diff --git a/problems/0108.将有序数组转换为二叉搜索树.md b/problems/0108.将有序数组转换为二叉搜索树.md index fd634094..9318a0e2 100644 --- a/problems/0108.将有序数组转换为二叉搜索树.md +++ b/problems/0108.将有序数组转换为二叉搜索树.md @@ -248,7 +248,7 @@ class Solution { return root; } - // 左闭右闭区间[left, right) + // 左闭右闭区间[left, right] private TreeNode traversal(int[] nums, int left, int right) { if (left > right) return null; diff --git a/problems/0139.单词拆分.md b/problems/0139.单词拆分.md index c9e42dc7..f06bd40c 100644 --- a/problems/0139.单词拆分.md +++ b/problems/0139.单词拆分.md @@ -6,7 +6,7 @@ -## 139.单词拆分 +# 139.单词拆分 [力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/word-break/) @@ -19,19 +19,19 @@ 你可以假设字典中没有重复的单词。 示例 1： -输入: s = "leetcode", wordDict = ["leet", "code"] -输出: true -解释: 返回 true 因为 "leetcode" 可以被拆分成 "leet code"。 +* 输入: s = "leetcode", wordDict = ["leet", "code"] +* 输出: true +* 解释: 返回 true 因为 "leetcode" 可以被拆分成 "leet code"。 示例 2： -输入: s = "applepenapple", wordDict = ["apple", "pen"] -输出: true -解释: 返回 true 因为 "applepenapple" 可以被拆分成 "apple pen apple"。 -  注意你可以重复使用字典中的单词。 +* 输入: s = "applepenapple", wordDict = ["apple", "pen"] +* 输出: true +* 解释: 返回 true 因为 "applepenapple" 可以被拆分成 "apple pen apple"。 +* 注意你可以重复使用字典中的单词。 示例 3： -输入: s = "catsandog", wordDict = ["cats", "dog", "sand", "and", "cat"] -输出: false +* 输入: s = "catsandog", wordDict = ["cats", "dog", "sand", "and", "cat"] +* 输出: false ## 思路 @@ -158,24 +158,19 @@ dp[0]表示如果字符串为空的话，说明出现在字典里。 **如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品**。 -对这个结论还有疑问的同学可以看这篇[本周小结！（动态规划系列五）](https://programmercarl.com/%E5%91%A8%E6%80%BB%E7%BB%93/20210204动规周末总结.html)，这篇本周小节中，我做了如下总结： +我在这里做一个一个总结： 求组合数：[动态规划：518.零钱兑换II](https://programmercarl.com/0518.零钱兑换II.html) 求排列数：[动态规划：377. 组合总和 Ⅳ](https://programmercarl.com/0377.组合总和.html)、[动态规划：70. 爬楼梯进阶版（完全背包）](https://programmercarl.com/0070.爬楼梯完全背包版本.html) 求最小数：[动态规划：322. 零钱兑换](https://programmercarl.com/0322.零钱兑换.html)、[动态规划：279.完全平方数](https://programmercarl.com/0279.完全平方数.html) -本题最终要求的是是否都出现过，所以对出现单词集合里的元素是组合还是排列，并不在意！ +而本题其实我们求的是排列数，为什么呢。 拿 s = "applepenapple", wordDict = ["apple", "pen"] 举例。 -**那么本题使用求排列的方式，还是求组合的方式都可以**。 +"apple", "pen" 是物品，那么我们要求 物品的组合一定是 "apple" + "pen" + "apple" 才能组成 "applepenapple"。 -即：外层for循环遍历物品，内层for遍历背包 或者 外层for遍历背包，内层for循环遍历物品 都是可以的。 - -但本题还有特殊性，因为是要求子串，最好是遍历背包放在外循环，将遍历物品放在内循环。 - -如果要是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包，就需要把所有的子串都预先放在一个容器里。（如果不理解的话，可以自己尝试这么写一写就理解了） - -**所以最终我选择的遍历顺序为：遍历背包放在外循环，将遍历物品放在内循环。内循环从前到后**。 +"apple" + "apple" + "pen" 或者 "pen" + "apple" + "apple" 是不可以的，那么我们就是强调物品之间顺序。 +所以说，本题一定是 先遍历 背包，在遍历物品。 5. 举例推导dp[i] @@ -210,22 +205,51 @@ public: * 时间复杂度：O(n^3)，因为substr返回子串的副本是O(n)的复杂度（这里的n是substring的长度） * 空间复杂度：O(n) +## 拓展 + +关于遍历顺序，再给大家讲一下为什么 先遍历物品再遍历背包不行。 + +这里可以给出先遍历物品在遍历背包的代码： + +```CPP +class Solution { +public: + bool wordBreak(string s, vector& wordDict) { + unordered_set wordSet(wordDict.begin(), wordDict.end()); + vector dp(s.size() + 1, false); + dp[0] = true; + for (int j = 0; j < wordDict.size(); j++) { // 物品 + for (int i = wordDict[j].size(); i <= s.size(); i++) { // 背包 + string word = s.substr(i - wordDict[j].size(), wordDict[j].size()); + // cout << word << endl; + if ( word == wordDict[j] && dp[i - wordDict[j].size()]) { + dp[i] = true; + } + // for (int k = 0; k <= s.size(); k++) cout << dp[k] << " "; //这里打印 dp数组的情况 + // cout << endl; + } + } + return dp[s.size()]; + + } +}; +``` + +使用用例：s = "applepenapple", wordDict = ["apple", "pen"]，对应的dp数组状态如下： + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20221123205105.png) + +最后dp[s.size()] = 0 即 dp[13] = 0 ，而不是1，因为先用 "apple" 去遍历的时候，dp[8]并没有被赋值为1 （还没用"pen"），所以 dp[13]也不能变成1。 + +除非是先用 "apple" 遍历一遍，在用 "pen" 遍历，此时 dp[8]已经是1，最后再用 "apple" 去遍历，dp[13]才能是1。 + +如果大家对这里不理解，建议可以把我上面给的代码，拿去力扣上跑一跑，把dp数组打印出来，对着递推公式一步一步去看，思路就清晰了。 ## 总结 本题和我们之前讲解回溯专题的[回溯算法：分割回文串](https://programmercarl.com/0131.分割回文串.html)非常像，所以我也给出了对应的回溯解法。 -稍加分析，便可知道本题是完全背包，而且是求能否组成背包，所以遍历顺序理论上来讲 两层for循环谁先谁后都可以！ - -但因为分割子串的特殊性，遍历背包放在外循环，将遍历物品放在内循环更方便一些。 - -本题其实递推公式都不是重点，遍历顺序才是重点，如果我直接把代码贴出来，估计同学们也会想两个for循环的顺序理所当然就是这样，甚至都不会想为什么遍历背包的for循环在外层。 - -不分析透彻不是Carl的风格啊，哈哈 - - - - +稍加分析，便可知道本题是完全背包，是求能否组成背包，而且这里要求物品是要有顺序的。 ## 其他语言版本 diff --git a/problems/0198.打家劫舍.md b/problems/0198.打家劫舍.md index 2cc2f4fe..1e48f007 100644 --- a/problems/0198.打家劫舍.md +++ b/problems/0198.打家劫舍.md @@ -12,15 +12,16 @@ 给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。 -示例 1： -输入：[1,2,3,1] -输出：4 +* 示例 1： +* 输入：[1,2,3,1] +* 输出：4 + 解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。   偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。 -示例 2： -输入：[2,7,9,3,1] -输出：12 +* 示例 2： +* 输入：[2,7,9,3,1] +* 输出：12 解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。   偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。 @@ -33,7 +34,13 @@ ## 思路 -打家劫舍是dp解决的经典问题，动规五部曲分析如下： +大家如果刚接触这样的题目，会有点困惑，当前的状态我是偷还是不偷呢？ + +仔细一想，当前房屋偷与不偷取决于 前一个房屋和前两个房屋是否被偷了。 + +所以这里就更感觉到，当前状态和前面状态会有一种依赖关系，那么这种依赖关系都是动规的递推公式。 + +当然以上是大概思路，打家劫舍是dp解决的经典问题，接下来我们来动规五部曲分析如下： 1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义 diff --git a/problems/0279.完全平方数.md b/problems/0279.完全平方数.md index 6acc4891..50ddf5f9 100644 --- a/problems/0279.完全平方数.md +++ b/problems/0279.完全平方数.md @@ -131,10 +131,8 @@ public: vector dp(n + 1, INT_MAX); dp[0] = 0; for (int i = 1; i * i <= n; i++) { // 遍历物品 - for (int j = 1; j <= n; j++) { // 遍历背包 - if (j - i * i >= 0) { - dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]); - } + for (int j = i * i; j <= n; j++) { // 遍历背包 + dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]); } } return dp[n]; diff --git a/problems/0322.零钱兑换.md b/problems/0322.零钱兑换.md index e337717f..45974112 100644 --- a/problems/0322.零钱兑换.md +++ b/problems/0322.零钱兑换.md @@ -53,8 +53,6 @@ 2. 确定递推公式 -得到dp[j]（考虑coins[i]），只有一个来源，dp[j - coins[i]]（没有考虑coins[i]）。 - 凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]） 所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。 diff --git a/problems/0337.打家劫舍III.md b/problems/0337.打家劫舍III.md index 3b7e7cbf..c69279fd 100644 --- a/problems/0337.打家劫舍III.md +++ b/problems/0337.打家劫舍III.md @@ -50,8 +50,8 @@ public: }; ``` -* 时间复杂度：$O(n^2)$，这个时间复杂度不太标准，也不容易准确化，例如越往下的节点重复计算次数就越多 -* 空间复杂度：$O(\log n)$，算上递推系统栈的空间 +* 时间复杂度：O(n^2)，这个时间复杂度不太标准，也不容易准确化，例如越往下的节点重复计算次数就越多 +* 空间复杂度：O(log n)，算上递推系统栈的空间 当然以上代码超时了，这个递归的过程中其实是有重复计算了。 @@ -84,8 +84,8 @@ public: ``` -* 时间复杂度：$O(n)$ -* 空间复杂度：$O(\log n)$，算上递推系统栈的空间 +* 时间复杂度：O(n) +* 空间复杂度：O(log n)，算上递推系统栈的空间 ### 动态规划 diff --git a/problems/0377.组合总和Ⅳ.md b/problems/0377.组合总和Ⅳ.md index 4a84b2fa..1f949ec7 100644 --- a/problems/0377.组合总和Ⅳ.md +++ b/problems/0377.组合总和Ⅳ.md @@ -4,9 +4,8 @@

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-# 动态规划：Carl称它为排列总和！ -## 377. 组合总和 Ⅳ +# 377. 组合总和 Ⅳ [力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/combination-sum-iv/) diff --git a/problems/0416.分割等和子集.md b/problems/0416.分割等和子集.md index db080203..52b48264 100644 --- a/problems/0416.分割等和子集.md +++ b/problems/0416.分割等和子集.md @@ -79,7 +79,17 @@ 01背包中，dp[j] 表示： 容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。 -**套到本题，dp[j]表示 背包总容量是j，最大可以凑成j的子集总和为dp[j]**。 +本题中每一个元素的数值即是重量，也是价值。 + +**套到本题，dp[j]表示 背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dp[j]**。 + +那么如果背包容量为target， dp[target]就是装满 背包之后的重量，所以 当 dp[target] == target 的时候，背包就装满了。 + +有录友可能想，那还有装不满的时候？ + +拿输入数组 [1, 5, 11, 5]，距离， dp[7] 只能等于 6，因为 只能放进 1 和 5。 + +而dp[6] 就可以等于6了，放进1 和 5，那么dp[6] == 6，说明背包装满了。 2. 确定递推公式 diff --git a/problems/0474.一和零.md b/problems/0474.一和零.md index 21fbf84b..45a0a270 100644 --- a/problems/0474.一和零.md +++ b/problems/0474.一和零.md @@ -3,9 +3,8 @@

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-# 动态规划：一和零！ -## 474.一和零 +# 474.一和零 [力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/ones-and-zeroes/) @@ -42,7 +41,7 @@ * [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) * [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html) -这道题目，还是比较难的，也有点像程序员自己给自己出个脑筋急转弯，程序员何苦为难程序员呢哈哈。 +这道题目，还是比较难的，也有点像程序员自己给自己出个脑筋急转弯，程序员何苦为难程序员呢。 来说题，本题不少同学会认为是多重背包，一些题解也是这么写的。 @@ -82,7 +81,7 @@ dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。 对比一下就会发现，字符串的zeroNum和oneNum相当于物品的重量（weight[i]），字符串本身的个数相当于物品的价值（value[i]）。 -**这就是一个典型的01背包！** 只不过物品的重量有了两个维度而已。 +**这就是一个典型的01背包！** 只不过物品的重量有了两个维度而已。 3. dp数组如何初始化 @@ -155,8 +154,15 @@ public: 不少同学刷过这道提，可能没有总结这究竟是什么背包。 -这道题的本质是有两个维度的01背包，如果大家认识到这一点，对这道题的理解就比较深入了。 +此时我们讲解了0-1背包的多种应用， +* [纯 0 - 1 背包](https://programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%8001%E8%83%8C%E5%8C%85-2.html) 是求 给定背包容量 装满背包 的最大价值是多少。 +* [416. 分割等和子集](https://programmercarl.com/0416.%E5%88%86%E5%89%B2%E7%AD%89%E5%92%8C%E5%AD%90%E9%9B%86.html) 是求 给定背包容量，能不能装满这个背包。 +* [1049. 最后一块石头的重量 II](https://programmercarl.com/1049.%E6%9C%80%E5%90%8E%E4%B8%80%E5%9D%97%E7%9F%B3%E5%A4%B4%E7%9A%84%E9%87%8D%E9%87%8FII.html) 是求 给定背包容量，尽可能装，最多能装多少 +* [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.%E7%9B%AE%E6%A0%87%E5%92%8C.html) 是求 给定背包容量，装满背包有多少种方法。 +* 本题是求 给定背包容量，装满背包最多有多少个物品。 + +所以在代码随想录中所列举的题目，都是 0-1背包不同维度上的应用，大家可以细心体会！ diff --git a/problems/0494.目标和.md b/problems/0494.目标和.md index 7882229c..946e52f2 100644 --- a/problems/0494.目标和.md +++ b/problems/0494.目标和.md @@ -3,9 +3,11 @@

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-# 动态规划：目标和！ -## 494. 目标和 + + + +# 494. 目标和 [力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/target-sum/) @@ -52,9 +54,9 @@ 既然为target，那么就一定有 left组合 - right组合 = target。 -left + right等于sum，而sum是固定的。 +left + right = sum，而sum是固定的。right = sum - left -公式来了， left - (sum - left) = target -> left = (target + sum)/2 。 +公式来了， left - (sum - left) = target 推导出 left = (target + sum)/2 。 target是固定的，sum是固定的，left就可以求出来。 @@ -117,22 +119,26 @@ public: 假设加法的总和为x，那么减法对应的总和就是sum - x。 -所以我们要求的是 x - (sum - x) = S +所以我们要求的是 x - (sum - x) = target -x = (S + sum) / 2 +x = (target + sum) / 2 **此时问题就转化为，装满容量为x背包，有几种方法**。 -大家看到(S + sum) / 2 应该担心计算的过程中向下取整有没有影响。 +这里的x，就是bagSize，也就是我们后面要求的背包容量。 + +大家看到(target + sum) / 2 应该担心计算的过程中向下取整有没有影响。 这么担心就对了，例如sum 是5，S是2的话其实就是无解的，所以： -```CPP +```CPP +（C++代码中，输入的S 就是题目描述的 target） if ((S + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案 ``` 同时如果 S的绝对值已经大于sum，那么也是没有方案的。 ```CPP +（C++代码中，输入的S 就是题目描述的 target） if (abs(S) > sum) return 0; // 此时没有方案 ``` @@ -156,17 +162,15 @@ dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法 有哪些来源可以推出dp[j]呢？ -不考虑nums[i]的情况下，填满容量为j的背包，有dp[j]种方法。 - -那么考虑nums[i]的话（只要搞到nums[i]），凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。 +只要搞到nums[i]），凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。 例如：dp[j]，j 为5， -* 已经有一个1（nums[i]） 的话，有 dp[4]种方法 凑成 dp[5]。 -* 已经有一个2（nums[i]） 的话，有 dp[3]种方法 凑成 dp[5]。 -* 已经有一个3（nums[i]） 的话，有 dp[2]中方法 凑成 dp[5] -* 已经有一个4（nums[i]） 的话，有 dp[1]中方法 凑成 dp[5] -* 已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]中方法 凑成 dp[5] +* 已经有一个1（nums[i]） 的话，有 dp[4]种方法 凑成 容量为5的背包。 +* 已经有一个2（nums[i]） 的话，有 dp[3]种方法 凑成 容量为5的背包。 +* 已经有一个3（nums[i]） 的话，有 dp[2]中方法 凑成 容量为5的背包 +* 已经有一个4（nums[i]） 的话，有 dp[1]中方法 凑成 容量为5的背包 +* 已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]中方法 凑成 容量为5的背包 那么凑整dp[5]有多少方法呢，也就是把 所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来。 @@ -182,9 +186,19 @@ dp[j] += dp[j - nums[i]] 从递归公式可以看出，在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递归结果将都是0。 -dp[0] = 1，理论上也很好解释，装满容量为0的背包，有1种方法，就是装0件物品。 +这里有录友可能认为从dp数组定义来说 dp[0] 应该是0，也有录友认为dp[0]应该是1。 -dp[j]其他下标对应的数值应该初始化为0，从递归公式也可以看出，dp[j]要保证是0的初始值，才能正确的由dp[j - nums[i]]推导出来。 +其实不要硬去解释它的含义，咱就把 dp[0]的情况带入本题看看就是应该等于多少。 + +如果数组[0] ，target = 0，那么 bagSize = (target + sum) / 2 = 0。 dp[0]也应该是1， 也就是说给数组里的元素 0 前面无论放加法还是减法，都是 1 种方法。 + +所以本题我们应该初始化 dp[0] 为 1。 + +可能有同学想了，那 如果是 数组[0,0,0,0,0] target = 0 呢。 + +其实 此时最终的dp[0] = 32，也就是这五个零 子集的所有组合情况，但此dp[0]非彼dp[0]，dp[0]能算出32，其基础是因为dp[0] = 1 累加起来的。 + +dp[j]其他下标对应的数值也应该初始化为0，从递归公式也可以看出，dp[j]要保证是0的初始值，才能正确的由dp[j - nums[i]]推导出来。 4. 确定遍历顺序 @@ -213,7 +227,6 @@ public: if (abs(S) > sum) return 0; // 此时没有方案 if ((S + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案 int bagSize = (S + sum) / 2; - if (bagsize < 0) return 0; vector dp(bagSize + 1, 0); dp[0] = 1; for (int i = 0; i < nums.size(); i++) { @@ -238,7 +251,7 @@ public: 本题还是有点难度，大家也可以记住，在求装满背包有几种方法的情况下，递推公式一般为： -``` +```CPP dp[j] += dp[j - nums[i]]; ``` diff --git a/problems/0518.零钱兑换II.md b/problems/0518.零钱兑换II.md index e29e2107..2fc807cd 100644 --- a/problems/0518.零钱兑换II.md +++ b/problems/0518.零钱兑换II.md @@ -3,9 +3,10 @@

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-# 动态规划：给你一些零钱，你要怎么凑？ -## 518. 零钱兑换 II + + +# 518. 零钱兑换 II [力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/coin-change-ii/) @@ -15,22 +16,25 @@ 示例 1: -输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] -输出: 4 +* 输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] +* 输出: 4 + 解释: 有四种方式可以凑成总金额: -5=5 -5=2+2+1 -5=2+1+1+1 -5=1+1+1+1+1 + +* 5=5 +* 5=2+2+1 +* 5=2+1+1+1 +* 5=1+1+1+1+1 示例 2: -输入: amount = 3, coins = [2] -输出: 0 -解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。 + +* 输入: amount = 3, coins = [2] +* 输出: 0 +* 解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。 示例 3: -输入: amount = 10, coins = [10] -输出: 1 +* 输入: amount = 10, coins = [10] +* 输出: 1 注意，你可以假设： @@ -47,7 +51,7 @@ 对完全背包还不了解的同学，可以看这篇：[动态规划：关于完全背包，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html) -但本题和纯完全背包不一样，**纯完全背包是能否凑成总金额，而本题是要求凑成总金额的个数！** +但本题和纯完全背包不一样，**纯完全背包是凑成背包最大价值是多少，而本题是要求凑成总金额的物品组合个数！** 注意题目描述中是凑成总金额的硬币组合数，为什么强调是组合数呢？ @@ -73,17 +77,21 @@ dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j] 2. 确定递推公式 -dp[j] （考虑coins[i]的组合总和） 就是所有的dp[j - coins[i]]（不考虑coins[i]）相加。 +dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加。 所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]]; -**这个递推公式大家应该不陌生了，我在讲解01背包题目的时候在这篇[动态规划：目标和！](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)中就讲解了，求装满背包有几种方法，一般公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]];** +**这个递推公式大家应该不陌生了，我在讲解01背包题目的时候在这篇[494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)中就讲解了，求装满背包有几种方法，公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]];** 3. dp数组如何初始化 -首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。 +首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了。 -从dp[i]的含义上来讲就是，凑成总金额0的货币组合数为1。 +那么 dp[0] = 1 有没有含义，其实既可以说 凑成总金额0的货币组合数为1，也可以说 凑成总金额0的货币组合数为0，好像都没有毛病。 + +但题目描述中，也没明确说 amount = 0 的情况，结果应该是多少。 + +这里我认为题目描述还是要说明一下，因为后台测试数据是默认，amount = 0 的情况，组合数为1的。 下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j] @@ -96,9 +104,9 @@ dp[j] （考虑coins[i]的组合总和） 就是所有的dp[j - coins[i]]（不 **但本题就不行了！** -因为纯完全背包求得是能否凑成总和，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序也行，没有顺序也行！ +因为纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序也行，没有顺序也行！ -而本题要求凑成总和的组合数，元素之间要求没有顺序。 +而本题要求凑成总和的组合数，元素之间明确要求没有顺序。 所以纯完全背包是能凑成总和就行，不用管怎么凑的。 @@ -126,7 +134,7 @@ for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品 如果把两个for交换顺序，代码如下： -``` +```CPP for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量 for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品 if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]]; @@ -169,7 +177,7 @@ public: ## 总结 -本题的递推公式，其实我们在[动态规划：目标和！](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)中就已经讲过了，**而难点在于遍历顺序！** +本题的递推公式，其实我们在[494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)中就已经讲过了，**而难点在于遍历顺序！** 在求装满背包有几种方案的时候，认清遍历顺序是非常关键的。 @@ -181,8 +189,6 @@ public: - - ## 其他语言版本 diff --git a/problems/1049.最后一块石头的重量II.md b/problems/1049.最后一块石头的重量II.md index 5412c5b5..bf4e708a 100644 --- a/problems/1049.最后一块石头的重量II.md +++ b/problems/1049.最后一块石头的重量II.md @@ -15,17 +15,20 @@ 每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下： 如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎； + 如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。 + 最后，最多只会剩下一块石头。返回此石头最小的可能重量。如果没有石头剩下，就返回 0。 示例： -输入：[2,7,4,1,8,1] -输出：1 +* 输入：[2,7,4,1,8,1] +* 输出：1 + 解释： -组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]， -组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]， -组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]， -组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。 +* 组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]， +* 组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]， +* 组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]， +* 组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。 提示： @@ -51,7 +54,11 @@ 1. 确定dp数组以及下标的含义 -**dp[j]表示容量（这里说容量更形象，其实就是重量）为j的背包，最多可以背dp[j]这么重的石头**。 +**dp[j]表示容量（这里说容量更形象，其实就是重量）为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]**。 + +可以回忆一下01背包中，dp[j]的含义，容量为j的背包，最多可以装的价值为 dp[j]。 + +相对于 01背包，本题中，石头的重量是 stones[i]，石头的价值也是 stones[i] ，可以 “最多可以装的价值为 dp[j]” == “最多可以背的重量为dp[j]” 2. 确定递推公式 @@ -61,7 +68,7 @@ 一些同学可能看到这dp[j - stones[i]] + stones[i]中 又有- stones[i] 又有+stones[i]，看着有点晕乎。 -还是要牢记dp[j]的含义，要知道dp[j - stones[i]]为 容量为j - stones[i]的背包最大所背重量。 +大家可以再去看 dp[j]的含义。 3. dp数组如何初始化 diff --git a/problems/哈希表理论基础.md b/problems/哈希表理论基础.md index 9366ca5c..41647d48 100644 --- a/problems/哈希表理论基础.md +++ b/problems/哈希表理论基础.md @@ -108,7 +108,7 @@ std::unordered_map 底层实现为哈希表，std::map 和std::multimap 的底 其他语言例如：java里的HashMap ，TreeMap 都是一样的原理。可以灵活贯通。 -虽然std::set、std::multiset 的底层实现是红黑树，不是哈希表，但是std::set、std::multiset 依然使用哈希函数来做映射，只不过底层的符号表使用了红黑树来存储数据，所以使用这些数据结构来解决映射问题的方法，我们依然称之为哈希法。 map也是一样的道理。 +虽然std::set、std::multiset 的底层实现是红黑树，不是哈希表，std::set、std::multiset 使用红黑树来索引和存储，不过给我们的使用方式，还是哈希法的使用方式，即key和value。所以使用这些数据结构来解决映射问题的方法，我们依然称之为哈希法。 map也是一样的道理。 这里在说一下，一些C++的经典书籍上 例如STL源码剖析，说到了hash_set hash_map，这个与unordered_set，unordered_map又有什么关系呢？ diff --git a/problems/图论深搜理论基础.md b/problems/图论深搜理论基础.md index cd66b819..9f965abb 100644 --- a/problems/图论深搜理论基础.md +++ b/problems/图论深搜理论基础.md @@ -6,10 +6,18 @@ # 深度优先搜索理论基础 -提到深度优先搜索（dfs），就不得不说和广度优先有什么区别（bfs） +录友们期待图论内容已久了，为什么鸽了这么久，主要是最近半年开始更新[代码随想录算法公开课](https://mp.weixin.qq.com/s/xncn6IHJGs45sJOChN6V_g)，是开源在B站的算法视频，已经帮助非常多基础不好的录友学习算法。 + +录视频其实是非常累的，也要花很多时间，所以图论这边就没抽出时间来。 + +后面计划先给大家讲图论里大家特别需要的深搜和广搜。 + +以下，开始讲解深度优先搜索理论基础： ## dfs 与 bfs 区别 +提到深度优先搜索（dfs），就不得不说和广度优先有什么区别（bfs） + 先来了解dfs的过程，很多录友可能对dfs（深度优先搜索），bfs（广度优先搜索）分不清。 先给大家说一下两者大概的区别： @@ -35,7 +43,7 @@ ![图三](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20220707094011.png) -路径2撤销了，改变了方向，走路径3（红色线）， 接着也找到终点6。 那么撤销路径2，改为路径3，在dfs中其实就是回溯的过程（这一点很重要，很多录友，都不理解dfs代码中回溯是用来干什么的） +路径2撤销了，改变了方向，走路径3（红色线）， 接着也找到终点6。 那么撤销路径2，改为路径3，在dfs中其实就是回溯的过程（这一点很重要，很多录友不理解dfs代码中回溯是用来干什么的） 又找到了一条从节点1到节点6的路径，又到黄河了，此时再回头，下图图四中，路径4撤销（回溯的过程），改为路径5。 @@ -55,7 +63,6 @@ * 搜索方向，是认准一个方向搜，直到碰壁之后在换方向 * 换方向是撤销原路径，改为节点链接的下一个路径，回溯的过程。 - ## 代码框架 正式因为dfs搜索可一个方向，并需要回溯，所以用递归的方式来实现是最方便的。 @@ -65,6 +72,7 @@ 有递归的地方就有回溯，那么回溯在哪里呢？ 就地递归函数的下面，例如如下代码： + ``` void dfs(参数) { 处理节点 @@ -160,8 +168,6 @@ if (终止条件) { 终止添加不仅是结束本层递归，同时也是我们收获结果的时候。 另外，其实很多dfs写法，没有写终止条件，其实终止条件写在了， 下面dfs递归的逻辑里了，也就是不符合条件，直接不会向下递归。这里如果大家不理解的话，没关系，后面会有具体题目来讲解。 -* 841.钥匙和房间 -* 200. 岛屿数量 3. 处理目前搜索节点出发的路径 @@ -190,6 +196,9 @@ for (选择：本节点所连接的其他节点) { 以上如果大家都能理解了，其实搜索的代码就很好写，具体题目套用具体场景就可以了。 +后面我也会给大家安排具体练习的题目，依旧是代码随想录的风格，循序渐进由浅入深！ + +

diff --git a/problems/背包问题理论基础完全背包.md b/problems/背包问题理论基础完全背包.md index 06bda147..0f721bf9 100644 --- a/problems/背包问题理论基础完全背包.md +++ b/problems/背包问题理论基础完全背包.md @@ -82,7 +82,7 @@ dp状态图如下： 就知道了，01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了，一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量。 -**在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序同样无所谓！** +**在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的！** 因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。