From abb9cfd5be04acf55f41f0438abe43b587354b3e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: liyao <->
Date: Sat, 14 Aug 2021 16:24:20 +0100
Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E6=9B=B4=E6=AD=A3=20=E6=9C=80=E9=95=BF?=
 =?UTF-8?q?=E9=80=92=E5=A2=9E=E5=AD=90=E5=BA=8F=E5=88=97=20=E7=AE=97?=
 =?UTF-8?q?=E6=B3=95=E5=A4=8D=E6=9D=82=E5=BA=A6=EF=BC=8C=E6=B7=BB=E5=8A=A0?=
 =?UTF-8?q?O(nlogn)=E6=97=B6=E9=97=B4=E5=A4=8D=E6=9D=82=E5=BA=A6=E7=AE=97?=
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MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

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 problems/0300.最长上升子序列.md | 124 ++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 122 insertions(+), 2 deletions(-)

diff --git a/problems/0300.最长上升子序列.md b/problems/0300.最长上升子序列.md
index 57edd13e..1161e158 100644
--- a/problems/0300.最长上升子序列.md
+++ b/problems/0300.最长上升子序列.md
@@ -33,7 +33,7 @@
 * 1 <= nums.length <= 2500
 * -10^4 <= nums[i] <= 104
 
-
+## 方法一  动态规划
 ## 思路
 
 最长上升子序列是动规的经典题目，这里dp[i]是可以根据dp[j] （j < i）推导出来的，那么依然用动规五部曲来分析详细一波：
@@ -190,10 +190,130 @@ const lengthOfLIS = (nums) => {
 };
 ```
 *复杂度分析*
-- 时间复杂度：O(nlogn)。数组 nums 的长度为 n，我们依次用数组中的元素去更新 dp 数组，相当于插入最后递增的元素，而更新 dp 数组时需要进行 O(logn) 的二分搜索，所以总时间复杂度为 O(nlogn)。
+- 时间复杂度：O(n^2)。数组 nums 的长度为 n，我们依次用数组中的元素去遍历 dp 数组，而遍历 dp 数组时需要进行 O(n) 次搜索，所以总时间复杂度为 O(n^2)。
 - 空间复杂度：O(n)，需要额外使用长度为 n 的 dp 数组。
 
 
+## 方法二 贪心策略+二分搜索
+
+使用贪心策略和二分搜索可以进一步将算法时间复杂度将为O(nlogn)。
+
+## 思路
+
+为了使得到的子序列尽可能长，我们需要使序列上升得尽可能慢。
+
+对于长度为n的数组 nums，我们从0到n-1依次遍历数组中的每个元素nums[i],更新在0到i范围内最长上升子序列的长度len，以及 在0到i范围内，上升子序列的长度为1到len时，对应长度子序列最右端的最小值，将结果保存在list中。实际编码过程中，list长度即为len。
+
+## 可行性
+当我们遍历完数组nums中第n-1个元素时，list中保存的是0到n-1范围内最长上升子序列的长度，即为所求。
+
+## 算法复杂度分析
+1. list中的元素是单调递增的。可以用反证法来证明：假设对于0<=i<j<len，有list[i]>=list[j]，那么我们可以在list[j]对应的子序列中删除最后j-i个元素得到长度与list[i]相同的子序列，其最右端的值max<list[j]<=list[i],与list的定义矛盾。
+
+2. 假设我们已经得到0到i-1范围内对应的list,我们可以在O(logn)的时间复杂度内更新list,得到0到i范围内的list。
+
+  1. if(nums[i]>list[len-1],此时，list中子序列长度为1到len的对应的最右端最小值不变，并新增长度为len+1的子序列，最右端的最小值为nums[i],时间复杂度O(1);
+
+  2. if(nums[i]<=list[len-1])，此时，我们可以在0到len-1范围内找到k,list[k]为>=nums[i]的最小值,由于list单调递增，所以我们可以使用二分搜索在O(logn)的时间复杂度内找到k。
+    1. 对于0<=j<k,list[j]<nums[i]恒成立，对应list[j]的值不需要更新。
+    2. 对于list[k]，其值更新为nums[i],因为原本list[k]对应的子序列的倒数第二项的值可以=list[k-1]<nums[i]。
+    3. 对于k<j<=len-1,对应的list[j]不需要更新。因为这些list[j]对应的子序列的倒数第二项的值>nums[i];
+
+3. 综上，算法时间复杂度为O(nlogn),空间复杂度为O(n),需要O(n)的空间保存list。
+
+代码如下
+
+Java
+```java
+class Solution {
+    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
+        int n = nums.length;
+        if(n==0){return 0;}
+
+        List<Integer> list=new ArrayList<>();
+        list.add(nums[0]);
+        for (int i = 1; i < n; ++i) {
+            if (nums[i] > list.get(list.size()-1)) {
+                list.add(nums[i]);
+            } else {
+                int k=binarySearch(list,nums[i]);
+                list.set(k,nums[i]);
+            }
+        }
+        return list.size();
+    }
+
+    int binarySearch(List<Integer>list, int num){
+      int len=list.size();
+      int l=0,r=len-1,ans=len-1;
+      while(l<=r){
+        int mid=l+(r-l)/2;
+        if(list.get(mid)<num){
+          l=mid+1;
+        }else{
+          r=mid-1;
+          ans=mid;          
+        }
+      }
+      return ans;
+    }
+}
+```
+
+实际运行过程中，list的长度不会超过n，所以我们可以用数组来模拟list，代码如下。
+
+
+Java
+```java
+class Solution {
+    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
+        int n = nums.length;
+        if(n==0){return 0;}
+
+        //初始化list，len记录list长度
+        int[] list=new int[n];
+        int len=0;
+
+        //添加元素到list并更新len的值
+        list[len++]=nums[0];
+
+        for (int i = 1; i < n; ++i) {
+            if (nums[i] > list[len-1]) {
+                list[len++]=nums[i];
+            } else {
+                int k=binarySearch(list,len,nums[i]);
+                list[k]=nums[i];
+            }
+        }
+        return len;
+    }
+
+    int binarySearch(int[] list,int len, int num){
+
+      int l=0,r=len-1,ans=len-1;
+      while(l<=r){
+        int mid=l+(r-l)/2;
+        if(list[mid]<num){
+          l=mid+1;
+        }else{
+          r=mid-1;
+          ans=mid;          
+        }
+      }
+      return ans;
+    }
+}
+```
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 * 作者微信：[程序员Carl](https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw)
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