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Chore(math-translation-FR-fr): a pack of translations for the math section (#558)

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237
src/algorithms/math/complex-number/README.fr-FR.md Normal file
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@@ -0,0 +1,237 @@
# Nombre complexe
_Read this in other languages:_
[english](README.md).
Un **nombre complexe** est un nombre qui peut s'écrire sous la forme
`a + b * i`, tels que `a` et `b` sont des nombres réels,
et `i` est la solution de l'équation `x^2 = −1`.
Du fait qu'aucun _nombre réel_ ne statisfait l'équation,
`i` est appellé _nombre imaginaire_. Étant donné le nombre complexe `a + b * i`,
`a` est appellé _partie réelle_, et `b`, _partie imaginaire_.
![Complex Number](https://www.mathsisfun.com/numbers/images/complex-example.svg)
Un nombre complexe est donc la combinaison
d'un nombre réel et d'un nombre imaginaire :
![Complex Number](https://www.mathsisfun.com/numbers/images/complex-number.svg)
En géométrie, les nombres complexes étendent le concept
de ligne de nombres sur une dimension à un _plan complexe à deux dimensions_
en utilisant l'axe horizontal pour lepartie réelle
et l'axe vertical pour la partie imaginaire. Le nombre complexe `a + b * i`
peut être identifié avec le point `(a, b)` dans le plan complexe.
Un nombre complexe dont la partie réelle est zéro est dit _imaginaire pur_;
les points pour ces nombres se trouvent sur l'axe vertical du plan complexe.
Un nombre complexe dont la partie imaginaire est zéro
peut être considéré comme un _nombre réel_; son point
se trouve sur l'axe horizontal du plan complexe.
| Nombre complexe | Partie réelle | partie imaginaire | |
| :-------------- | :-----------: | :---------------: | ---------------- |
| 3 + 2i | 3 | 2 | |
| 5 | 5 | **0** | Purely Real |
| −6i | **0** | -6 | Purely Imaginary |
A complex number can be visually represented as a pair of numbers `(a, b)` forming
a vector on a diagram called an _Argand diagram_, representing the _complex plane_.
`Re` is the real axis, `Im` is the imaginary axis, and `i` satisfies `i^2 = −1`.
Un nombre complexe peut être représenté visuellement comme une paire de nombres
`(a, b)` formant un vecteur sur un diagramme appelé _diagramme d'Argand_,
représentant le _plan complexe_.
_Re_ est l'axe réel, _Im_ est l'axe imaginaire et `i` satisfait `i^2 = −1`.
![Complex Number](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/af/Complex_number_illustration.svg)
> Complexe ne veut pas dire compliqué. Cela signifie simplement que
> les deux types de nombres, réels et imaginaires, forment ensemble un complexe
> comme on le dirait d'un complexe de bâtiments (bâtiments réunis).
## Forme polaire
Une manière de définir un point `P` dans le plan complexe, autre que d'utiliser
les coordonnées x et y, consiste à utiliser la distance entre le point `O`, le point
dont les coordonnées sont `(0, 0)` (l'origine), et l'angle sous-tendu
entre l'axe réel positif et le segment de droite `OP` dans le sens antihoraire.
Cette idée conduit à la forme polaire des nombres complexes.
![Polar Form](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7a/Complex_number_illustration_modarg.svg)
The _valeur absolue_ (ou module) d'un nombre complexe `z = x + yi` est:
![Radius](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b59629c801aa0ddcdf17ee489e028fb9f8d4ea75)
L'argument de `z` (parfois appelé « phase » ou « amplitude ») est l'angle
du rayon `OP` avec l'axe des réels positifs, et s'écrit `arg(z)`. Comme
avec le module, l'argument peut être trouvé à partir de la forme rectangulaire `x + yi`:
![Phase](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cbbdd9bb1dd5df86dd2b820b20f82995023e566)
Ensemble, `r` et`φ` donnent une autre façon de représenter les nombres complexes, la
forme polaire, car la combinaison du module et de l'argument suffit à indiquer la
position d'un point sur le plan. Obtenir les coordonnées du rectangle d'origine
à partir de la forme polaire se fait par la formule appelée forme trigonométrique :
![Polar Form](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b03de1e1b7b049880b5e4870b68a57bc180ff6ce)
En utilisant la formule d'Euler, cela peut être écrit comme suit:
![Euler's Form](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a087c772212e7375cb321d83fc1fcc715cd0ed2)
## Opérations de base
### Addition
Pour ajouter deux nombres complexes, nous ajoutons chaque partie séparément :
```text
(a + b * i) + (c + d * i) = (a + c) + (b + d) * i
```
**Exemple**
```text
(3 + 5i) + (4 − 3i) = (3 + 4) + (5 − 3)i = 7 + 2i
```
Dans un plan complexe, l'addition ressemblera à ceci:
![Complex Addition](https://www.mathsisfun.com/algebra/images/complex-plane-vector-add.svg)
### Soustraction
Pour soustraire deux nombres complexes, on soustrait chaque partie séparément :
```text
(a + b * i) - (c + d * i) = (a - c) + (b - d) * i
```
**Exemple**
```text
(3 + 5i) - (4 − 3i) = (3 - 4) + (5 + 3)i = -1 + 8i
```
### Multiplication
Pour multiplier les nombres complexes, chaque partie du premier nombre complexe est multipliée
par chaque partie du deuxième nombre complexe:
On peut utiliser le "FOIL" (parfois traduit PEID en français), acronyme de
**F**irsts (Premiers), **O**uters (Extérieurs), **I**nners (Intérieurs), **L**asts (Derniers)" (
voir [Binomial Multiplication](ttps://www.mathsisfun.com/algebra/polynomials-multiplying.html) pour plus de détails):
![Complex Multiplication](https://www.mathsisfun.com/algebra/images/foil-complex.svg)
- Firsts: `a × c`
- Outers: `a × di`
- Inners: `bi × c`
- Lasts: `bi × di`
En général, cela ressemble à:
```text
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2
```
Mais il existe aussi un moyen plus rapide !
Utiliser cette loi:
```text
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
```
**Exemple**
```text
(3 + 2i)(1 + 7i)
= 3×1 + 3×7i + 2i×1+ 2i×7i
= 3 + 21i + 2i + 14i^2
= 3 + 21i + 2i − 14 (because i^2 = −1)
= −11 + 23i
```
```text
(3 + 2i)(1 + 7i) = (3×1 − 2×7) + (3×7 + 2×1)i = −11 + 23i
```
### Conjugués
En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe z
est le nombre complexe formé de la même partie réelle que z
mais de partie imaginaire opposée.
Un conjugué vois son signe changer au milieu comme suit:
![Complex Conjugate](https://www.mathsisfun.com/numbers/images/complex-conjugate.svg)
Un conjugué est souvent écrit avec un trait suscrit (barre au-dessus):
```text
______
5 − 3i = 5 + 3i
```
Dans un plan complexe, le nombre conjugué sera mirroir par rapport aux axes réels.
![Complex Conjugate](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/69/Complex_conjugate_picture.svg)
### Division
Le conjugué est utiliser pour aider à la division de nombres complexes
L'astuce est de _multiplier le haut et le bas par le conjugué du bas_.
**Exemple**
```text
2 + 3i
------
4 − 5i
```
Multiplier le haut et le bas par le conjugué de `4 − 5i`:
```text
(2 + 3i) * (4 + 5i) 8 + 10i + 12i + 15i^2
= ------------------- = ----------------------
(4 − 5i) * (4 + 5i) 16 + 20i − 20i − 25i^2
```
Et puisque `i^2 = −1`, il s'ensuit que:
```text
8 + 10i + 12i − 15 −7 + 22i −7 22
= ------------------- = -------- = -- + -- * i
16 + 20i − 20i + 25 41 41 41
```
Il existe cependant un moyen plus direct.
Dans l'exemple précédent, ce qui s'est passé en bas était intéressant:
```text
(4 − 5i)(4 + 5i) = 16 + 20i − 20i − 25i
```
Les termes du milieu `(20i − 20i)` s'annule! Et pusique `i^2 = −1` on retrouve:
```text
(4 − 5i)(4 + 5i) = 4^2 + 5^2
```
Ce qui est vraiment un résultat assez simple. La règle générale est:
```text
(a + bi)(a − bi) = a^2 + b^2
```
## Références
- [Wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_complexe)
- [Math is Fun](https://www.mathsisfun.com/numbers/complex-numbers.html)

73
src/algorithms/math/complex-number/README.md
View File

@@ -1,11 +1,14 @@
# Complex Number
A **complex number** is a number that can be expressed in the
_Read this in other languages:_
[français](README.fr-FR.md).
A **complex number** is a number that can be expressed in the
form `a + b * i`, where `a` and `b` are real numbers, and `i` is a solution of
the equation `x^2 = −1`. Because no *real number* satisfies this
equation, `i` is called an *imaginary number*. For the complex
number `a + b * i`, `a` is called the *real part*, and `b` is called
the *imaginary part*.
the equation `x^2 = −1`. Because no _real number_ satisfies this
equation, `i` is called an _imaginary number_. For the complex
number `a + b * i`, `a` is called the _real part_, and `b` is called
the _imaginary part_.
![Complex Number](https://www.mathsisfun.com/numbers/images/complex-example.svg)
@@ -13,56 +16,56 @@ A Complex Number is a combination of a Real Number and an Imaginary Number:
![Complex Number](https://www.mathsisfun.com/numbers/images/complex-number.svg)
Geometrically, complex numbers extend the concept of the one-dimensional number
line to the *two-dimensional complex plane* by using the horizontal axis for the
real part and the vertical axis for the imaginary part. The complex
number `a + b * i` can be identified with the point `(a, b)` in the complex plane.
Geometrically, complex numbers extend the concept of the one-dimensional number
line to the _two-dimensional complex plane_ by using the horizontal axis for the
real part and the vertical axis for the imaginary part. The complex
number `a + b * i` can be identified with the point `(a, b)` in the complex plane.
A complex number whose real part is zero is said to be *purely imaginary*; the
A complex number whose real part is zero is said to be _purely imaginary_; the
points for these numbers lie on the vertical axis of the complex plane. A complex
number whose imaginary part is zero can be viewed as a *real number*; its point
number whose imaginary part is zero can be viewed as a _real number_; its point
lies on the horizontal axis of the complex plane.
| Complex Number | Real Part | Imaginary Part | |
| :------------- | :-------: | :------------: | --- |
| 3 + 2i | 3 | 2 | |
| 5 | 5 | **0** | Purely Real |
| −6i | **0** | -6 | Purely Imaginary |
| Complex Number | Real Part | Imaginary Part | |
| :------------- | :-------: | :------------: | ---------------- |
| 3 + 2i | 3 | 2 | |
| 5 | 5 | **0** | Purely Real |
| −6i | **0** | -6 | Purely Imaginary |
A complex number can be visually represented as a pair of numbers `(a, b)` forming
a vector on a diagram called an *Argand diagram*, representing the *complex plane*.
A complex number can be visually represented as a pair of numbers `(a, b)` forming
a vector on a diagram called an _Argand diagram_, representing the _complex plane_.
`Re` is the real axis, `Im` is the imaginary axis, and `i` satisfies `i^2 = −1`.
![Complex Number](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/af/Complex_number_illustration.svg)
> Complex does not mean complicated. It means the two types of numbers, real and
imaginary, together form a complex, just like a building complex (buildings
joined together).
> Complex does not mean complicated. It means the two types of numbers, real and
> imaginary, together form a complex, just like a building complex (buildings
> joined together).
## Polar Form
An alternative way of defining a point `P` in the complex plane, other than using
An alternative way of defining a point `P` in the complex plane, other than using
the x- and y-coordinates, is to use the distance of the point from `O`, the point
whose coordinates are `(0, 0)` (the origin), together with the angle subtended
between the positive real axis and the line segment `OP` in a counterclockwise
whose coordinates are `(0, 0)` (the origin), together with the angle subtended
between the positive real axis and the line segment `OP` in a counterclockwise
direction. This idea leads to the polar form of complex numbers.
![Polar Form](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7a/Complex_number_illustration_modarg.svg)
The *absolute value* (or modulus or magnitude) of a complex number `z = x + yi` is:
The _absolute value_ (or modulus or magnitude) of a complex number `z = x + yi` is:
![Radius](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b59629c801aa0ddcdf17ee489e028fb9f8d4ea75)
The argument of `z` (in many applications referred to as the "phase") is the angle
of the radius `OP` with the positive real axis, and is written as `arg(z)`. As
of the radius `OP` with the positive real axis, and is written as `arg(z)`. As
with the modulus, the argument can be found from the rectangular form `x+yi`:
![Phase](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cbbdd9bb1dd5df86dd2b820b20f82995023e566)
Together, `r` and `φ` give another way of representing complex numbers, the
polar form, as the combination of modulus and argument fully specify the
position of a point on the plane. Recovering the original rectangular
co-ordinates from the polar form is done by the formula called trigonometric
Together, `r` and `φ` give another way of representing complex numbers, the
polar form, as the combination of modulus and argument fully specify the
position of a point on the plane. Recovering the original rectangular
co-ordinates from the polar form is done by the formula called trigonometric
form:
![Polar Form](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b03de1e1b7b049880b5e4870b68a57bc180ff6ce)
@@ -107,7 +110,7 @@ To subtract two complex numbers we subtract each part separately:
### Multiplying
To multiply complex numbers each part of the first complex number gets multiplied
To multiply complex numbers each part of the first complex number gets multiplied
by each part of the second complex number:
Just use "FOIL", which stands for "**F**irsts, **O**uters, **I**nners, **L**asts" (
@@ -138,7 +141,7 @@ Use this rule:
**Example**
```text
(3 + 2i)(1 + 7i)
(3 + 2i)(1 + 7i)
= 3×1 + 3×7i + 2i×1+ 2i×7i
= 3 + 21i + 2i + 14i^2
= 3 + 21i + 2i − 14 (because i^2 = −1)
@@ -164,7 +167,7 @@ ______
5 − 3i = 5 + 3i
```
On the complex plane the conjugate number will be mirrored against real axes.
On the complex plane the conjugate number will be mirrored against real axes.
![Complex Conjugate](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/69/Complex_conjugate_picture.svg)
@@ -172,7 +175,7 @@ On the complex plane the conjugate number will be mirrored against real axes.
The conjugate is used to help complex division.
The trick is to *multiply both top and bottom by the conjugate of the bottom*.
The trick is to _multiply both top and bottom by the conjugate of the bottom_.
**Example**
@@ -207,7 +210,7 @@ In the previous example, what happened on the bottom was interesting:
(4 − 5i)(4 + 5i) = 16 + 20i − 20i − 25i
```
The middle terms `(20i − 20i)` cancel out! Also `i^2 = −1` so we end up with this:
The middle terms `(20i − 20i)` cancel out! Also `i^2 = −1` so we end up with this:
```text
(4 − 5i)(4 + 5i) = 4^2 + 5^2