feat: Revised the book (#978)

* Sync recent changes to the revised Word.

* Revised the preface chapter

* Revised the introduction chapter

* Revised the computation complexity chapter

* Revised the chapter data structure

* Revised the chapter array and linked list

* Revised the chapter stack and queue

* Revised the chapter hashing

* Revised the chapter tree

* Revised the chapter heap

* Revised the chapter graph

* Revised the chapter searching

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* Revised the divide and conquer chapter

* Revised the chapter backtacking

* Revised the DP chapter

* Revised the greedy chapter

* Revised the appendix chapter

* Revised the preface chapter doubly

* Revised the figures

docs/chapter_heap/build_heap.md

@@ -6,7 +6,7 @@
 
 我们首先创建一个空堆，然后遍历列表，依次对每个元素执行“入堆操作”，即先将元素添加至堆的尾部，再对该元素执行“从底至顶”堆化。
 
-每当一个元素入堆，堆的长度就加一。由于节点是从顶到底依次被添加进二叉树的，因此堆是“自上而下”地构建的。
+每当一个元素入堆，堆的长度就加一。由于节点是从顶到底依次被添加进二叉树的，因此堆是“自上而下”构建的。
 
 设元素数量为 $n$ ，每个元素的入堆操作使用 $O(\log{n})$ 时间，因此该建堆方法的时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
 
@@ -17,11 +17,11 @@
 1. 将列表所有元素原封不动添加到堆中，此时堆的性质尚未得到满足。
 2. 倒序遍历堆（即层序遍历的倒序），依次对每个非叶节点执行“从顶至底堆化”。
 
-**每当堆化一个节点后，以该节点为根节点的子树就形成一个合法的子堆**。而由于是倒序遍历，因此堆是“自下而上”地被构建的。
+**每当堆化一个节点后，以该节点为根节点的子树就形成一个合法的子堆**。而由于是倒序遍历，因此堆是“自下而上”构建的。
 
 之所以选择倒序遍历，是因为这样能够保证当前节点之下的子树已经是合法的子堆，这样堆化当前节点才是有效的。
 
-值得说明的是，**叶节点没有子节点，天然就是合法的子堆，因此无需堆化**。如以下代码所示，最后一个非叶节点是最后一个节点的父节点，我们从它开始倒序遍历并执行堆化。
+值得说明的是，**叶节点没有子节点，天然就是合法的子堆，因此无须堆化**。如以下代码所示，最后一个非叶节点是最后一个节点的父节点，我们从它开始倒序遍历并执行堆化。
 
 ```src
 [file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{__init__}
@@ -36,11 +36,11 @@
 
 将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。**但这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层节点数量远多于顶层节点的性质**。
 
-接下来我们来进行更为准确的计算。为了减小计算难度，假设给定一个节点数量为 $n$ ，高度为 $h$ 的“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。
+接下来我们来进行更为准确的计算。为了降低计算难度，假设给定一个节点数量为 $n$ 、高度为 $h$ 的“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。
 
 ![完美二叉树的各层节点数量](build_heap.assets/heapify_operations_count.png)
 
-如上图所示，节点“从顶至底堆化”的最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离，而该距离正是“节点高度”。因此，我们可以将各层的“节点数量 $\times$ 节点高度”求和，**从而得到所有节点的堆化迭代次数的总和**。
+如上图所示，节点“从顶至底堆化”的最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离，而该距离正是“节点高度”。因此，我们可以对各层的“节点数量 $\times$ 节点高度”求和，**得到所有节点的堆化迭代次数的总和**。
 
 $$
 T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{(h-1)}\times1

docs/chapter_heap/heap.md

@@ -1,6 +1,6 @@
 # 堆
 
-「堆 heap」是一种满足特定条件的完全二叉树，主要可分为下图所示的两种类型。
+「堆 heap」是一种满足特定条件的完全二叉树，主要可分为两种类型，如下图所示。
 
 - 「大顶堆 max heap」：任意节点的值 $\geq$ 其子节点的值。
 - 「小顶堆 min heap」：任意节点的值 $\leq$ 其子节点的值。
@@ -11,13 +11,13 @@
 
 - 最底层节点靠左填充，其他层的节点都被填满。
 - 我们将二叉树的根节点称为“堆顶”，将底层最靠右的节点称为“堆底”。
-- 对于大顶堆（小顶堆），堆顶元素（即根节点）的值分别是最大（最小）的。
+- 对于大顶堆（小顶堆），堆顶元素（根节点）的值分别是最大（最小）的。
 
 ## 堆常用操作
 
 需要指出的是，许多编程语言提供的是「优先队列 priority queue」，这是一种抽象数据结构，定义为具有优先级排序的队列。
 
-实际上，**堆通常用作实现优先队列，大顶堆相当于元素按从大到小顺序出队的优先队列**。从使用角度来看，我们可以将“优先队列”和“堆”看作等价的数据结构。因此，本书对两者不做特别区分，统一使用“堆“来命名。
+实际上，**堆通常用于实现优先队列，大顶堆相当于元素按从大到小的顺序出队的优先队列**。从使用角度来看，我们可以将“优先队列”和“堆”看作等价的数据结构。因此，本书对两者不做特别区分，统一称作“堆”。
 
 堆的常用操作见下表，方法名需要根据编程语言来确定。
 
@@ -33,9 +33,7 @@
 
 在实际应用中，我们可以直接使用编程语言提供的堆类（或优先队列类）。
 
-!!! tip
-
-    类似于排序算法中的“从小到大排列”和“从大到小排列”，我们可以通过修改 Comparator 来实现“小顶堆”与“大顶堆”之间的转换。
+类似于排序算法中的“从小到大排列”和“从大到小排列”，我们可以通过设置一个 `flag` 或修改 `Comparator` 实现“小顶堆”与“大顶堆”之间的转换。代码如下所示：
 
 === "Python"
 
@@ -351,15 +349,15 @@
 
 ### 堆的存储与表示
 
-我们在二叉树章节中学习到，完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树，**我们将采用数组来存储堆**。
+“二叉树”章节讲过，完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树，**因此我们将采用数组来存储堆**。
 
 当使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置。**节点指针通过索引映射公式来实现**。
 
-如下图所示，给定索引 $i$ ，其左子节点索引为 $2i + 1$ ，右子节点索引为 $2i + 2$ ，父节点索引为 $(i - 1) / 2$（向下取整）。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。
+如下图所示，给定索引 $i$ ，其左子节点索引为 $2i + 1$ ，右子节点索引为 $2i + 2$ ，父节点索引为 $(i - 1) / 2$（向下整除）。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。
 
 ![堆的表示与存储](heap.assets/representation_of_heap.png)
 
-我们可以将索引映射公式封装成函数，方便后续使用。
+我们可以将索引映射公式封装成函数，方便后续使用：
 
 ```src
 [file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{parent}
@@ -367,7 +365,7 @@
 
 ### 访问堆顶元素
 
-堆顶元素即为二叉树的根节点，也就是列表的首个元素。
+堆顶元素即为二叉树的根节点，也就是列表的首个元素：
 
 ```src
 [file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{peek}
@@ -375,7 +373,7 @@
 
 ### 元素入堆
 
-给定元素 `val` ，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于 val 可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏。因此，**需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点**，这个操作被称为「堆化 heapify」。
+给定元素 `val` ，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于 val 可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏，**因此需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点**，这个操作被称为「堆化 heapify」。
 
 考虑从入堆节点开始，**从底至顶执行堆化**。如下图所示，我们比较插入节点与其父节点的值，如果插入节点更大，则将它们交换。然后继续执行此操作，从底至顶修复堆中的各个节点，直至越过根节点或遇到无须交换的节点时结束。
 
@@ -406,7 +404,7 @@
 === "<9>"
     ![heap_push_step9](heap.assets/heap_push_step9.png)
 
-设节点总数为 $n$ ，则树的高度为 $O(\log n)$ 。由此可知，堆化操作的循环轮数最多为 $O(\log n)$ ，**元素入堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$** 。
+设节点总数为 $n$ ，则树的高度为 $O(\log n)$ 。由此可知，堆化操作的循环轮数最多为 $O(\log n)$ ，**元素入堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$** 。代码如下所示：
 
 ```src
 [file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{sift_up}
@@ -414,10 +412,10 @@
 
 ### 堆顶元素出堆
 
-堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采用以下操作步骤。
+堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化进行修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采用以下操作步骤。
 
-1. 交换堆顶元素与堆底元素（即交换根节点与最右叶节点）。
-2. 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，实际上删除的是原来的堆顶元素）。
+1. 交换堆顶元素与堆底元素（交换根节点与最右叶节点）。
+2. 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，因此实际上删除的是原来的堆顶元素）。
 3. 从根节点开始，**从顶至底执行堆化**。
 
 如下图所示，**“从顶至底堆化”的操作方向与“从底至顶堆化”相反**，我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较，将最大的子节点与根节点交换。然后循环执行此操作，直到越过叶节点或遇到无须交换的节点时结束。
@@ -452,7 +450,7 @@
 === "<10>"
     ![heap_pop_step10](heap.assets/heap_pop_step10.png)
 
-与元素入堆操作相似，堆顶元素出堆操作的时间复杂度也为 $O(\log n)$ 。
+与元素入堆操作相似，堆顶元素出堆操作的时间复杂度也为 $O(\log n)$ 。代码如下所示：
 
 ```src
 [file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{sift_down}
@@ -461,5 +459,5 @@
 ## 堆常见应用
 
 - **优先队列**：堆通常作为实现优先队列的首选数据结构，其入队和出队操作的时间复杂度均为 $O(\log n)$ ，而建队操作为 $O(n)$ ，这些操作都非常高效。
-- **堆排序**：给定一组数据，我们可以用它们建立一个堆，然后不断地执行元素出堆操作，从而得到有序数据。然而，我们通常会使用一种更优雅的方式实现堆排序，详见后续的堆排序章节。
+- **堆排序**：给定一组数据，我们可以用它们建立一个堆，然后不断地执行元素出堆操作，从而得到有序数据。然而，我们通常会使用一种更优雅的方式实现堆排序，详见“堆排序”章节。
 - **获取最大的 $k$ 个元素**：这是一个经典的算法问题，同时也是一种典型应用，例如选择热度前 10 的新闻作为微博热搜，选取销量前 10 的商品等。

docs/chapter_heap/index.md

@@ -8,6 +8,6 @@
 
 !!! abstract
 
-    堆就像是山川的峰峦，它们层叠起伏、形态各异。
+    堆就像是山岳峰峦，层叠起伏、形态各异。
     
-    每一座山峰都有其高低之分，而最高的山峰总是最先映入眼帘。
+    座座山峰高低错落，而最高的山峰总是最先映入眼帘。

docs/chapter_heap/summary.md

@@ -14,4 +14,4 @@
 
 !!! question "数据结构的“堆”与内存管理的“堆”是同一个概念吗？"
 
-    两者不是同一个概念，只是碰巧都叫堆。计算机系统内存中的堆是动态内存分配的一部分，程序在运行时可以使用它来存储数据。程序可以请求一定量的堆内存，用于存储如对象和数组等复杂结构。当这些数据不再需要时，程序需要释放这些内存，以防止内存泄露。相较于栈内存，堆内存的管理和使用需要更谨慎，不恰当的使用可能会导致内存泄露和野指针等问题。
+    两者不是同一个概念，只是碰巧都叫堆。计算机系统内存中的堆是动态内存分配的一部分，程序在运行时可以使用它来存储数据。程序可以请求一定量的堆内存，用于存储如对象和数组等复杂结构。当这些数据不再需要时，程序需要释放这些内存，以防止内存泄漏。相较于栈内存，堆内存的管理和使用需要更谨慎，使用不当可能会导致内存泄漏和野指针等问题。

docs/chapter_heap/top_k.md

@@ -2,7 +2,7 @@
 
 !!! question
 
-    给定一个长度为 $n$ 无序数组 `nums` ，请返回数组中前 $k$ 大的元素。
+    给定一个长度为 $n$ 的无序数组 `nums` ，请返回数组中前 $k$ 大的元素。
 
 对于该问题，我们先介绍两种思路比较直接的解法，再介绍效率更高的堆解法。
 
@@ -22,7 +22,7 @@
 
 如下图所示，我们可以先对数组 `nums` 进行排序，再返回最右边的 $k$ 个元素，时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
 
-显然，该方法“超额”完成任务了，因为我们只需要找出最大的 $k$ 个元素即可，而不需要排序其他元素。
+显然，该方法“超额”完成任务了，因为我们只需找出最大的 $k$ 个元素即可，而不需要排序其他元素。
 
 ![排序寻找最大的 k 个元素](top_k.assets/top_k_sorting.png)
 
@@ -62,10 +62,12 @@
 === "<9>"
     ![top_k_heap_step9](top_k.assets/top_k_heap_step9.png)
 
-总共执行了 $n$ 轮入堆和出堆，堆的最大长度为 $k$ ，因此时间复杂度为 $O(n \log k)$ 。该方法的效率很高，当 $k$ 较小时，时间复杂度趋向 $O(n)$ ；当 $k$ 较大时，时间复杂度不会超过 $O(n \log n)$ 。
-
-另外，该方法适用于动态数据流的使用场景。在不断加入数据时，我们可以持续维护堆内的元素，从而实现最大 $k$ 个元素的动态更新。
+示例代码如下：
 
 ```src
 [file]{top_k}-[class]{}-[func]{top_k_heap}
 ```
+
+总共执行了 $n$ 轮入堆和出堆，堆的最大长度为 $k$ ，因此时间复杂度为 $O(n \log k)$ 。该方法的效率很高，当 $k$ 较小时，时间复杂度趋向 $O(n)$ ；当 $k$ 较大时，时间复杂度不会超过 $O(n \log n)$ 。
+
+另外，该方法适用于动态数据流的使用场景。在不断加入数据时，我们可以持续维护堆内的元素，从而实现最大 $k$ 个元素的动态更新。