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修复:“操作一”中i-1改正为j-1, 并添加了删除元素的解释，同时修改了文档部分样式

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2021-06-14 23:10:10 +08:00
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problems/0072.编辑距离.md
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@ -51,7 +51,9 @@ exection -> execution (插入 'u')
接下来我依然使用动规五部曲，对本题做一个详细的分析： 接下来我依然使用动规五部曲，对本题做一个详细的分析：
1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义 -----------------------
### 1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
**dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]**。 **dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]**。
@ -59,49 +61,65 @@ exection -> execution (插入 'u')
用i来表示也可以！ 但我统一以下标i-1为结尾的字符串，在下面的递归公式中会容易理解一点。 用i来表示也可以！ 但我统一以下标i-1为结尾的字符串，在下面的递归公式中会容易理解一点。
2. 确定递推公式 -----------------------
### 2. 确定递推公式
在确定递推公式的时候，首先要考虑清楚编辑的几种操作，整理如下： 在确定递推公式的时候，首先要考虑清楚编辑的几种操作，整理如下：
* if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) ```
* 不操作 if (word1[i - 1] == word2[j - 1])
* if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 不操作
* 增 if (word1[i - 1] != word2[j - 1])
* 删 增
* 换 删
换
```
也就是如上四种情况。 也就是如上4种情况。
if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) 那么说明不用任何编辑，dp[i][j] 就应该是 dp[i - 1][j - 1]，即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]; `if (word1[i - 1] == word2[j - 1])` 那么说明不用任何编辑，`dp[i][j]` 就应该是 `dp[i - 1][j - 1]`，即`dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];`
此时可能有同学有点不明白，为啥要即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]呢？ 此时可能有同学有点不明白，为啥要即`dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]`呢？
那么就在回顾上面讲过的dp[i][j]的定义，word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相等了，那么就不用编辑了，以下标i-2为结尾的字符串word1和以下标j-2为结尾的字符串word2的最近编辑距离dp[i - 1][j - 1] 就是 dp[i][j]了。 那么就在回顾上面讲过的`dp[i][j]`的定义，`word1[i - 1]` 与 `word2[j - 1]`相等了，那么就不用编辑了，以下标i-2为结尾的字符串word1和以下标j-2为结尾的字符串`word2`的最近编辑距离`dp[i - 1][j - 1]`就是 `dp[i][j]`了。
在下面的讲解中，如果哪里看不懂，就回想一下dp[i][j]的定义，就明白了。 在下面的讲解中，如果哪里看不懂，就回想一下`dp[i][j]`的定义，就明白了。
**在整个动规的过程中，最为关键就是正确理解dp[i][j]的定义！** **在整个动规的过程中，最为关键就是正确理解`dp[i][j]`的定义！**
if (word1[i - 1] != word2[j - 1])，此时就需要编辑了，如何编辑呢？
操作一：word1增加一个元素，使其word1[i - 1]与word2[j - 1]相同，那么就是以下标i-2为结尾的word1 与 i-1为结尾的word2的最近编辑距离 加上一个增加元素的操作。 `if (word1[i - 1] != word2[j - 1])`，此时就需要编辑了，如何编辑呢？
即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1; 操作一：word1增加一个元素，使其word1[i - 1]与word2[j - 1]相同，那么就是以下标i-2为结尾的word1 与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离 加上一个增加元素的操作。
即 `dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;`
操作二：word2添加一个元素，使其word1[i - 1]与word2[j - 1]相同，那么就是以下标i-1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 加上一个增加元素的操作。 操作二：word2添加一个元素，使其word1[i - 1]与word2[j - 1]相同，那么就是以下标i-1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 加上一个增加元素的操作。
即 dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1; 即 `dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;`
这里有同学发现了，怎么都是添加元素，删除元素去哪了。 这里有同学发现了，怎么都是添加元素，删除元素去哪了。
**word2添加一个元素，相当于word1删除一个元素**，例如 word1 = "ad" ，word2 = "a"，word2添加一个元素d，也就是相当于word1删除一个元素d，操作数是一样！ **word2添加一个元素，相当于word1删除一个元素**，例如 `word1 = "ad" ，word2 = "a"`，`word1`删除元素`'d'`，`word2`添加一个元素`'d'`，变成`word1="a", word2="ad"`， 最终的操作数是一样！ dp数组如下图所示意的：
操作三：替换元素，word1替换word1[i - 1]，使其与word2[j - 1]相同，此时不用增加元素，那么以下标i-2为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 加上一个替换元素的操作。 ```
a a d
+-----+-----+ +-----+-----+-----+
| 0 | 1 | | 0 | 1 | 2 |
+-----+-----+ ===> +-----+-----+-----+
a | 1 | 0 | a | 1 | 0 | 1 |
+-----+-----+ +-----+-----+-----+
d | 2 | 1 |
+-----+-----+
```
即 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1; 操作三：替换元素，`word1`替换`word1[i - 1]`，使其与`word2[j - 1]`相同，此时不用增加元素，那么以下标`i-2`为结尾的`word1` 与 `j-2`为结尾的`word2`的最近编辑距离 加上一个替换元素的操作。
综上，当 if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 时取最小的，即：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1; 即 `dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;`
综上，当 `if (word1[i - 1] != word2[j - 1])` 时取最小的，即：`dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;`
递归公式代码如下： 递归公式代码如下：
@ -114,9 +132,12 @@ else {
} }
``` ```
3. dp数组如何初始化 ---
在回顾一下dp[i][j]的定义。 ### 3. dp数组如何初始化
再回顾一下dp[i][j]的定义：
**dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]**。 **dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]**。
@ -135,14 +156,16 @@ for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j; for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;
``` ```
4. 确定遍历顺序 -----------------------
### 4. 确定遍历顺序
从如下四个递推公式： 从如下四个递推公式：
* dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] * `dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]`
* dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1 * `dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1`
* dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1 * `dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1`
* dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1 * `dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1`
可以看出dp[i][j]是依赖左方，上方和左上方元素的，如图： 可以看出dp[i][j]是依赖左方，上方和左上方元素的，如图：
@ -164,10 +187,12 @@ for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
} }
} }
``` ```
-----------------------
5. 举例推导dp数组 ### 5. 举例推导dp数组
以示例1，输入：word1 = "horse", word2 = "ros"为例，dp矩阵状态图如下：
以示例1为例，输入：`word1 = "horse", word2 = "ros"`为例，dp矩阵状态图如下：
![72.编辑距离1](https://img-blog.csdnimg.cn/20210114162132300.jpg) ![72.编辑距离1](https://img-blog.csdnimg.cn/20210114162132300.jpg)
@ -195,7 +220,7 @@ public:
}; };
``` ```
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