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problems/0343.整数拆分.md

@@ -84,16 +84,40 @@ j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算
 
 dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。
 
-枚举j的时候，是从1开始的。i是从3开始，这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。
 
 所以遍历顺序为：
-```
+```CPP
 for (int i = 3; i <= n ; i++) {
     for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
         dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
     }
 }
 ```
+注意 枚举j的时候，是从1开始的。从0开始的话，那么让拆分一个数拆个0的话，那么求最大乘积没有意义了。
+
+j的结束条件是 j < i - 1 ，其实 j < i 也是可以的，不过可以节省一步，例如让j = i - 1，的话，其实在 j = 1的时候，这一步就已经拆出来了，重复计算，所以 j < i - 1 
+
+至于 i是从3开始，这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。
+
+更优化一步，可以这样：
+
+```CPP
+for (int i = 3; i <= n ; i++) {
+    for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
+        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
+    }
+}
+```
+
+因为拆分一个数n 使之乘积最大，那么一定是拆分m个成近似相同的子数相乘才是最大的。 
+
+例如 6 拆成 3 * 3， 10 拆成 3 * 3 * 4。 100的话 也是拆成m个近似数组的子数 相乘才是最大的。 
+
+只不过我们不知道m究竟是多少而已，但可以明确的是m一定大于等于2，既然m大于等于，也就是 最差也应该是拆成两个相同的 可能是最大值。
+
+那么 j 遍历，只需要遍历到 n/2 就可以，后面就没有必要遍历了，一定不是最大值。
+
+至于 “拆分一个数n 使之乘积最大，那么一定是拆分m个成近似相同的子数相乘才是最大的” 这个我就不去做数学证明了，感兴趣的同学，可以自己证明。 
 
 5. 举例推导dp数组
 
@@ -110,7 +134,7 @@ public:
         vector<int> dp(n + 1);
         dp[2] = 1;
         for (int i = 3; i <= n ; i++) {
-            for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
+            for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
                 dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
             }
         }