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docs/chapter_backtracking/backtracking_algorithm.md
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@ -2,13 +2,13 @@
「回溯算法 backtracking algorithm」是一种通过穷举来解决问题的方法，它的核心思想是从一个初始状态出发，暴力搜索所有可能的解决方案，当遇到正确的解则将其记录，直到找到解或者尝试了所有可能的选择都无法找到解为止。
回溯算法通常采用“深度优先搜索”来遍历解空间。在二叉树章节中，我们提到前序、中序和后序遍历都属于深度优先搜索。接下来，我们利用前序遍历构造一个回溯问题，逐步了解回溯算法的工作原理。
回溯算法通常采用“深度优先搜索”来遍历解空间。在“二叉树”章节中，我们提到前序、中序和后序遍历都属于深度优先搜索。接下来，我们利用前序遍历构造一个回溯问题，逐步了解回溯算法的工作原理。
!!! question "例题一"
给定一个二叉树，搜索并记录所有值为 $7$ 的节点，请返回节点列表。
给定一棵二叉树，搜索并记录所有值为 $7$ 的节点，请返回节点列表。
对于此题，我们前序遍历这颗树，并判断当前节点的值是否为 $7$ ，若是则将该节点的值加入到结果列表 `res` 之中。相关过程实现如下图和以下代码所示。
对于此题，我们前序遍历这棵树，并判断当前节点的值是否为 $7$ ，若是，则将该节点的值加入结果列表 `res` 之中。相关过程实现如下图和以下代码所示：
```src
[file]{preorder_traversal_i_compact}-[class]{}-[func]{pre_order}
@ -28,7 +28,7 @@
在二叉树中搜索所有值为 $7$ 的节点，**请返回根节点到这些节点的路径**。
在例题一代码的基础上，我们需要借助一个列表 `path` 记录访问过的节点路径。当访问到值为 $7$ 的节点时，则复制 `path` 并添加进结果列表 `res` 。遍历完成后，`res` 中保存的就是所有的解。
在例题一代码的基础上，我们需要借助一个列表 `path` 记录访问过的节点路径。当访问到值为 $7$ 的节点时，则复制 `path` 并添加进结果列表 `res` 。遍历完成后，`res` 中保存的就是所有的解。代码如下所示：
```src
[file]{preorder_traversal_ii_compact}-[class]{}-[func]{pre_order}
@ -36,7 +36,7 @@
在每次“尝试”中，我们通过将当前节点添加进 `path` 来记录路径；而在“回退”前，我们需要将该节点从 `path` 中弹出，**以恢复本次尝试之前的状态**。
观察下图所示的过程，**我们可以将尝试和回退理解为“前进”与“撤销”**，两个操作是互为逆向的。
观察下图所示的过程，**我们可以将尝试和回退理解为“前进”与“撤销”**，两个操作互为逆向。
=== "<1>"
![尝试与回退](backtracking_algorithm.assets/preorder_find_paths_step1.png)
@ -79,13 +79,13 @@
在二叉树中搜索所有值为 $7$ 的节点，请返回根节点到这些节点的路径，**并要求路径中不包含值为 $3$ 的节点**。
为了满足以上约束条件，**我们需要添加剪枝操作**：在搜索过程中，若遇到值为 $3$ 的节点，则提前返回，停止继续搜索。
为了满足以上约束条件，**我们需要添加剪枝操作**：在搜索过程中，若遇到值为 $3$ 的节点，则提前返回，不再继续搜索。代码如下所示：
```src
[file]{preorder_traversal_iii_compact}-[class]{}-[func]{pre_order}
```
剪枝是一个非常形象的名词。如下图所示，在搜索过程中，**我们“剪掉”了不满足约束条件的搜索分支**，避免许多无意义的尝试，从而提高了搜索效率。
“剪枝”是一个非常形象的名词。如下图所示，在搜索过程中，**我们“剪掉”了不满足约束条件的搜索分支**，避免许多无意义的尝试，从而提高了搜索效率。
![根据约束条件剪枝](backtracking_algorithm.assets/preorder_find_constrained_paths.png)
@ -93,7 +93,7 @@
接下来，我们尝试将回溯的“尝试、回退、剪枝”的主体框架提炼出来，提升代码的通用性。
在以下框架代码中，`state` 表示问题的当前状态，`choices` 表示当前状态下可以做出的选择。
在以下框架代码中，`state` 表示问题的当前状态，`choices` 表示当前状态下可以做出的选择：
=== "Python"
@ -104,7 +104,7 @@
if is_solution(state):
# 记录解
record_solution(state, res)
# 停止继续搜索
# 不再继续搜索
return
# 遍历所有选择
for choice in choices:
@ -126,7 +126,7 @@
if (isSolution(state)) {
// 记录解
recordSolution(state, res);
// 停止继续搜索
// 不再继续搜索
return;
}
// 遍历所有选择
@ -152,7 +152,7 @@
if (isSolution(state)) {
// 记录解
recordSolution(state, res);
// 停止继续搜索
// 不再继续搜索
return;
}
// 遍历所有选择
@ -178,7 +178,7 @@
if (IsSolution(state)) {
// 记录解
RecordSolution(state, res);
// 停止继续搜索
// 不再继续搜索
return;
}
// 遍历所有选择
@ -204,7 +204,7 @@
if isSolution(state) {
// 记录解
recordSolution(state, res)
// 停止继续搜索
// 不再继续搜索
return
}
// 遍历所有选择
@ -230,7 +230,7 @@
if isSolution(state: state) {
// 记录解
recordSolution(state: state, res: &res)
// 停止继续搜索
// 不再继续搜索
return
}
// 遍历所有选择
@ -256,7 +256,7 @@
if (isSolution(state)) {
// 记录解
recordSolution(state, res);
// 停止继续搜索
// 不再继续搜索
return;
}
// 遍历所有选择
@ -282,7 +282,7 @@
if (isSolution(state)) {
// 记录解
recordSolution(state, res);
// 停止继续搜索
// 不再继续搜索
return;
}
// 遍历所有选择
@ -308,7 +308,7 @@
if (isSolution(state)) {
// 记录解
recordSolution(state, res);
// 停止继续搜索
// 不再继续搜索
return;
}
// 遍历所有选择
@ -334,7 +334,7 @@
if is_solution(state) {
// 记录解
record_solution(state, res);
// 停止继续搜索
// 不再继续搜索
return;
}
// 遍历所有选择
@ -360,7 +360,7 @@
if (isSolution(state)) {
// 记录解
recordSolution(state, res, numRes);
// 停止继续搜索
// 不再继续搜索
return;
}
// 遍历所有选择
@ -383,7 +383,7 @@
```
接下来，我们基于框架代码来解决例题三。状态 `state` 为节点遍历路径，选择 `choices` 为当前节点的左子节点和右子节点，结果 `res` 是路径列表。
接下来，我们基于框架代码来解决例题三。状态 `state` 为节点遍历路径，选择 `choices` 为当前节点的左子节点和右子节点，结果 `res` 是路径列表：
```src
[file]{preorder_traversal_iii_template}-[class]{}-[func]{backtrack}
@ -393,37 +393,37 @@
![保留与删除 return 的搜索过程对比](backtracking_algorithm.assets/backtrack_remove_return_or_not.png)
相比基于前序遍历的代码实现，基于回溯算法框架的代码实现虽然显得啰嗦，但通用性更好。实际上，**许多回溯问题都可以在该框架下解决**。我们只需根据具体问题来定义 `state` 和 `choices` ，并实现框架中的各个方法即可。
相比基于前序遍历的代码实现，基于回溯算法框架的代码实现虽然显得啰唆，但通用性更好。实际上，**许多回溯问题可以在该框架下解决**。我们只需根据具体问题来定义 `state` 和 `choices` ，并实现框架中的各个方法即可。
## 常用术语
为了更清晰地分析算法问题，我们总结一下回溯算法中常用术语的含义，并对照例题三给出对应示例。
为了更清晰地分析算法问题，我们总结一下回溯算法中常用术语的含义，并对照例题三给出对应示例，如下表所示。
<p align="center"> 表 <id> &nbsp; 常见的回溯算法术语 </p>
| 名词 | 定义 | 例题三 |
| ------------------- | -------------------------------------------------------------------------- | -------------------------------------------------------------------- |
| 解 Solution | 解是满足问题特定条件的答案，可能有一个或多个 | 根节点到节点 $7$ 的满足约束条件的所有路径 |
| 约束条件 Constraint | 约束条件是问题中限制解的可行性的条件，通常用于剪枝 | 路径中不包含节点 $3$ |
| 状态 State | 状态表示问题在某一时刻的情况，包括已经做出的选择 | 当前已访问的节点路径，即 `path` 节点列表 |
| 尝试 Attempt | 尝试是根据可用选择来探索解空间的过程，包括做出选择，更新状态，检查是否为解 | 递归访问左（右）子节点，将节点添加进 `path` ，判断节点的值是否为 $7$ |
| 回退 Backtracking | 回退指遇到不满足约束条件的状态时，撤销前面做出的选择，回到上一个状态 | 当越过叶节点、结束节点访问、遇到值为 $3$ 的节点时终止搜索，函数返回 |
| 剪枝 Pruning | 剪枝是根据问题特性和约束条件避免无意义的搜索路径的方法，可提高搜索效率 | 当遇到值为 $3$ 的节点时，则终止继续搜索 |
| 名词 | 定义 | 例题三 |
| ---------------------- | -------------------------------------------------------------------------- | -------------------------------------------------------------------- |
| 解（solution） | 解是满足问题特定条件的答案，可能有一个或多个 | 根节点到节点 $7$ 的满足约束条件的所有路径 |
| 约束条件（constraint） | 约束条件是问题中限制解的可行性的条件，通常用于剪枝 | 路径中不包含节点 $3$ |
| 状态（state） | 状态表示问题在某一时刻的情况，包括已经做出的选择 | 当前已访问的节点路径，即 `path` 节点列表 |
| 尝试（attempt） | 尝试是根据可用选择来探索解空间的过程，包括做出选择，更新状态，检查是否为解 | 递归访问左（右）子节点，将节点添加进 `path` ，判断节点的值是否为 $7$ |
| 回退（backtracking） | 回退指遇到不满足约束条件的状态时，撤销前面做出的选择，回到上一个状态 | 当越过叶节点、结束节点访问、遇到值为 $3$ 的节点时终止搜索，函数返回 |
| 剪枝（pruning） | 剪枝是根据问题特性和约束条件避免无意义的搜索路径的方法，可提高搜索效率 | 当遇到值为 $3$ 的节点时，则不再继续搜索 |
!!! tip
问题、解、状态等概念是通用的，在分治、回溯、动态规划、贪心等算法中都有涉及。
## 优势与局限性
## 优点与局限性
回溯算法本质上是一种深度优先搜索算法，它尝试所有可能的解决方案直到找到满足条件的解。这种方法的优势在于它能够找到所有可能的解决方案，而且在合理的剪枝操作下，具有很高的效率。
回溯算法本质上是一种深度优先搜索算法，它尝试所有可能的解决方案直到找到满足条件的解。这种方法的优点在于能够找到所有可能的解决方案，而且在合理的剪枝操作下，具有很高的效率。
然而，在处理大规模或者复杂问题时，**回溯算法的运行效率可能难以接受**。
- **时间**：回溯算法通常需要遍历状态空间的所有可能，时间复杂度可以达到指数阶或阶乘阶。
- **空间**：在递归调用中需要保存当前的状态（例如路径、用于剪枝的辅助变量等），当深度很大时，空间需求可能会变得很大。
即便如此，**回溯算法仍然是某些搜索问题和约束满足问题的最佳解决方案**。对于这些问题，由于无法预测哪些选择可生成有效的解，因此我们必须对所有可能的选择进行遍历。在这种情况下，**关键是如何进行效率优化**，常见的效率优化方法有两种。
即便如此，**回溯算法仍然是某些搜索问题和约束满足问题的最佳解决方案**。对于这些问题，由于无法预测哪些选择可生成有效的解，因此我们必须对所有可能的选择进行遍历。在这种情况下，**关键是如何优化效率**，常见的效率优化方法有两种。
- **剪枝**：避免搜索那些肯定不会产生解的路径，从而节省时间和空间。
- **启发式搜索**：在搜索过程中引入一些策略或者估计值，从而优先搜索最有可能产生有效解的路径。
@ -436,7 +436,7 @@
- 全排列问题：给定一个集合，求出其所有可能的排列组合。
- 子集和问题：给定一个集合和一个目标和，找到集合中所有和为目标和的子集。
- 汉诺塔问题：给定三个柱子和一系列大小不同的圆盘，要求将所有圆盘从一个柱子移动到另一个柱子，每次只能移动一个圆盘，且不能将大圆盘放在小圆盘上。
- 汉诺塔问题：给定三根柱子和一系列大小不同的圆盘，要求将所有圆盘从一根柱子移动到另一根柱子，每次只能移动一个圆盘，且不能将大圆盘放在小圆盘上。
**约束满足问题**：这类问题的目标是找到满足所有约束条件的解。
@ -450,8 +450,8 @@
- 旅行商问题：在一个图中，从一个点出发，访问所有其他点恰好一次后返回起点，求最短路径。
- 最大团问题：给定一个无向图，找到最大的完全子图，即子图中的任意两个顶点之间都有边相连。
请注意，对于许多组合优化问题，回溯都不是最优解决方案。
请注意，对于许多组合优化问题，回溯不是最优解决方案。
- 0-1 背包问题通常使用动态规划解决，以达到更高的时间效率。
- 旅行商是一个著名的 NP-Hard 问题，常用解法有遗传算法和蚁群算法等。
- 最大团问题是图论中的一个经典问题，可用贪心等启发式算法来解决。
- 最大团问题是图论中的一个经典问题，可用贪心算法等启发式算法来解决。