Bug fixes and improvements. (#1780)

* Fix the "尾递归优化" to "递归深度优化" in quick_sort.

* Update landing pages.

* Sync zh and zh-hant versions.

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zh-hant/docs/chapter_greedy/max_product_cutting_problem.md

@@ -78,8 +78,8 @@ $$
 
 ### 正確性證明
 
-使用反證法，只分析 $n \geq 3$ 的情況。
+使用反證法，只分析 $n \geq 4$ 的情況。
 
-1. **所有因子 $\leq 3$** ：假設最優切分方案中存在 $\geq 4$ 的因子 $x$ ，那麼一定可以將其繼續劃分為 $2(x-2)$ ，從而獲得更大的乘積。這與假設矛盾。
+1. **所有因子 $\leq 3$** ：假設最優切分方案中存在 $\geq 4$ 的因子 $x$ ，那麼一定可以將其繼續劃分為 $2(x-2)$ ，從而獲得更大（或相等）的乘積。這與假設矛盾。
 2. **切分方案不包含 $1$** ：假設最優切分方案中存在一個因子 $1$ ，那麼它一定可以合併入另外一個因子中，以獲得更大的乘積。這與假設矛盾。
 3. **切分方案最多包含兩個 $2$** ：假設最優切分方案中包含三個 $2$ ，那麼一定可以替換為兩個 $3$ ，乘積更大。這與假設矛盾。