diff --git a/pics/39.组合总和.png b/pics/39.组合总和.png index 29db134f..e7140ac2 100644 Binary files a/pics/39.组合总和.png and b/pics/39.组合总和.png differ diff --git a/pics/39.组合总和1.png b/pics/39.组合总和1.png new file mode 100644 index 00000000..f4a2464b Binary files /dev/null and b/pics/39.组合总和1.png differ diff --git a/problems/0039.组合总和.md b/problems/0039.组合总和.md index db303fc5..6d3efa8c 100644 --- a/problems/0039.组合总和.md +++ b/problems/0039.组合总和.md @@ -1,75 +1,175 @@ + +> 看懂很容易，彻底掌握需要下功夫 + # 第39题. 组合总和 +题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum/ + 给定一个无重复元素的数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。 candidates 中的数字可以无限制重复被选取。 -**说明：** +说明： -所有数字（包括 target）都是正整数。 -解集不能包含重复的组合。  +* 所有数字（包括 target）都是正整数。 +* 解集不能包含重复的组合。  -示例 1： +示例 1： +输入：candidates = [2,3,6,7], target = 7, +所求解集为： +[ + [7], + [2,2,3] +] -输入：candidates = [2,3,6,7], target = 7, -所求解集为： -[ - [7], - [2,2,3] -] - -示例 2： - -输入：candidates = [2,3,5], target = 8, -所求解集为： -[ -  [2,2,2,2], -  [2,3,3], -  [3,5] -] +示例 2： +输入：candidates = [2,3,5], target = 8, +所求解集为： +[ +  [2,2,2,2], +  [2,3,3], +  [3,5] +] # 思路 题目中的**无限制重复被选取，吓得我赶紧想想 出现0 可咋办**，然后看到下面提示：1 <= candidates[i] <= 200，我就放心了。 +本题和[回溯算法：求组合问题！](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ)，[回溯算法：求组合总和！](https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w)和区别是：本题没有数量要求，可以无限重复，但是有总和的限制，所以间接的也是有个数的限制。 -这道题上来可以这么想，看看一个数能不能构成target，一个for循环遍历一遍，再看看两个数能不能构成target，两个for循环遍历，在看看三个数能不能构成target，三个for循环遍历，直到candidates.size()个for循环遍历一遍。 - -遇到这种问题，就要想到递归的层级嵌套关系就可以解决这种多层for循环的问题，而回溯则帮我们选择每一个合适的集合！ - -那么使用回溯的时候，要知道求的是排列，还是组合，排列和组合是不一样的。 - -一些同学可能海分不清，我大概说一下： - -**组合是不强调元素顺序的，排列是强调元素顺序的。** - -例如 集合 1，2 和 集合 2，1 在组合上，就是一个集合，因为不强调顺序，而要是排列的话，1，2 和 2，1 就是两个集合了。 - -**求组合，和求排列的回溯写法是不一样的，代码上有小小细节上的改变。** - -本题选组过程如下： +本题搜索的过程抽象成树形结构如下： +注意图中叶子节点的返回条件，因为本题没有组合数量要求，仅仅是总和的限制，所以递归没有层数的限制，只要选取的元素总和超过target，就返回！ + +而在[回溯算法：求组合问题！](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ)和[回溯算法：求组合总和！](https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w) 中都可以知道要递归K层，因为要取k个元素的组合。 + +## 回溯三部曲 + +* 递归函数参数 + +这里依然是定义两个全局变量，二维数组result存放结果集，数组path存放符合条件的结果。（这两个变量可以作为函数参数传入） + +首先是题目中给出的参数，集合candidates, 和目标值target。 + +此外我还定义了int型的sum变量来统计单一结果path里的总和，其实这个sum也可以不用，用target做相应的减法就可以了，最后如何target==0就说明找到符合的结果了，但为了代码逻辑清晰，我依然用了sum。 + +**本题还需要startIndex来控制for循环的起始位置，对于组合问题，什么时候需要startIndex呢？** + +我举过例子，如果是一个集合来求组合的话，就需要startIndex，例如：[回溯算法：求组合问题！](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ)，[回溯算法：求组合总和！](https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w)。 + +如果是多个集合取组合，各个集合之间相互不影响，那么就不用startIndex，例如：[回溯算法：电话号码的字母组合](https://mp.weixin.qq.com/s/e2ua2cmkE_vpYjM3j6HY0A) + +**注意以上我只是说求组合的情况，如果是排列问题，又是另一套分析的套路，后面我再讲解排列的时候就重点介绍**。 + +代码如下： -分析完过程，回溯算法的模板框架如下： ``` -backtracking() { - if (终止条件) { - 存放结果; - } +vector> result; +vector path; +void backtracking(vector& candidates, int target, int sum, int startIndex) +``` - for (选择：选择列表（可以想成树中节点孩子的数量）) { - 递归，处理节点; - backtracking(); - 回溯，撤销处理结果 - } +* 递归终止条件 + +在如下树形结构中： + + + +从叶子节点可以清晰看到，终止只有两种情况，sum大于target和sum等于target。 + +sum等于target的时候，需要收集结果，代码如下： + +``` +if (sum > target) { + return; +} +if (sum == target) { + result.push_back(path); + return; } ``` -按照模板不难写出如下代码，但很一些细节，我在注释中标记出来了。 +* 单层搜索的逻辑 -# C++代码 +单层for循环依然是从startIndex开始，搜索candidates集合。 + +**注意本题和[回溯算法：求组合问题！](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ)、[回溯算法：求组合总和！](https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w)的一个区别是：本题元素为可重复选取的**。 + +如何重复选取呢，看代码，注释部分： + +``` +for (int i = startIndex; i < candidates.size(); i++) { + sum += candidates[i]; + path.push_back(candidates[i]); + backtracking(candidates, target, sum, i); // 关键点:不用i+1了，表示可以重复读取当前的数 + sum -= candidates[i]; // 回溯 + path.pop_back(); // 回溯 +} +``` + +按照[关于回溯算法，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/gjSgJbNbd1eAA5WkA-HeWw)中给出的模板，不难写出如下C++完整代码： + +``` +// 版本一 +class Solution { +private: + vector> result; + vector path; + void backtracking(vector& candidates, int target, int sum, int startIndex) { + if (sum > target) { + return; + } + if (sum == target) { + result.push_back(path); + return; + } + + for (int i = startIndex; i < candidates.size(); i++) { + sum += candidates[i]; + path.push_back(candidates[i]); + backtracking(candidates, target, sum, i); // 不用i+1了，表示可以重复读取当前的数 + sum -= candidates[i]; + path.pop_back(); + } + } +public: + vector> combinationSum(vector& candidates, int target) { + result.clear(); + path.clear(); + backtracking(candidates, target, 0, 0); + return result; + } +}; +``` + +## 剪枝优化 + +在这个树形结构中： + + + +以及上面的版本一的代码大家可以看到，对于sum已经大于target的情况，其实是依然进入了下一层递归，只是下一层递归结束判断的时候，会判断sum > target的话就返回。 + +其实如果已经知道下一层的sum会大于target，就没有必要进入下一层递归了。 + +那么可以在for循环的搜索范围上做做文章了。 + +**对总集合排序之后，如果下一层的sum（就是本层的 sum + candidates[i]）已经大于target，就可以结束本轮for循环的遍历**。 + +如图： + + + + +for循环剪枝代码如下： + +``` +for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) +``` + +整体代码如下：（注意注释的部分） ``` class Solution { @@ -85,11 +185,11 @@ private: return; } - // 这里i 依然从 startIndex开始，因为求的是组合，如果求的是排列，那么i每次都从0开始 - for (int i = startIndex; i < candidates.size(); i++) { + // 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历 + for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) { sum += candidates[i]; path.push_back(candidates[i]); - backtracking(candidates, target, sum, i); // 关键点在这里，不用i+1了，表示可以重复读取当前的数 + backtracking(candidates, target, sum, i); sum -= candidates[i]; path.pop_back(); @@ -97,8 +197,31 @@ private: } public: vector> combinationSum(vector& candidates, int target) { + result.clear(); + path.clear(); + sort(candidates.begin(), candidates.end()); // 需要排序 backtracking(candidates, target, 0, 0); return result; } }; ``` + +# 总结 + +本题和我们之前讲过的[回溯算法：求组合问题！](https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ)、[回溯算法：求组合总和！](https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w)有两点不同： + +* 组合没有数量要求 +* 元素可无限重复选取 + +针对这两个问题，我都做了详细的分析。 + +并且给出了对于组合问题，什么时候用startIndex，什么时候不用，并用[回溯算法：电话号码的字母组合](https://mp.weixin.qq.com/s/e2ua2cmkE_vpYjM3j6HY0A)做了对比。 + +最后还给出了本题的剪枝优化，这个优化如果是初学者的话并不容易想到。 + +**在求和问题中，排序之后加剪枝是常见的套路！** + +可以看出我写的文章都会大量引用之前的文章，就是要不断作对比，分析其差异，然后给出代码解决的方法，这样才能彻底理解题目的本质与难点。 + +**就酱，如果感觉很给力，就帮Carl宣传一波吧，哈哈**。 +