次，那“松弛”这两个字究竟是个啥意思？ + +我们先来说什么是 “松弛”。 + +《算法四》里面把这个操作叫做 “放松”， 英文版里叫做 “relax the edge” + +所以大家翻译过来，就是 “放松” 或者 “松弛” 。 + +但《算法四》没有具体去讲这个 “放松” 究竟是个啥？ 网上的题解也没有讲题解里的 “松弛这条边，松弛所有边”等等 里面的 “松弛” 究竟是什么意思？ + +这里我给大家举一个例子，每条边有起点、终点和边的权值。例如一条边，节点A 到 节点B 权值为value，如图： + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240327102620.png) + +minDist[B] 表示 到达B节点 最小权值，minDist[B] 有哪些状态可以推出来？ + +状态一： minDist[A] + value 可以推出 minDist[B] +状态二： minDist[B]本身就有权值 （可能是其他边链接的节点B 例如节点C，以至于 dp[B]记录了其他边到dp[B]的权值） + +那么minDist[B] 应为如何取舍。 + +本题我们要求最小权值，那么 这两个状态我们就取最小的 + +``` +if (minDist[B] > minDist[A] + value) minDist[B] = minDist[A] + value + +``` + +也就是说，如果 通过 A 到 B 这条边可以获得更短的到达B节点的路径，即如果 `minDist[B] > minDist[A] + value`，那么我们就更新 `minDist[B] = minDist[A] + value` ，**这个过程就叫做 “松弛**” 。 + +以上讲了这么多，其实都是围绕以下这句代码展开： + +``` +if (minDist[B] > minDist[A] + value) minDist[B] = minDist[A] + value + +``` + +**这句代码就是 Bellman_ford算法的核心操作**。 + +以上代码也可以这么写：`minDist[B] = min(minDist[A] + value, minDist[B]) ` + +如果大家看过代码随想录的动态规划章节，会发现 无论是背包问题还是子序列问题，这段代码（递推公式）出现频率非常高的。 + +其实 Bellman_ford算法 也是采用了动态规划的思想，即：将一个问题分解成多个决策阶段，通过状态之间的递归关系最后计算出全局最优解。 + +（如果理解不了动态规划的思想也无所谓，理解我上面讲的松弛操作就好） + +**那么为什么是 n - 1次 松弛呢**？ + +这里要给大家模拟一遍 Bellman_ford 的算法才行，接下来我们来看看对所有边松弛 n -1 次的操作是什么样的。 + +我们依然使用**minDist数组来表达 起点到各个节点的最短距离**，例如minDist[3] = 5 表示起点到达节点3 的最小距离为5 + +### 模拟过程 + +初始化过程。 + +起点为节点1， 起点到起点的距离为0，所以 minDist[1] 初始化为0 + +如图： + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240328104119.png) + +其他节点对应的minDist初始化为max，因为我们要求最小距离，那么还没有计算过的节点 默认是一个最大数，这样才能更新最小距离。 + + +对所有边 进行第一次松弛： （什么是松弛，在上面我已经详细讲过） + +以示例给出的所有边为例： + +``` +5 6 -2 +1 2 1 +5 3 1 +2 5 2 +2 4 -3 +4 6 4 +1 3 5 +``` + +接下来我们来松弛一遍所有的边。 + +边：节点5 -> 节点6，权值为-2 ，minDist[5] 还是默认数值max，所以不能基于 节点5 去更新节点6，如图： + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240329113537.png) + +（在复习一下，minDist[5] 表示起点到节点5的最短距离） + + +边：节点1 -> 节点2，权值为1 ，minDist[2] > minDist[1] + 1 ，更新 minDist[2] = minDist[1] + 1 = 0 + 1 = 1 ，如图： + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240329113703.png) + +边：节点5 -> 节点3，权值为1 ，minDist[5] 还是默认数值max，所以不能基于节点5去更新节点3 如图： + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240329113827.png) + + +边：节点2 -> 节点5，权值为2 ，minDist[5] > minDist[2] + 2 （经过上面的计算minDist[2]已经不是默认值，而是 1），更新 minDist[5] = minDist[2] + 2 = 1 + 2 = 3 ，如图： + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240329113927.png) + + +边：节点2 -> 节点4，权值为-3 ，minDist[4] > minDist[2] + 2，更新 minDist[4] = minDist[2] + (-3) = 1 + (-3) = -2 ，如图： + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240329114036.png) + +边：节点4 -> 节点6，权值为4 ，minDist[6] > minDist[4] + 4，更新 minDist[6] = minDist[4] + 4 = -2 + 4 = 2 + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240329114120.png) + +边：节点1 -> 节点3，权值为5 ，minDist[3] > minDist[1] + 5，更新 minDist[3] = minDist[1] + 5 = 0 + 5 = 5 ，如图： + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240329114324.png) + +-------- + +以上是对所有边进行一次松弛之后的结果。 + +那么需要对所有边松弛几次才能得到 起点（节点1） 到终点（节点6）的最短距离呢？ + +**对所有边松弛一次，相当于计算 起点到达 与起点一条边相连的节点 的最短距离**。 + +上面的距离中，我们得到里 起点达到 与起点一条边相邻的节点2 和 节点3 的最短距离，分别是 minDist[2] 和 minDist[3] + +这里有录友疑惑了 minDist[3] = 5，分明不是 起点到达 节点3 的最短距离，节点1 -> 节点2 -> 节点5 -> 节点3 这条路线 距离才是4。 + +注意我上面讲的是 **对所有边松弛一次，相当于计算 起点到达 与起点一条边相连的节点 的最短距离**，这里 说的是 一条边相连的节点。 + +与起点（节点1）一条边相邻的节点，到达节点2 最短距离是 1，到达节点3 最短距离是5。 + +而 节点1 -> 节点2 -> 节点5 -> 节点3 这条路线 是 与起点 三条边相连的路线了。 + +所以对所有边松弛一次 能得到 与起点 一条边相连的节点最短距离。 + +那对所有边松弛两次 可以得到与起点 两条边相连的节点的最短距离。 + +那对所有边松弛三次 可以得到与起点 三条边相连的节点的最短距离，这个时候，我们就能得到到达节点3真正的最短距离，也就是 节点1 -> 节点2 -> 节点5 -> 节点3 这条路线。 + +那么再回归刚刚的问题，**需要对所有边松弛几次才能得到 起点（节点1） 到终点（节点6）的最短距离呢**？ + +节点数量为n，那么起点到终点，最多是 n-1 条边相连。 + +那么无论图是什么样的，边是什么样的顺序，我们对所有边松弛 n-1 次 就一定能得到 起点到达 终点的最短距离。 + +其实也同时计算出了，起点 到达 所有节点的最短距离，因为所有节点与起点连接的变数最多也就是 n-1条边。 + +截止到这里，Bellman_ford 的核心算法思路，大家就了解的差不多了。 + +共有两个关键点。 + +* “松弛”究竟是个啥 +* 为什么要对所有边松弛 n - 1 次 （n为节点个数） + +那么Bellman_ford的解题解题过程其实就是对所有边松弛 n-1 次，然后得出得到终点的最短路径。 + + + +### 代码 + +理解上面讲解的内容，代码就更容易写了，本题代码如下：（详细注释） + +```CPP +#include +#include +#include +#include +using namespace std; + +int main() { + int n, m, p1, p2, val; + cin >> n >> m; + + vector> grid; + + // 将所有边保存起来 + for(int i = 0; i < m; i++){ + cin >> p1 >> p2 >> val; + // p1 指向 p2，权值为 val + grid.push_back({p1, p2, val}); + + } + int start = 1; // 起点 + int end = n; // 终点 + + vector minDist(n + 1 , INT_MAX); + minDist[start] = 0; + for (int i = 1; i < n; i++) { // 对所有边 松弛 n-1 次 + for (vector &side : grid) { // 每一次松弛，都是对所有边进行松弛 + int from = side[0]; // 边的出发点 + int to = side[1]; // 边的到达点 + int price = side[2]; // 边的权值 + // 松弛操作 + // minDist[from] != INT_MAX 防止从未计算过的节点出发 + if (minDist[from] != INT_MAX && minDist[to] > minDist[from] + price) { + minDist[to] = minDist[from] + price; + } + } + } + if (minDist[end] == INT_MAX) cout << "unconnected" << endl; // 不能到达终点 + else cout << minDist[end] << endl; // 到达终点最短路径 + +} +``` + +### 拓展 + +有录友可能会想，那我 松弛 n 次，松弛 n + 1次，松弛 2 * n 次会怎么样？ + +其实没啥影响，结果不会变的，因为 题目中说了 “同时保证道路网络中不存在任何负权回路” 也就是图中没有 负权回路（在有向图中出现有向环 且环的总权值为负数）。 + +那么我们只要松弛 n - 1次 就一定能得到结果，没必要在松弛更多次了。 + +这里有疑惑的录友，可以加上打印 minDist数组 的日志，尝试一下，看看松弛 n 次会怎么样。 +你会发现 松弛 大于 n - 1次，minDist数组 就不会变化了。 + +这里我给出打印日志的代码： + +```CPP +#include +#include +#include +#include +using namespace std; + +int main() { + int n, m, p1, p2, val; + cin >> n >> m; + + vector> grid; + + // 将所有边保存起来 + for(int i = 0; i < m; i++){ + cin >> p1 >> p2 >> val; + // p1 指向 p2，权值为 val + grid.push_back({p1, p2, val}); + + } + int start = 1; // 起点 + int end = n; // 终点 + + vector minDist(n + 1 , INT_MAX); + minDist[start] = 0; + for (int i = 1; i < n; i++) { // 对所有边 松弛 n-1 次 + for (vector &side : grid) { // 每一次松弛，都是对所有边进行松弛 + int from = side[0]; // 边的出发点 + int to = side[1]; // 边的到达点 + int price = side[2]; // 边的权值 + // 松弛操作 + // minDist[from] != INT_MAX 防止从未计算过的节点出发 + if (minDist[from] != INT_MAX && minDist[to] > minDist[from] + price) { + minDist[to] = minDist[from] + price; + } + } + cout << "对所有边松弛 " << i << "次" << endl; + for (int k = 1; k <= n; k++) { + cout << minDist[k] << " "; + } + cout << endl; + } + if (minDist[end] == INT_MAX) cout << "unconnected" << endl; // 不能到达终点 + else cout << minDist[end] << endl; // 到达终点最短路径 + +} + +``` + +通过打日志，大家发现，怎么对所有边进行第二次松弛以后结果就 不再变化了，那根本就不用松弛 n - 1啊？ + +这是本题的样例的特殊性， 松弛 n-1次 是保证对任何图 都能最后求得到终点的最小距离。 + +如果还想不明白 我再举一个例子，用以下测试用例再跑一下。 + + +``` +6 5 +5 6 1 +4 5 1 +3 4 1 +2 3 1 +1 2 1 +``` + +打印结果： + +``` +对所有边松弛 1次 +0 1 2147483647 2147483647 2147483647 2147483647 +对所有边松弛 2次 +0 1 2 2147483647 2147483647 2147483647 +对所有边松弛 3次 +0 1 2 3 2147483647 2147483647 +对所有边松弛 4次 +0 1 2 3 4 2147483647 +对所有边松弛 5次 +0 1 2 3 4 5 +``` + +你会发现到 n-1 次 打印出最后的最短路结果。 + +关于上面的讲解，大家已经要多写代码去实验，验证自己的想法。 + +至于 负权回路 ，我在下一篇会专门讲解这种情况，大家有个印象就好。 + + +## 总结 + +Bellman_ford 是可以计算 负权值的单源最短路算法。 + +其算法核心思路是对 所有边进行 n-1 次 松弛。 + +弄清楚 什么是 松弛？ 为什么要 n-1 次？ 对理解Bellman_ford 非常重要。 + diff --git a/problems/kama95.城市间货物运输II.md b/problems/kama95.城市间货物运输II.md new file mode 100644 index 00000000..7a76d361 --- /dev/null +++ b/problems/kama95.城市间货物运输II.md @@ -0,0 +1,150 @@ + +# 95. 城市间货物运输 II + +[题目链接](https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1153) + +【题目描述】 + +某国为促进城市间经济交流，决定对货物运输提供补贴。共有 n 个编号为 1 到 n 的城市，通过道路网络连接，网络中的道路仅允许从某个城市单向通行到另一个城市，不能反向通行。 + +网络中的道路都有各自的运输成本和政府补贴，道路的权值计算方式为：运输成本 - 政府补贴。权值为正表示扣除了政府补贴后运输货物仍需支付的费用； + +权值为负则表示政府的补贴超过了支出的运输成本，实际表现为运输过程中还能赚取一定的收益。 + +然而，在评估从城市 1 到城市 n 的所有可能路径中综合政府补贴后的最低运输成本时，存在一种情况：图中可能出现负权回路。 + +负权回路是指一系列道路的总权值为负，这样的回路使得通过反复经过回路中的道路，理论上可以无限地减少总成本或无限地增加总收益。 + +为了避免货物运输商采用负权回路这种情况无限的赚取政府补贴，算法还需检测这种特殊情况。 + +请找出从城市 1 到城市 n 的所有可能路径中，综合政府补贴后的最低运输成本。同时能够检测并适当处理负权回路的存在。 + +城市 1 到城市 n 之间可能会出现没有路径的情况 + +【输入描述】 + +第一行包含两个正整数，第一个正整数 n 表示该国一共有 n 个城市，第二个整数 m 表示这些城市中共有 m 条道路。 + +接下来为 m 行，每行包括三个整数，s、t 和 v，表示 s 号城市运输货物到达 t 号城市，道路权值为 v。 + +【输出描述】 + +如果没有发现负权回路，则输出一个整数，表示从城市 1 到城市 n 的最低运输成本（包括政府补贴）。 + +如果该整数是负数，则表示实现了盈利。如果发现了负权回路的存在，则输出 "circle"。如果从城市 1 无法到达城市 n，则输出 "unconnected"。 + + +输入示例 + +``` +4 4 +1 2 -1 +2 3 1 +3 1 -1 +3 4 1 +``` + +输出示例 + +``` +circle +``` + +## 思路 + +本题是 [kama94.城市间货物运输I](./kama94.城市间货物运输I.md) 延伸题目。 + +本题是要我们判断 负权回路，也就是图中出现环且环上的边总权值为负数。 + +如果在这样的图中求最短路的话， 就会在这个环里无限循环 （也是负数+负数 只会越来越小），无法求出最短路径。 + +所以对于 在有负权值的图中求最短路，都需要先看看这个图里有没有负权回路。 + +接下来我们来看 如何使用 bellman_ford 算法来判断 负权回路。 + +在 [kama94.城市间货物运输I](./kama94.城市间货物运输I.md) 中 我们讲了 bellman_ford 算法的核心就是一句话：对 所有边 进行 n-1 次松弛。 同时文中的 【拓展】部分， 我们也讲了 松弛n次以上 会怎么样？ + +在没有负权回路的图中，松弛 n 次以上 ，结果不会有变化。 + +但本题有 负权回路，如果松弛 n 次，结果就会有变化了，因为 有负权回路 就是可以无限最短路径（一直绕圈，就可以一直得到无限小的最短距离）。 + +那么每松弛一次，都会更新最短路径，所以结果会一直有变化。 + +（如果对于 bellman_ford 不了解的录友，建议详细看这里：[kama94.城市间货物运输I](./kama94.城市间货物运输I.md)） + +以上为理论分析，接下来我们再画图举例。 + +我们拿题目中示例来画一个图： + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240402103135.png) + +图中 节点1 到 节点4 的最短路径是多少（题目中的最低运输成本） （注意边可以为负数的） + +节点1 -> 节点2 -> 节点3 -> 节点4，这样的路径总成本为 -1 + 1 + 1 = 1 + +而图中有负权回路： + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240402103712.png) + +那么我们在负权回路中多绕一圈，我们的最短路径 是不是就更小了 （也就是更低的运输成本） + +节点1 -> 节点2 -> 节点3 -> 节点1 -> 节点2 -> 节点3 -> 节点4，这样的路径总成本 (-1) + 1 + (-1) + (-1) + 1 + (-1) + 1 = -1 + +如果在负权回路多绕两圈，三圈，无穷圈，那么我们的总成本就会无限小， 如果要求最小成本的话，你会发现本题就无解了。 + +在 bellman_ford 算法中，松弛 n-1 次所有的边 就可以求得 起点到任何节点的最短路径，松弛 n 次以上，minDist数组（记录起到到其他节点的最短距离）中的结果也不会有改变 （如果对 bellman_ford 算法 不了解，也不知道 minDist 是什么，建议详看上篇讲解[kama94.城市间货物运输I](./kama94.城市间货物运输I.md)） + +而本题有负权回路的情况下，一直都会有更短的最短路，所以 松弛 第n次，minDist数组 也会发生改变。 + +那么解决本题的 核心思路，就是在 [kama94.城市间货物运输I](./kama94.城市间货物运输I.md) 的基础上，再多松弛一次，看minDist数组 是否发生变化。 + +代码和 [kama94.城市间货物运输I](./kama94.城市间货物运输I.md) 基本是一样的，如下：（关键地方已注释） + +```CPP +#include +#include +#include +#include +using namespace std; + +int main() { + int n, m, p1, p2, val; + cin >> n >> m; + + vector> grid; + + for(int i = 0; i < m; i++){ + cin >> p1 >> p2 >> val; + // p1 指向 p2，权值为 val + grid.push_back({p1, p2, val}); + + } + int start = 1; // 起点 + int end = n; // 终点 + + vector minDist(n + 1 , INT_MAX); + minDist[start] = 0; + bool flag = false; + for (int i = 1; i <= n; i++) { // 这里我们松弛n次，最后一次判断负权回路 + for (vector &side : grid) { + int from = side[0]; + int to = side[1]; + int price = side[2]; + if (i < n) { + if (minDist[from] != INT_MAX && minDist[to] > minDist[from] + price) minDist[to] = minDist[from] + price; + } else { // 多加一次松弛判断负权回路 + if (minDist[from] != INT_MAX && minDist[to] > minDist[from] + price) flag = true; + + } + } + + } + + if (flag) cout << "circle" << endl; + else if (minDist[end] == INT_MAX) { + cout << "unconnected" << endl; + } else { + cout << minDist[end] << endl; + } +} +``` diff --git a/problems/kama96.城市间货物运输III.md b/problems/kama96.城市间货物运输III.md new file mode 100644 index 00000000..1fdba49a --- /dev/null +++ b/problems/kama96.城市间货物运输III.md @@ -0,0 +1,125 @@ + +# 96. 城市间货物运输 III + +[题目链接](https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1154) + +【题目描述】 + +某国为促进城市间经济交流，决定对货物运输提供补贴。共有 n 个编号为 1 到 n 的城市，通过道路网络连接，网络中的道路仅允许从某个城市单向通行到另一个城市，不能反向通行。 + +网络中的道路都有各自的运输成本和政府补贴，道路的权值计算方式为：运输成本 - 政府补贴。 + +权值为正表示扣除了政府补贴后运输货物仍需支付的费用； + +权值为负则表示政府的补贴超过了支出的运输成本，实际表现为运输过程中还能赚取一定的收益。 + +请计算在最多经过 k 个城市的条件下，从城市 src 到城市 dst 的最低运输成本。 + +【输入描述】 + +第一行包含两个正整数，第一个正整数 n 表示该国一共有 n 个城市，第二个整数 m 表示这些城市中共有 m 条道路。 + +接下来为 m 行，每行包括三个整数，s、t 和 v，表示 s 号城市运输货物到达 t 号城市，道路权值为 v。 + +最后一行包含三个正整数，src、dst、和 k，src 和 dst 为城市编号，从 src 到 dst 经过的城市数量限制。 + +【输出描述】 + +输出一个整数，表示从城市 src 到城市 dst 的最低运输成本，如果无法在给定经过城市数量限制下找到从 src 到 dst 的路径，则输出 "unreachable"，表示不存在符合条件的运输方案。 + +输入示例： + +``` +6 7 +1 2 1 +2 4 -3 +2 5 2 +1 3 5 +3 5 1 +4 6 4 +5 6 -2 +2 6 1 +``` + +输出示例： + +``` +0 +``` + +## 思路 + +本题为单源有限最短路问题，同样是 [kama94.城市间货物运输I](./kama94.城市间货物运输I.md) 延伸题目。 + +在 [kama94.城市间货物运输I](./kama94.城市间货物运输I.md) 中我们讲了：**对所有边松弛一次，相当于计算 起点到达 与起点一条边相连的节点 的最短距离**。 + +节点数量为n，那么起点到终点，最多是 n-1 条边相连。 那么对所有边松弛 n-1 次 就一定能得到 起点到达 终点的最短距离。 + +（如果对以上讲解看不懂，建议详看 [kama94.城市间货物运输I](./kama94.城市间货物运输I.md) ） + +本题是最多经过 k 个城市， 那么是 k + 1条边相连的节点。 这里可能有录友想不懂为什么是k + 1，来看这个图： + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240402115614.png) + +图中，节点2 最多已经经过2个节点 到达节点4，那么中间是有多少条边呢，是 3 条边对吧。 + +所以本题就是求，起点最多经过k + 1 条边到达终点的最短距离。 + + +对所有边松弛一次，相当于计算 起点到达 与起点一条边相连的节点 的最短距离，那么对所有边松弛 k + 1次，就是求 起点到达 与起点k + 1条边相连的节点的 最短距离。 + +如果 终点数值没有被计算覆盖，那就是无法到达。 + +**注意**： 本题是 [kama94.城市间货物运输I](./kama94.城市间货物运输I.md) 的拓展题，如果对 bellman_ford 没有深入了解，强烈建议先看 [kama94.城市间货物运输I](./kama94.城市间货物运输I.md) 再做本题。 + +理解以上内容，其实本题代码就很容易了，bellman_ford 标准写法是松弛 n-1 次，本题就松弛 k + 1次就好。 + +如果大家理解后，建议先自己写写代码，提交一下看看，因为 这里还有一个坑，如果不自己去试试，体会就不够深刻了。 + + + +代码如下： （关键地方详细注释） + +```CPP +#include +#include +#include +#include +using namespace std; + +int main() { + int src, dst,k ,p1, p2, val ,m , n; + + cin >> n >> m; + + vector> grid; + + for(int i = 0; i < m; i++){ + cin >> p1 >> p2 >> val; + // p1 指向 p2，权值为 val + grid.push_back({p1, p2, val}); + } + + cin >> src >> dst >> k; + + vector minDist(n + 1 , INT_MAX); + minDist[src] = 0; + vector minDist_copy(n + 1); // 用来记录每一次遍历的结果 + for (int i = 1; i <= k + 1; i++) { + minDist_copy = minDist; // 获取上一次计算的结果 + for (vector &side : grid) { + int from = side[0]; + int to = side[1]; + int price = side[2]; + //cout << f[0] << " " << f[1] << " " << f[2] << endl; + if (minDist_copy[from] != INT_MAX && minDist[to] > minDist_copy[from] + price) minDist[to] = minDist_copy[from] + price; + } + + } + + if (minDist[dst] == INT_MAX) cout << "unreachable" << endl; // 不能到达终点 + else cout << minDist[dst] << endl; // 到达终点最短路径 + +} + +``` diff --git a/problems/前序/程序员简历.md b/problems/前序/程序员简历.md index fc06c713..7fbfa1fd 100644 --- a/problems/前序/程序员简历.md +++ b/problems/前序/程序员简历.md @@ -99,7 +99,7 @@ Carl校招社招都拿过大厂的offer，同时也看过很多应聘者的简 面试只有短短的30分钟或者一个小时，如何把自己掌握的技术更好的展现给面试官呢，博客、github都是很好的选择，如果把这些放在简历上，面试官一定会看的，这都是加分项。 -## 简历模板 +## 领取方式 最后福利，把我的简历模板贡献出来！如下图所示。 @@ -107,7 +107,11 @@ Carl校招社招都拿过大厂的offer，同时也看过很多应聘者的简 这里是简历模板中Markdown的代码：[https://github.com/youngyangyang04/Markdown-Resume-Template](https://github.com/youngyangyang04/Markdown-Resume-Template) ，可以fork到自己Github仓库上，按照这个模板来修改自己的简历。 -**Word版本的简历，大家可以在公众号「代码随想录」后台回复：简历模板，就可以获取！** +**Word版本的简历，添加如下企业微信，通过之后就会发你word版本**。 + +
+ +如果已经有我的企业微信，直接回复：简历模板，就可以了。 ## 总结