From 98264b444ccff7f1f3f10f9ffd253385a2e12b4c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: youngyangyang04 <826123027@qq.com>
Date: Sun, 4 Apr 2021 09:40:52 +0800
Subject: [PATCH] Update

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 .../背包理论基础01背包-二维DP.md    | 292 ++++++++++++++++++
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new file mode 100644
index 00000000..4a1243cd
--- /dev/null
+++ b/problems/背包理论基础01背包-二维DP.md
@@ -0,0 +1,292 @@
+# 背包问题理论基础
+
+> 通知：我已经将刷题指南全部整理到了Github ：https://github.com/youngyangyang04/leetcode-master，方便大家在电脑上阅读，这个仓库每天都会更新，大家快去给一个star支持一下吧！
+
+这周我们正式开始讲解背包问题！
+
+背包问题的经典资料当然是：背包九讲。在公众号「代码随想录」后台回复：背包九讲，就可以获得背包九讲的PDF。
+
+但说实话，背包九讲对于小白来说确实不太友好，看起来还是有点费劲的，而且都是伪代码理解起来也吃力。
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+对于面试的话，其实掌握01背包，和完全背包，就够用了，最多可以再来一个多重背包。
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+如果这几种背包，分不清，我这里画了一个图，如下：
+
+![416.分割等和子集1](https://img-blog.csdnimg.cn/20210117171307407.png)
+
+至于背包九讲其其他背包，面试几乎不会问，都是竞赛级别的了，leetcode上连多重背包的题目都没有，所以题库也告诉我们，01背包和完全背包就够用了。
+
+而完全背包又是也是01背包稍作变化而来，即：完全背包的物品数量是无限的。
+
+**所以背包问题的理论基础重中之重是01背包，一定要理解透！**
+
+leetcode上没有纯01背包的问题，都是01背包应用方面的题目，也就是需要转化为01背包问题。
+
+**所以我先通过纯01背包问题，把01背包原理讲清楚，后续再讲解leetcode题目的时候，重点就是讲解如何转化为01背包问题了**。
+
+之前可能有些录友已经可以熟练写出背包了，但只要把这个文章仔细看完，相信你会意外收获！
+
+## 01 背包
+
+有N件物品和一个最多能被重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。**每件物品只能用一次**，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
+
+![动态规划-背包问题](https://img-blog.csdnimg.cn/20210117175428387.jpg)
+
+这是标准的背包问题，以至于很多同学看了这个自然就会想到背包，甚至都不知道暴力的解法应该怎么解了。
+
+这样其实是没有从底向上去思考，而是习惯性想到了背包，那么暴力的解法应该是怎么样的呢？
+
+每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是O(2^n)，这里的n表示物品数量。
+
+**所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化！**
+
+在下面的讲解中，我举一个例子：
+
+背包最大重量为4。
+
+物品为：
+
+|       | 重量 | 价值 |
+| ---   | ---  | ---  |
+| 物品0 | 1    | 15   |
+| 物品1 | 3    | 20   |
+| 物品2 | 4    | 30   |
+
+问背包能背的物品最大价值是多少？
+
+以下讲解和图示中出现的数字都是以这个例子为例。
+
+## 二维dp数组01背包
+
+依然动规五部曲分析一波。
+
+1. 确定dp数组以及下标的含义
+
+对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即**dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少**。
+
+只看这个二维数组的定义，大家一定会有点懵，看下面这个图：
+
+![动态规划-背包问题1](https://img-blog.csdnimg.cn/20210110103003361.png)
+
+**要时刻记着这个dp数组的含义，下面的一些步骤都围绕这dp数组的含义进行的**，如果哪里看懵了，就来回顾一下i代表什么，j又代表什么。
+
+2. 确定递推公式
+
+再回顾一下dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
+
+那么可以有两个方向推出来dp[i][j]，
+
+* 由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]
+* 由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
+
+所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
+
+3. dp数组如何初始化
+
+**关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱**。
+
+首先从dp[i][j]的定义触发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：
+
+![动态规划-背包问题2](https://img-blog.csdnimg.cn/2021011010304192.png)
+
+在看其他情况。
+
+状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。
+
+dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。
+
+代码如下：
+
+```
+// 倒叙遍历
+for (int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--) {
+    dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0]; // 初始化i为0时候的情况
+}
+```
+
+**大家应该发现，这个初始化为什么是倒叙的遍历的？正序遍历就不行么？**
+
+正序遍历还真就不行，dp[0][j]表示容量为j的背包存放物品0时候的最大价值，物品0的价值就是15，因为题目中说了**每个物品只有一个！**所以dp[0][j]如果不是初始值的话，就应该都是物品0的价值，也就是15。
+
+但如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！ 例如代码如下：
+```
+// 正序遍历
+for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) {
+    dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
+}
+```
+
+例如dp[0][1] 是15，到了dp[0][2] = dp[0][2 - 1] + 15; 也就是dp[0][2] = 30 了，那么就是物品0被重复放入了。
+
+**所以一定要倒叙遍历，保证物品0只被放入一次！这一点对01背包很重要，后面在讲解滚动数组的时候，还会用到倒叙遍历来保证物品使用一次！**
+
+
+此时dp数组初始化情况如图所示：
+
+![动态规划-背包问题7](https://img-blog.csdnimg.cn/20210110103109140.png)
+
+dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？
+
+
+dp[i][j]在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，因为0就是最小的了，不会影响取最大价值的结果。
+
+如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷了。例如：一个物品的价值是-2，但对应的位置依然初始化为0，那么取最大值的时候，就会取0而不是-2了，所以要初始化为负无穷。
+
+**这样才能让dp数组在递归公式的过程中取最大的价值，而不是被初始值覆盖了**。
+
+最后初始化代码如下：
+
+```
+// 初始化 dp
+vector<vector<int>> dp(weight.size() + 1, vector<int>(bagWeight + 1, 0));
+for (int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--) {
+    dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
+}
+```
+
+**费了这么大的功夫，才把如何初始化讲清楚，相信不少同学平时初始化dp数组是凭感觉来的，但有时候感觉是不靠谱的**。
+
+4. 确定遍历顺序
+
+
+在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量
+
+![动态规划-背包问题3](https://img-blog.csdnimg.cn/2021011010314055.png)
+
+那么问题来了，**先遍历 物品还是先遍历背包重量呢？**
+
+**其实都可以！！ 但是先遍历物品更好理解**。
+
+那么我先给出先遍历物品，然后遍历背包重量的代码。
+
+```
+// weight数组的大小 就是物品个数
+for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
+    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
+        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; // 这个是为了展现dp数组里元素的变化
+        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
+
+    }
+}
+```
+
+**先遍历背包，再遍历物品，也是可以的！（注意我这里使用的二维dp数组）**
+
+例如这样：
+
+```
+// weight数组的大小 就是物品个数
+for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
+    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
+        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
+        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
+    }
+}
+```
+
+为什么也是可以的呢？
+
+**要理解递归的本质和递推的方向**。
+
+dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 递归公式中可以看出dp[i][j]是靠dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]推导出来的。
+
+dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]] 都在dp[i][j]的左上角方向（包括正左和正上两个方向），那么先遍历物品，再遍历背包的过程如图所示：
+
+![动态规划-背包问题5](https://img-blog.csdnimg.cn/202101101032124.png)
+
+再来看看先遍历背包，再遍历物品呢，如图：
+
+![动态规划-背包问题6](https://img-blog.csdnimg.cn/20210110103244701.png)
+
+**大家可以看出，虽然两个for循环遍历的次序不同，但是dp[i][j]所需要的数据就是左上角，根本不影响dp[i][j]公式的推导！**
+
+但先遍历物品再遍历背包这个顺序更好理解。
+
+**其实背包问题里，两个for循环的先后循序是非常有讲究的，理解遍历顺序其实比理解推导公式难多了**。
+
+5. 举例推导dp数组
+
+来看一下对应的dp数组的数值，如图：
+
+![动态规划-背包问题4](https://img-blog.csdnimg.cn/20210118163425129.jpg)
+
+最终结果就是dp[2][4]。
+
+建议大家此时自己在纸上推导一遍，看看dp数组里每一个数值是不是这样的。
+
+**做动态规划的题目，最好的过程就是自己在纸上举一个例子把对应的dp数组的数值推导一下，然后在动手写代码！**
+
+很多同学做dp题目，遇到各种问题，然后凭感觉东改改西改改，怎么改都不对，或者稀里糊涂就改过了。
+
+主要就是自己没有动手推导一下dp数组的演变过程，如果推导明白了，代码写出来就算有问题，只要把dp数组打印出来，对比一下和自己推导的有什么差异，很快就可以发现问题了。
+
+
+## 完整C++测试代码
+
+```C++
+void test_2_wei_bag_problem1() {
+    vector<int> weight = {1, 3, 4};
+    vector<int> value = {15, 20, 30};
+    int bagWeight = 4;
+
+    // 二维数组
+    vector<vector<int>> dp(weight.size() + 1, vector<int>(bagWeight + 1, 0));
+
+    // 初始化
+    for (int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--) {
+        dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
+    }
+
+    // weight数组的大小 就是物品个数
+    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
+        for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
+            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
+            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
+
+        }
+    }
+
+    cout << dp[weight.size() - 1][bagWeight] << endl;
+}
+
+int main() {
+    test_2_wei_bag_problem1();
+}
+
+```
+
+
+以上遍历的过程也可以这么写：
+
+```
+// 遍历过程
+for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
+    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
+        if (j - weight[i] >= 0) {
+            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
+        }
+    }
+}
+```
+
+这么写打印出来的dp数据这就是这样：
+
+![动态规划-背包问题8](https://img-blog.csdnimg.cn/2021011010344372.png)
+
+空出来的0其实是用不上的，版本一 能把完整的dp数组打印出来，出来我用版本一来讲解。
+
+
+## 总结
+
+讲了这么多才刚刚把二维dp的01背包讲完，**这里大家其实可以发现最简单的是推导公式了，推导公式估计看一遍就记下来了，但难就难在如何初始化和遍历顺序上**。
+
+可能有的同学并没有注意到初始化 和 遍历顺序的重要性，我们后面做力扣上背包面试题目的时候，大家就会感受出来了。
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+下一篇 还是理论基础，我们再来讲一维dp数组实现的01背包（滚动数组），分析一下和二维有什么区别，在初始化和遍历顺序上又有什么差异，敬请期待！
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+就酱，学算法，认准「代码随想录」，值得推荐给身边的朋友同学们，关注后都会发现相见恨晚!
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