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problems/0077.组合.md
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> 回溯法的第一道题目，就不简单呀！
# 第77题. 组合
题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/combinations/
给定两个整数 n 和 k，返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。
示例:
输入: n = 4, k = 2
输出:
[
[2,4],
[3,4],
[2,3],
[1,2],
[1,3],
[1,4],
]
也可以直接看我的B站视频：[带你学透回溯算法-组合问题（对应力扣题目：77.组合）](https://www.bilibili.com/video/BV1ti4y1L7cv#reply3733925949)
# 思路
本题这是回溯法的经典题目。
直接的解法当然是使用for循环，例如示例中k为2，很容易想到 用两个for循环，这样就可以输出 和示例中一样的结果。
代码如下：
```
int n = 4;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
cout << i << " " << j << endl;
}
}
```
输入：n = 100, k = 3
那么就三层for循环，代码如下：
```
int n = 100;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
for (int u = j + 1; u <= n; n++) {
cout << i << " " << j << " " << u << endl;
}
}
}
```
**如果n为100，k为50呢，那就50层for循环，是不是开始窒息**。
**此时就会发现虽然想暴力搜索，但是用for循环嵌套连暴力都写不出来！**
咋整？
回溯搜索法来了，虽然回溯法也是暴力，但至少能写出来，不像for循环嵌套k层让人绝望。
那么回溯法怎么暴力搜呢？
上面我们说了**要解决 n为100，k为50的情况，暴力写法需要嵌套50层for循环，那么回溯法就用递归来解决嵌套层数的问题**。
递归来做层叠嵌套（可以理解是开k层for循环），**每一次的递归中嵌套一个for循环，那么递归就可以用于解决多层嵌套循环的问题了**。
此时递归的层数大家应该知道了，例如：n为100，k为50的情况下，就是递归50层。
一些同学本来对递归就懵，回溯法中递归还要嵌套for循环，可能就直接晕倒了！
如果脑洞模拟回溯搜索的过程，绝对可以让人窒息，所以需要抽象图形结构来进一步理解。
**我们在[关于回溯算法，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/gjSgJbNbd1eAA5WkA-HeWw)中说道回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构（N叉树），用树形结构来理解回溯就容易多了**。
那么我把组合问题抽象为如下树形结构：
![77.组合](https://img-blog.csdnimg.cn/20201123195223940.png)
可以看出这个棵树，一开始集合是 1，2，3，4， 从左向右取数，取过的数，不在重复取。
第一次取1，集合变为2，3，4 ，因为k为2，我们只需要再取一个数就可以了，分别取2，3，4，得到集合[1,2] [1,3] [1,4]，以此类推。
**每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围**。
**图中可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度**。
那么如何在这个树上遍历，然后收集到我们要的结果集呢？
**图中每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果**。
相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来，就可以求得 n个数中k个数的组合集合。
在[关于回溯算法，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/gjSgJbNbd1eAA5WkA-HeWw)中我们提到了回溯法三部曲，那么我们按照回溯法三部曲开始正式讲解代码了。
## 回溯法三部曲
* 递归函数的返回值以及参数
在这里要定义两个全局变量，一个用来存放符合条件单一结果，一个用来存放符合条件结果的集合。
代码如下：
```
vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
vector<int> path; // 用来存放符合条件结果
```
其实不定义这两个全局遍历也是可以的，把这两个变量放进递归函数的参数里，但函数里参数太多影响可读性，所以我定义全局变量了。
函数里一定有两个参数，既然是集合n里面取k的数，那么n和k是两个int型的参数。
然后还需要一个参数，为int型变量startIndex，这个参数用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。
为什么要有这个startIndex呢？
**每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围，就是要靠startIndex**。
从下图中红线部分可以看出，在集合[1,2,3,4]取1之后，下一层递归，就要在[2,3,4]中取数了，那么下一层递归如何知道从[2,3,4]中取数呢，靠的就是startIndex。
![77.组合2](https://img-blog.csdnimg.cn/20201123195328976.png)
所以需要startIndex来记录下一层递归，搜索的起始位置。
那么整体代码如下：
```
vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
vector<int> path; // 用来存放符合条件单一结果
void backtracking(int n, int k, int startIndex)
```
* 回溯函数终止条件
什么时候到达所谓的叶子节点了呢？
path这个数组的大小如果达到k，说明我们找到了一个子集大小为k的组合了，在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。
如图红色部分：
![77.组合3](https://img-blog.csdnimg.cn/20201123195407907.png)
此时用result二维数组，把path保存起来，并终止本层递归。
所以终止条件代码如下：
```
if (path.size() == k) {
result.push_back(path);
return;
}
```
* 单层搜索的过程
回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程，在如下图中，可以看出for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。
![77.组合1](https://img-blog.csdnimg.cn/20201123195242899.png)
如此我们才遍历完图中的这棵树。
for循环每次从startIndex开始遍历，然后用path保存取到的节点i。
代码如下：
```
for (int i = startIndex; i <= n; i++) { // 控制树的横向遍历
path.push_back(i); // 处理节点
backtracking(n, k, i + 1); // 递归：控制树的纵向遍历，注意下一层搜索要从i+1开始
path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
}
```
可以看出backtracking（递归函数）通过不断调用自己一直往深处遍历，总会遇到叶子节点，遇到了叶子节点就要返回。
backtracking的下面部分就是回溯的操作了，撤销本次处理的结果。
关键地方都讲完了，组合问题C++完整代码如下：
```
class Solution {
private:
vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
vector<int> path; // 用来存放符合条件结果
void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
if (path.size() == k) {
result.push_back(path);
return;
}
for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
path.push_back(i); // 处理节点
backtracking(n, k, i + 1); // 递归
path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
}
}
public:
vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
result.clear(); // 可以不写
path.clear(); // 可以不写
backtracking(n, k, 1);
return result;
}
};
```
还记得我们在[关于回溯算法，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/gjSgJbNbd1eAA5WkA-HeWw)中给出的回溯法模板么？
如下：
```
void backtracking(参数) {
if (终止条件) {
存放结果;
return;
}
for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
处理节点;
backtracking(路径，选择列表); // 递归
回溯，撤销处理结果
}
}
```
**对比一下本题的代码，是不是发现有点像！** 所以有了这个模板，就有解题的大体方向，不至于毫无头绪。
# 总结
组合问题是回溯法解决的经典问题，我们开始的时候给大家列举一个很形象的例子，就是n为100，k为50的话，直接想法就需要50层for循环。
从而引出了回溯法就是解决这种k层for循环嵌套的问题。
然后进一步把回溯法的搜索过程抽象为树形结构，可以直观的看出搜索的过程。
接着用回溯法三部曲，逐步分析了函数参数、终止条件和单层搜索的过程。
**本题其实是可以剪枝优化的，大家可以思考一下，具体如何剪枝我会在下一篇详细讲解，敬请期待！**
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**[本题剪枝操作文章链接](https://mp.weixin.qq.com/s/Ri7spcJMUmph4c6XjPWXQA)**
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