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# 空间复杂度分析

* [关于时间复杂度，你不知道的都在这里！](https://programmercarl.com/前序/关于时间复杂度，你不知道的都在这里！.html)
* [$O(n)$的算法居然超时了，此时的n究竟是多大？](https://programmercarl.com/前序/On的算法居然超时了，此时的n究竟是多大？.html)
* [通过一道面试题目，讲一讲递归算法的时间复杂度！](https://programmercarl.com/前序/通过一道面试题目，讲一讲递归算法的时间复杂度！.html)

那么一直还没有讲空间复杂度，所以打算陆续来补上，内容不难，大家可以读一遍文章就有整体的了解了。

什么是空间复杂度呢？

是对一个算法在运行过程中占用内存空间大小的量度，记做$S(n)=O(f(n)$。

空间复杂度(Space Complexity)记作S(n) 依然使用大O来表示。利用程序的空间复杂度，可以对程序运行中需要多少内存有个预先估计。

关注空间复杂度有两个常见的相关问题

1. 空间复杂度是考虑程序（可执行文件）的大小么？

很多同学都会混淆程序运行时内存大小和程序本身的大小。这里强调一下**空间复杂度是考虑程序运行时占用内存的大小，而不是可执行文件的大小。**

2. 空间复杂度是准确算出程序运行时所占用的内存么？

不要以为空间复杂度就已经精准的掌握了程序的内存使用大小，很多因素会影响程序真正内存使用大小，例如编译器的内存对齐，编程语言容器的底层实现等等这些都会影响到程序内存的开销。

所以空间复杂度是预先大体评估程序内存使用的大小。

说到空间复杂度，我想同学们在OJ（online judge）上应该遇到过这种错误，就是超出内存限制，一般OJ对程序运行时的所消耗的内存都有一个限制。

为了避免内存超出限制，这也需要我们对算法占用多大的内存有一个大体的预估。

同样在工程实践中，计算机的内存空间也不是无限的，需要工程师对软件运行时所使用的内存有一个大体评估，这都需要用到算法空间复杂度的分析。

来看一下例子，什么时候的空间复杂度是$O(1)$呢，C++代码如下：

```CPP
int j = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
    j++;
}

```
第一段代码可以看出，随着n的变化，所需开辟的内存空间并不会随着n的变化而变化。即此算法空间复杂度为一个常量，所以表示为大$O(1)$。

什么时候的空间复杂度是$O(n)$？

当消耗空间和输入参数n保持线性增长，这样的空间复杂度为$O(n)$，来看一下这段C++代码
```CPP
int* a = new int(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
    a[i] = i;
}
```

我们定义了一个数组出来，这个数组占用的大小为n，虽然有一个for循环，但没有再分配新的空间，因此，这段代码的空间复杂度主要看第一行即可，随着n的增大，开辟的内存大小呈线性增长，即 $O(n)$。

其他的 $O(n^2)$， $O(n^3)$ 我想大家应该都可以以此例举出来了，**那么思考一下 什么时候空间复杂度是 $O(\log n)$呢？**

空间复杂度是logn的情况确实有些特殊，其实是在**递归的时候，会出现空间复杂度为logn的情况**。

至于如何求递归的空间复杂度，我会在专门写一篇文章来介绍的，敬请期待！




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