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This commit is contained in:
Yudong Jin
@ -1,14 +1,14 @@
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# 二叉树数组表示
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在链表表示下，二叉树的存储单元为节点 `TreeNode` ，节点之间通过指针相连接。在上节中，我们学习了在链表表示下的二叉树的各项基本操作。
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在链表表示下，二叉树的存储单元为节点 `TreeNode` ，节点之间通过指针相连接。上一节介绍了链表表示下的二叉树的各项基本操作。
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那么，我们能否用数组来表示二叉树呢？答案是肯定的。
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## 表示完美二叉树
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先分析一个简单案例。给定一个完美二叉树，我们将所有节点按照层序遍历的顺序存储在一个数组中，则每个节点都对应唯一的数组索引。
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先分析一个简单案例。给定一棵完美二叉树，我们将所有节点按照层序遍历的顺序存储在一个数组中，则每个节点都对应唯一的数组索引。
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根据层序遍历的特性，我们可以推导出父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”：**若节点的索引为 $i$ ，则该节点的左子节点索引为 $2i + 1$ ，右子节点索引为 $2i + 2$** 。下图展示了各个节点索引之间的映射关系。
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根据层序遍历的特性，我们可以推导出父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”：**若某节点的索引为 $i$ ，则该节点的左子节点索引为 $2i + 1$ ，右子节点索引为 $2i + 2$** 。下图展示了各个节点索引之间的映射关系。
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@ -18,11 +18,11 @@
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完美二叉树是一个特例，在二叉树的中间层通常存在许多 $\text{None}$ 。由于层序遍历序列并不包含这些 $\text{None}$ ，因此我们无法仅凭该序列来推测 $\text{None}$ 的数量和分布位置。**这意味着存在多种二叉树结构都符合该层序遍历序列**。
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如下图所示，给定一个非完美二叉树，上述的数组表示方法已经失效。
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如下图所示，给定一棵非完美二叉树，上述数组表示方法已经失效。
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为了解决此问题，**我们可以考虑在层序遍历序列中显式地写出所有 $\text{None}$** 。如下图所示，这样处理后，层序遍历序列就可以唯一表示二叉树了。
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为了解决此问题，**我们可以考虑在层序遍历序列中显式地写出所有 $\text{None}$** 。如下图所示，这样处理后，层序遍历序列就可以唯一表示二叉树了。示例代码如下：
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=== "Python"
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@ -126,7 +126,7 @@
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以下代码实现了一个基于数组表示的二叉树，包括以下几种操作。
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以下代码实现了一棵基于数组表示的二叉树，包括以下几种操作。
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- 给定某节点，获取它的值、左（右）子节点、父节点。
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- 获取前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历序列。
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@ -135,7 +135,7 @@
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[file]{array_binary_tree}-[class]{array_binary_tree}-[func]{}
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```
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## 优势与局限性
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## 优点与局限性
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二叉树的数组表示主要有以下优点。
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@ -1,16 +1,16 @@
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# AVL 树 *
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在二叉搜索树章节中，我们提到了在多次插入和删除操作后，二叉搜索树可能退化为链表。这种情况下，所有操作的时间复杂度将从 $O(\log n)$ 恶化为 $O(n)$ 。
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在“二叉搜索树”章节中，我们提到，在多次插入和删除操作后，二叉搜索树可能退化为链表。在这种情况下，所有操作的时间复杂度将从 $O(\log n)$ 恶化为 $O(n)$ 。
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如下图所示，经过两次删除节点操作，这个二叉搜索树便会退化为链表。
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如下图所示，经过两次删除节点操作，这棵二叉搜索树便会退化为链表。
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再例如，在下图的完美二叉树中插入两个节点后，树将严重向左倾斜，查找操作的时间复杂度也随之恶化。
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再例如，在下图所示的完美二叉树中插入两个节点后，树将严重向左倾斜，查找操作的时间复杂度也随之恶化。
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G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「AVL 树」。论文中详细描述了一系列操作，确保在持续添加和删除节点后，AVL 树不会退化，从而使得各种操作的时间复杂度保持在 $O(\log n)$ 级别。换句话说，在需要频繁进行增删查改操作的场景中，AVL 树能始终保持高效的数据操作性能，具有很好的应用价值。
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1962 年 G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「AVL 树」。论文中详细描述了一系列操作，确保在持续添加和删除节点后，AVL 树不会退化，从而使得各种操作的时间复杂度保持在 $O(\log n)$ 级别。换句话说，在需要频繁进行增删查改操作的场景中，AVL 树能始终保持高效的数据操作性能，具有很好的应用价值。
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## AVL 树常见术语
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@ -18,7 +18,7 @@ AVL 树既是二叉搜索树也是平衡二叉树，同时满足这两类二叉
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### 节点高度
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由于 AVL 树的相关操作需要获取节点高度，因此我们需要为节点类添加 `height` 变量。
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由于 AVL 树的相关操作需要获取节点高度，因此我们需要为节点类添加 `height` 变量：
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=== "Python"
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@ -206,7 +206,7 @@ AVL 树既是二叉搜索树也是平衡二叉树，同时满足这两类二叉
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```
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“节点高度”是指从该节点到其最远叶节点的距离，即所经过的“边”的数量。需要特别注意的是，叶节点的高度为 0 ，而空节点的高度为 -1 。我们将创建两个工具函数，分别用于获取和更新节点的高度。
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“节点高度”是指从该节点到其最远叶节点的距离，即所经过的“边”的数量。需要特别注意的是，叶节点的高度为 $0$ ，而空节点的高度为 $-1$ 。我们将创建两个工具函数，分别用于获取和更新节点的高度：
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```src
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[file]{avl_tree}-[class]{a_v_l_tree}-[func]{update_height}
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@ -214,7 +214,7 @@ AVL 树既是二叉搜索树也是平衡二叉树，同时满足这两类二叉
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### 节点平衡因子
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节点的「平衡因子 balance factor」定义为节点左子树的高度减去右子树的高度，同时规定空节点的平衡因子为 0 。我们同样将获取节点平衡因子的功能封装成函数，方便后续使用。
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节点的「平衡因子 balance factor」定义为节点左子树的高度减去右子树的高度，同时规定空节点的平衡因子为 $0$ 。我们同样将获取节点平衡因子的功能封装成函数，方便后续使用：
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```src
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[file]{avl_tree}-[class]{a_v_l_tree}-[func]{balance_factor}
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@ -228,11 +228,11 @@ AVL 树既是二叉搜索树也是平衡二叉树，同时满足这两类二叉
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AVL 树的特点在于“旋转”操作，它能够在不影响二叉树的中序遍历序列的前提下，使失衡节点重新恢复平衡。换句话说，**旋转操作既能保持“二叉搜索树”的性质，也能使树重新变为“平衡二叉树”**。
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我们将平衡因子绝对值 $> 1$ 的节点称为“失衡节点”。根据节点失衡情况的不同，旋转操作分为四种：右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋。下面我们将详细介绍这些旋转操作。
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我们将平衡因子绝对值 $> 1$ 的节点称为“失衡节点”。根据节点失衡情况的不同，旋转操作分为四种：右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋。下面详细介绍这些旋转操作。
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### 右旋
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如下图所示，节点下方为平衡因子。从底至顶看，二叉树中首个失衡节点是“节点 3”。我们关注以该失衡节点为根节点的子树，将该节点记为 `node` ，其左子节点记为 `child` ，执行“右旋”操作。完成右旋后，子树已经恢复平衡，并且仍然保持二叉搜索树的特性。
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如下图所示，节点下方为平衡因子。从底至顶看，二叉树中首个失衡节点是“节点 3”。我们关注以该失衡节点为根节点的子树，将该节点记为 `node` ，其左子节点记为 `child` ，执行“右旋”操作。完成右旋后，子树恢复平衡，并且仍然保持二叉搜索树的性质。
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=== "<1>"
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@ -250,7 +250,7 @@ AVL 树的特点在于“旋转”操作，它能够在不影响二叉树的中
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“向右旋转”是一种形象化的说法，实际上需要通过修改节点指针来实现，代码如下所示。
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“向右旋转”是一种形象化的说法，实际上需要通过修改节点指针来实现，代码如下所示：
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```src
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[file]{avl_tree}-[class]{a_v_l_tree}-[func]{right_rotate}
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@ -258,7 +258,7 @@ AVL 树的特点在于“旋转”操作，它能够在不影响二叉树的中
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### 左旋
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相应的，如果考虑上述失衡二叉树的“镜像”，则需要执行下图所示的“左旋”操作。
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相应地，如果考虑上述失衡二叉树的“镜像”，则需要执行下图所示的“左旋”操作。
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@ -266,7 +266,7 @@ AVL 树的特点在于“旋转”操作，它能够在不影响二叉树的中
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可以观察到，**右旋和左旋操作在逻辑上是镜像对称的，它们分别解决的两种失衡情况也是对称的**。基于对称性，我们只需将右旋的实现代码中的所有的 `left` 替换为 `right` ，将所有的 `right` 替换为 `left` ，即可得到左旋的实现代码。
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可以观察到，**右旋和左旋操作在逻辑上是镜像对称的，它们分别解决的两种失衡情况也是对称的**。基于对称性，我们只需将右旋的实现代码中的所有的 `left` 替换为 `right` ，将所有的 `right` 替换为 `left` ，即可得到左旋的实现代码：
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```src
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[file]{avl_tree}-[class]{a_v_l_tree}-[func]{left_rotate}
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@ -280,13 +280,13 @@ AVL 树的特点在于“旋转”操作，它能够在不影响二叉树的中
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### 先右旋后左旋
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如下图所示，对于上述失衡二叉树的镜像情况，需要先对 `child` 执行“右旋”，然后对 `node` 执行“左旋”。
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如下图所示，对于上述失衡二叉树的镜像情况，需要先对 `child` 执行“右旋”，再对 `node` 执行“左旋”。
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### 旋转的选择
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下图展示的四种失衡情况与上述案例逐个对应，分别需要采用右旋、左旋、先右后左、先左后右的旋转操作。
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下图展示的四种失衡情况与上述案例逐个对应，分别需要采用右旋、先左旋后右旋、先右旋后左旋、左旋的操作。
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@ -296,12 +296,12 @@ AVL 树的特点在于“旋转”操作，它能够在不影响二叉树的中
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| 失衡节点的平衡因子 | 子节点的平衡因子 | 应采用的旋转方法 |
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| ------------------- | ---------------- | ---------------- |
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| $> 1$ （即左偏树） | $\geq 0$ | 右旋 |
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| $> 1$ （即左偏树） | $<0$ | 先左旋后右旋 |
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| $< -1$ （即右偏树） | $\leq 0$ | 左旋 |
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| $< -1$ （即右偏树） | $>0$ | 先右旋后左旋 |
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| $> 1$ （左偏树） | $\geq 0$ | 右旋 |
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| $> 1$ （左偏树） | $<0$ | 先左旋后右旋 |
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| $< -1$ （右偏树） | $\leq 0$ | 左旋 |
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| $< -1$ （右偏树） | $>0$ | 先右旋后左旋 |
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为了便于使用，我们将旋转操作封装成一个函数。**有了这个函数，我们就能对各种失衡情况进行旋转，使失衡节点重新恢复平衡**。
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为了便于使用，我们将旋转操作封装成一个函数。**有了这个函数，我们就能对各种失衡情况进行旋转，使失衡节点重新恢复平衡**。代码如下所示：
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```src
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[file]{avl_tree}-[class]{a_v_l_tree}-[func]{rotate}
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@ -311,7 +311,7 @@ AVL 树的特点在于“旋转”操作，它能够在不影响二叉树的中
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### 插入节点
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AVL 树的节点插入操作与二叉搜索树在主体上类似。唯一的区别在于，在 AVL 树中插入节点后，从该节点到根节点的路径上可能会出现一系列失衡节点。因此，**我们需要从这个节点开始，自底向上执行旋转操作，使所有失衡节点恢复平衡**。
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AVL 树的节点插入操作与二叉搜索树在主体上类似。唯一的区别在于，在 AVL 树中插入节点后，从该节点到根节点的路径上可能会出现一系列失衡节点。因此，**我们需要从这个节点开始，自底向上执行旋转操作，使所有失衡节点恢复平衡**。代码如下所示：
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```src
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[file]{avl_tree}-[class]{a_v_l_tree}-[func]{insert_helper}
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@ -319,7 +319,7 @@ AVL 树的节点插入操作与二叉搜索树在主体上类似。唯一的区
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### 删除节点
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类似地，在二叉搜索树的删除节点方法的基础上，需要从底至顶地执行旋转操作，使所有失衡节点恢复平衡。
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类似地，在二叉搜索树的删除节点方法的基础上，需要从底至顶执行旋转操作，使所有失衡节点恢复平衡。代码如下所示：
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```src
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[file]{avl_tree}-[class]{a_v_l_tree}-[func]{remove_helper}
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@ -31,7 +31,7 @@
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=== "<4>"
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二叉搜索树的查找操作与二分查找算法的工作原理一致，都是每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 $O(\log n)$ 时间。
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二叉搜索树的查找操作与二分查找算法的工作原理一致，都是每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 $O(\log n)$ 时间。示例代码如下：
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```src
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[file]{binary_search_tree}-[class]{binary_search_tree}-[func]{search}
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@ -59,11 +59,11 @@
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### 删除节点
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先在二叉树中查找到目标节点，再将其从二叉树中删除。
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先在二叉树中查找到目标节点，再将其删除。
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与插入节点类似，我们需要保证在删除操作完成后，二叉搜索树的“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质仍然满足。
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因此，我们需要根据目标节点的子节点数量，共分为 0、1 和 2 这三种情况，执行对应的删除节点操作。
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因此，我们根据目标节点的子节点数量，分 0、1 和 2 三种情况，执行对应的删除节点操作。
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如下图所示，当待删除节点的度为 $0$ 时，表示该节点是叶节点，可以直接删除。
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@ -73,12 +73,12 @@
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当待删除节点的度为 $2$ 时，我们无法直接删除它，而需要使用一个节点替换该节点。由于要保持二叉搜索树“左 $<$ 根 $<$ 右”的性质，**因此这个节点可以是右子树的最小节点或左子树的最大节点**。
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当待删除节点的度为 $2$ 时，我们无法直接删除它，而需要使用一个节点替换该节点。由于要保持二叉搜索树“左子树 $<$ 根节点 $<$ 右子树”的性质，**因此这个节点可以是右子树的最小节点或左子树的最大节点**。
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假设我们选择右子树的最小节点（即中序遍历的下一个节点），则删除操作流程如下图所示。
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假设我们选择右子树的最小节点（中序遍历的下一个节点），则删除操作流程如下图所示。
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1. 找到待删除节点在“中序遍历序列”中的下一个节点，记为 `tmp` 。
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2. 将 `tmp` 的值覆盖待删除节点的值，并在树中递归删除节点 `tmp` 。
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2. 用 `tmp` 的值覆盖待删除节点的值，并在树中递归删除节点 `tmp` 。
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=== "<1>"
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@ -92,7 +92,7 @@
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=== "<4>"
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删除节点操作同样使用 $O(\log n)$ 时间，其中查找待删除节点需要 $O(\log n)$ 时间，获取中序遍历后继节点需要 $O(\log n)$ 时间。
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删除节点操作同样使用 $O(\log n)$ 时间，其中查找待删除节点需要 $O(\log n)$ 时间，获取中序遍历后继节点需要 $O(\log n)$ 时间。示例代码如下：
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```src
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[file]{binary_search_tree}-[class]{binary_search_tree}-[func]{remove}
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@ -110,7 +110,7 @@
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## 二叉搜索树的效率
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给定一组数据，我们考虑使用数组或二叉搜索树存储。观察下表，二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，具有稳定且高效的性能表现。只有在高频添加、低频查找删除的数据适用场景下，数组比二叉搜索树的效率更高。
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给定一组数据，我们考虑使用数组或二叉搜索树存储。观察下表，二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，具有稳定且高效的性能。只有在高频添加、低频查找删除数据的场景下，数组比二叉搜索树的效率更高。
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<p align="center"> 表 <id> 数组与搜索树的效率对比 </p>
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@ -124,7 +124,7 @@
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然而，如果我们在二叉搜索树中不断地插入和删除节点，可能导致二叉树退化为下图所示的链表，这时各种操作的时间复杂度也会退化为 $O(n)$ 。
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## 二叉搜索树常见应用
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@ -1,6 +1,6 @@
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# 二叉树
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「二叉树 binary tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着“一分为二”的分治逻辑。与链表类似，二叉树的基本单元是节点，每个节点包含：值、左子节点引用、右子节点引用。
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「二叉树 binary tree」是一种非线性数据结构，代表“祖先”与“后代”之间的派生关系，体现了“一分为二”的分治逻辑。与链表类似，二叉树的基本单元是节点，每个节点包含值、左子节点引用和右子节点引用。
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=== "Python"
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@ -205,7 +205,7 @@
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!!! tip
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请注意，我们通常将“高度”和“深度”定义为“走过边的数量”，但有些题目或教材可能会将其定义为“走过节点的数量”。在这种情况下，高度和深度都需要加 1 。
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请注意，我们通常将“高度”和“深度”定义为“经过的边的数量”，但有些题目或教材可能会将其定义为“经过的节点的数量”。在这种情况下，高度和深度都需要加 1 。
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## 二叉树基本操作
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@ -223,7 +223,7 @@
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n3 = TreeNode(val=3)
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n4 = TreeNode(val=4)
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n5 = TreeNode(val=5)
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# 构建引用指向（即指针）
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# 构建节点之间的引用（指针）
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n1.left = n2
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n1.right = n3
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n2.left = n4
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@ -240,7 +240,7 @@
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TreeNode* n3 = new TreeNode(3);
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TreeNode* n4 = new TreeNode(4);
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TreeNode* n5 = new TreeNode(5);
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// 构建引用指向（即指针）
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// 构建节点之间的引用（指针）
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n1->left = n2;
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n1->right = n3;
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n2->left = n4;
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@ -256,7 +256,7 @@
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TreeNode n3 = new TreeNode(3);
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TreeNode n4 = new TreeNode(4);
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TreeNode n5 = new TreeNode(5);
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// 构建引用指向（即指针）
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// 构建节点之间的引用（指针）
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n1.left = n2;
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n1.right = n3;
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n2.left = n4;
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@ -273,7 +273,7 @@
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TreeNode n3 = new(3);
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TreeNode n4 = new(4);
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TreeNode n5 = new(5);
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// 构建引用指向（即指针）
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// 构建节点之间的引用（指针）
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n1.left = n2;
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n1.right = n3;
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n2.left = n4;
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@ -290,7 +290,7 @@
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n3 := NewTreeNode(3)
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n4 := NewTreeNode(4)
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n5 := NewTreeNode(5)
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// 构建引用指向（即指针）
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// 构建节点之间的引用（指针）
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n1.Left = n2
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n1.Right = n3
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n2.Left = n4
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@ -306,7 +306,7 @@
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let n3 = TreeNode(x: 3)
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let n4 = TreeNode(x: 4)
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let n5 = TreeNode(x: 5)
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// 构建引用指向（即指针）
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// 构建节点之间的引用（指针）
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n1.left = n2
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n1.right = n3
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n2.left = n4
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@ -323,7 +323,7 @@
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n3 = new TreeNode(3),
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n4 = new TreeNode(4),
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n5 = new TreeNode(5);
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// 构建引用指向（即指针）
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// 构建节点之间的引用（指针）
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n1.left = n2;
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n1.right = n3;
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n2.left = n4;
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@ -340,7 +340,7 @@
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n3 = new TreeNode(3),
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n4 = new TreeNode(4),
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n5 = new TreeNode(5);
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// 构建引用指向（即指针）
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// 构建节点之间的引用（指针）
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n1.left = n2;
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n1.right = n3;
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n2.left = n4;
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@ -357,7 +357,7 @@
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TreeNode n3 = new TreeNode(3);
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TreeNode n4 = new TreeNode(4);
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TreeNode n5 = new TreeNode(5);
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// 构建引用指向（即指针）
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// 构建节点之间的引用（指针）
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n1.left = n2;
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n1.right = n3;
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n2.left = n4;
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@ -373,7 +373,7 @@
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let n3 = TreeNode::new(3);
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let n4 = TreeNode::new(4);
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let n5 = TreeNode::new(5);
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// 构建引用指向（即指针）
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// 构建节点之间的引用（指针）
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n1.borrow_mut().left = Some(n2.clone());
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n1.borrow_mut().right = Some(n3);
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n2.borrow_mut().left = Some(n4);
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@ -390,7 +390,7 @@
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TreeNode *n3 = newTreeNode(3);
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TreeNode *n4 = newTreeNode(4);
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TreeNode *n5 = newTreeNode(5);
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// 构建引用指向（即指针）
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// 构建节点之间的引用（指针）
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n1->left = n2;
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n1->right = n3;
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n2->left = n4;
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@ -546,13 +546,13 @@
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!!! note
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需要注意的是，插入节点可能会改变二叉树的原有逻辑结构，而删除节点通常意味着删除该节点及其所有子树。因此，在二叉树中，插入与删除操作通常是由一套操作配合完成的，以实现有实际意义的操作。
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需要注意的是，插入节点可能会改变二叉树的原有逻辑结构，而删除节点通常意味着删除该节点及其所有子树。因此，在二叉树中，插入与删除通常是由一套操作配合完成的，以实现有实际意义的操作。
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## 常见二叉树类型
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### 完美二叉树
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「完美二叉树 perfect binary tree」所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中，叶节点的度为 $0$ ，其余所有节点的度都为 $2$ ；若树高度为 $h$ ，则节点总数为 $2^{h+1} - 1$ ，呈现标准的指数级关系，反映了自然界中常见的细胞分裂现象。
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如下图所示，「完美二叉树 perfect binary tree」所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中，叶节点的度为 $0$ ，其余所有节点的度都为 $2$ ；若树的高度为 $h$ ，则节点总数为 $2^{h+1} - 1$ ，呈现标准的指数级关系，反映了自然界中常见的细胞分裂现象。
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!!! tip
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@ -580,20 +580,20 @@
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## 二叉树的退化
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下图展示了二叉树的理想与退化状态。当二叉树的每层节点都被填满时，达到“完美二叉树”；而当所有节点都偏向一侧时，二叉树退化为“链表”。
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下图展示了二叉树的理想结构与退化结构。当二叉树的每层节点都被填满时，达到“完美二叉树”；而当所有节点都偏向一侧时，二叉树退化为“链表”。
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- 完美二叉树是理想情况，可以充分发挥二叉树“分治”的优势。
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- 链表则是另一个极端，各项操作都变为线性操作，时间复杂度退化至 $O(n)$ 。
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如下表所示，在最佳和最差结构下，二叉树的叶节点数量、节点总数、高度等达到极大或极小值。
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如下表所示，在最佳结构和最差结构下，二叉树的叶节点数量、节点总数、高度等达到极大值或极小值。
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<p align="center"> 表 <id> 二叉树的最佳与最差情况 </p>
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<p align="center"> 表 <id> 二叉树的最佳结构与最差结构 </p>
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| | 完美二叉树 | 链表 |
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| ----------------------- | ------------------ | ------- |
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| 第 $i$ 层的节点数量 | $2^{i-1}$ | $1$ |
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| 高度 $h$ 树的叶节点数量 | $2^h$ | $1$ |
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| 高度 $h$ 树的节点总数 | $2^{h+1} - 1$ | $h + 1$ |
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| 节点总数 $n$ 树的高度 | $\log_2 (n+1) - 1$ | $n - 1$ |
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| | 完美二叉树 | 链表 |
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| --------------------------- | ------------------ | ------- |
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| 第 $i$ 层的节点数量 | $2^{i-1}$ | $1$ |
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| 高度为 $h$ 的树的叶节点数量 | $2^h$ | $1$ |
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| 高度为 $h$ 的树的节点总数 | $2^{h+1} - 1$ | $h + 1$ |
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| 节点总数为 $n$ 的树的高度 | $\log_2 (n+1) - 1$ | $n - 1$ |
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@ -8,13 +8,13 @@
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如下图所示，「层序遍历 level-order traversal」从顶部到底部逐层遍历二叉树，并在每一层按照从左到右的顺序访问节点。
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层序遍历本质上属于「广度优先遍历 breadth-first traversal」，它体现了一种“一圈一圈向外扩展”的逐层遍历方式。
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层序遍历本质上属于「广度优先遍历 breadth-first traversal, BFS」，它体现了一种“一圈一圈向外扩展”的逐层遍历方式。
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### 代码实现
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广度优先遍历通常借助“队列”来实现。队列遵循“先进先出”的规则，而广度优先遍历则遵循“逐层推进”的规则，两者背后的思想是一致的。
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广度优先遍历通常借助“队列”来实现。队列遵循“先进先出”的规则，而广度优先遍历则遵循“逐层推进”的规则，两者背后的思想是一致的。实现代码如下：
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```src
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[file]{binary_tree_bfs}-[class]{}-[func]{level_order}
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@ -27,11 +27,11 @@
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## 前序、中序、后序遍历
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相应地，前序、中序和后序遍历都属于「深度优先遍历 depth-first traversal」，它体现了一种“先走到尽头，再回溯继续”的遍历方式。
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相应地，前序、中序和后序遍历都属于「深度优先遍历 depth-first traversal, DFS」，它体现了一种“先走到尽头，再回溯继续”的遍历方式。
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下图展示了对二叉树进行深度优先遍历的工作原理。**深度优先遍历就像是绕着整个二叉树的外围“走”一圈**，在每个节点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历和后序遍历。
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下图展示了对二叉树进行深度优先遍历的工作原理。**深度优先遍历就像是绕着整棵二叉树的外围“走”一圈**，在每个节点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历和后序遍历。
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### 代码实现
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@ -41,9 +41,9 @@
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[file]{binary_tree_dfs}-[class]{}-[func]{post_order}
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```
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!!! note
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!!! tip
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深度优先搜索也可以基于迭代实现，有兴趣的同学可以自行研究。
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深度优先搜索也可以基于迭代实现，有兴趣的读者可以自行研究。
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下图展示了前序遍历二叉树的递归过程，其可分为“递”和“归”两个逆向的部分。
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@ -8,6 +8,6 @@
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!!! abstract
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参天大树充满生命力，其根深叶茂，分枝扶疏。
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参天大树充满生命力，根深叶茂，分枝扶疏。
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它为我们展现了数据分治的生动形态。
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@ -8,25 +8,25 @@
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- 二叉树的初始化、节点插入和节点删除操作与链表操作方法类似。
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- 常见的二叉树类型有完美二叉树、完全二叉树、完满二叉树和平衡二叉树。完美二叉树是最理想的状态，而链表是退化后的最差状态。
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- 二叉树可以用数组表示，方法是将节点值和空位按层序遍历顺序排列，并根据父节点与子节点之间的索引映射关系来实现指针。
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- 二叉树的层序遍历是一种广度优先搜索方法，它体现了“一圈一圈向外”的分层遍历方式，通常通过队列来实现。
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- 前序、中序、后序遍历皆属于深度优先搜索，它们体现了“走到尽头，再回头继续”的回溯遍历方式，通常使用递归来实现。
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- 二叉树的层序遍历是一种广度优先搜索方法，它体现了“一圈一圈向外扩展”的逐层遍历方式，通常通过队列来实现。
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- 前序、中序、后序遍历皆属于深度优先搜索，它们体现了“先走到尽头，再回溯继续”的遍历方式，通常使用递归来实现。
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- 二叉搜索树是一种高效的元素查找数据结构，其查找、插入和删除操作的时间复杂度均为 $O(\log n)$ 。当二叉搜索树退化为链表时，各项时间复杂度会劣化至 $O(n)$ 。
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- AVL 树，也称为平衡二叉搜索树，它通过旋转操作，确保在不断插入和删除节点后，树仍然保持平衡。
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- AVL 树，也称平衡二叉搜索树，它通过旋转操作确保在不断插入和删除节点后树仍然保持平衡。
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- AVL 树的旋转操作包括右旋、左旋、先右旋再左旋、先左旋再右旋。在插入或删除节点后，AVL 树会从底向顶执行旋转操作，使树重新恢复平衡。
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### Q & A
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!!! question "对于只有一个节点的二叉树，树的高度和根节点的深度都是 $0$ 吗？"
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是的，因为高度和深度通常定义为“走过边的数量”。
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是的，因为高度和深度通常定义为“经过的边的数量”。
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!!! question "二叉树中的插入与删除一般都是由一套操作配合完成的，这里的“一套操作”指什么呢？可以理解为资源的子节点的资源释放吗？"
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!!! question "二叉树中的插入与删除一般由一套操作配合完成，这里的“一套操作”指什么呢？可以理解为资源的子节点的资源释放吗？"
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拿二叉搜索树来举例，删除节点操作要分为三种情况处理，其中每种情况都需要进行多个步骤的节点操作。
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拿二叉搜索树来举例，删除节点操作要分三种情况处理，其中每种情况都需要进行多个步骤的节点操作。
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!!! question "为什么 DFS 遍历二叉树有前、中、后三种顺序，分别有什么用呢？"
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DFS 的前、中、后序遍历和访问数组的顺序类似，是遍历二叉树的基本方法，利用这三种遍历方法，我们可以得到一个特定顺序的遍历结果。例如在二叉搜索树中，由于节点大小满足 `左子节点值 < 根节点值 < 右子节点值` ，因此我们只要按照 `左->根->右` 的优先级遍历树，就可以获得有序的节点序列。
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与顺序和逆序遍历数组类似，前序、中序、后序遍历是三种二叉树遍历方法，我们可以使用它们得到一个特定顺序的遍历结果。例如在二叉搜索树中，由于节点大小满足 `左子节点值 < 根节点值 < 右子节点值` ，因此我们只要按照 `左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右` 的优先级遍历树，就可以获得有序的节点序列。
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!!! question "右旋操作是处理失衡节点 `node`、`child`、`grand_child` 之间的关系，那 `node` 的父节点和 `node` 原来的连接不需要维护吗？右旋操作后岂不是断掉了？"
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@ -36,9 +36,9 @@
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主要看方法的使用范围，如果方法只在类内部使用，那么就设计为 `private` 。例如，用户单独调用 `updateHeight()` 是没有意义的，它只是插入、删除操作中的一步。而 `height()` 是访问节点高度，类似于 `vector.size()` ，因此设置成 `public` 以便使用。
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!!! question "请问如何从一组输入数据构建一个二叉搜索树？根节点的选择是不是很重要？"
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!!! question "如何从一组输入数据构建一棵二叉搜索树？根节点的选择是不是很重要？"
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是的，构建树的方法已在二叉搜索树代码中的 `build_tree()` 方法中给出。至于根节点的选择，我们通常会将输入数据排序，然后用中点元素作为根节点，再递归地构建左右子树。这样做可以最大程度保证树的平衡性。
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是的，构建树的方法已在二叉搜索树代码中的 `build_tree()` 方法中给出。至于根节点的选择，我们通常会将输入数据排序，然后将中点元素作为根节点，再递归地构建左右子树。这样做可以最大程度保证树的平衡性。
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!!! question "在 Java 中，字符串对比是否一定要用 `equals()` 方法？"
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@ -47,7 +47,7 @@
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- `==` ：用来比较两个变量是否指向同一个对象，即它们在内存中的位置是否相同。
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- `equals()`：用来对比两个对象的值是否相等。
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因此如果要对比值，我们通常会用 `equals()` 。然而，通过 `String a = "hi"; String b = "hi";` 初始化的字符串都存储在字符串常量池中，它们指向同一个对象，因此也可以用 `a == b` 来比较两个字符串的内容。
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因此，如果要对比值，我们应该使用 `equals()` 。然而，通过 `String a = "hi"; String b = "hi";` 初始化的字符串都存储在字符串常量池中，它们指向同一个对象，因此也可以用 `a == b` 来比较两个字符串的内容。
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!!! question "广度优先遍历到最底层之前，队列中的节点数量是 $2^h$ 吗？"
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