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1. Array and linked list.
2. Computational complexity.
3. Fix a mistake in counting_sort.md

docs/chapter_array_and_linkedlist/array.md

@@ -1,14 +1,10 @@
 # 数组
 
-「数组 Array」是一种将 **相同类型元素** 存储在 **连续内存空间** 的数据结构，将元素在数组中的位置称为元素的「索引 Index」。
+「数组 Array」是一种线性数据结构，其将相同类型元素存储在连续的内存空间中。我们将元素在数组中的位置称为元素的「索引 Index」。
 
 ![数组定义与存储方式](array.assets/array_definition.png)
 
-!!! note
-
-    观察上图，我们发现 **数组首元素的索引为 $0$** 。你可能会想，这并不符合日常习惯，首个元素的索引为什么不是 $1$ 呢，这不是更加自然吗？我认同你的想法，但请先记住这个设定，后面讲内存地址计算时，我会尝试解答这个问题。
-
-**数组初始化**。一般会用到无初始值、给定初始值两种写法，可根据需求选取。在不给定初始值的情况下，一般所有元素会被初始化为默认值 $0$ 。
+**数组初始化**。通常有无初始值和给定初始值两种方式，我们可根据需求选择合适的方法。在未给定初始值的情况下，数组的所有元素通常会被初始化为默认值 $0$ 。
 
 === "Java"
 
@@ -98,7 +94,7 @@
 
 ## 数组优点
 
-**在数组中访问元素非常高效**。这是因为在数组中，计算元素的内存地址非常容易。给定数组首个元素的地址、和一个元素的索引，利用以下公式可以直接计算得到该元素的内存地址，从而直接访问此元素。
+**在数组中访问元素非常高效**。由于数组元素被存储在连续的内存空间中，因此计算数组元素的内存地址非常容易。给定数组首个元素的地址和某个元素的索引，我们可以使用以下公式计算得到该元素的内存地址，从而直接访问此元素。
 
 ![数组元素的内存地址计算](array.assets/array_memory_location_calculation.png)
 
@@ -107,9 +103,13 @@
 elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
 ```
 
-**为什么数组元素索引从 0 开始编号？** 根据地址计算公式，**索引本质上表示的是内存地址偏移量**，首个元素的地址偏移量是 $0$ ，那么索引是 $0$ 也就很自然了。
+!!! question "为什么数组元素的索引要从 $0$ 开始编号呢？"
 
-访问元素的高效性带来了许多便利。例如，我们可以在 $O(1)$ 时间内随机获取一个数组中的元素。
+    观察上图，我们发现数组首个元素的索引为 $0$ ，这似乎有些反直觉，因为从 $1$ 开始计数会更自然。
+    
+    然而，从地址计算公式的角度看，**索引本质上表示的是内存地址的偏移量**。首个元素的地址偏移量是 $0$ ，因此索引为 $0$ 也是合理的。
+
+访问元素的高效性带来了诸多便利。例如，我们可以在 $O(1)$ 时间内随机获取数组中的任意一个元素。
 
 === "Java"
 
@@ -359,9 +359,9 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
 
 总结来看，数组的插入与删除操作有以下缺点：
 
-- **时间复杂度高**：数组的插入和删除的平均时间复杂度均为 $O(N)$ ，其中 $N$ 为数组长度。
-- **丢失元素**：由于数组的长度不可变，因此在插入元素后，超出数组长度范围的元素会被丢失。
-- **内存浪费**：我们一般会初始化一个比较长的数组，只用前面一部分，这样在插入数据时，丢失的末尾元素都是我们不关心的，但这样做同时也会造成内存空间的浪费。
+- **时间复杂度高**：数组的插入和删除的平均时间复杂度均为 $O(n)$ ，其中 $n$ 为数组长度。
+- **丢失元素**：由于数组的长度不可变，因此在插入元素后，超出数组长度范围的元素会丢失。
+- **内存浪费**：我们可以初始化一个比较长的数组，只用前面一部分，这样在插入数据时，丢失的末尾元素都是我们不关心的，但这样做同时也会造成内存空间的浪费。
 
 ## 数组常用操作
 

docs/chapter_array_and_linkedlist/linked_list.md

@@ -1,10 +1,10 @@
 # 链表
 
-内存空间是所有程序的公共资源，排除已被占用的内存空间，空闲内存空间往往是散落在内存各处的。上节讲到，**存储数组的内存空间必须是连续的**，当我们需要申请一个非常大的数组时，系统不一定能够分配这么大的连续内存空间。
+内存空间是所有程序的公共资源，排除已被占用的内存空间，空闲内存空间通常散落在内存各处。在上一节中，我们提到存储数组的内存空间必须是连续的，而当我们需要申请一个非常大的数组时，空闲内存中可能没有这么大的连续空间。
 
-相对地，链表则更加灵活，可以被存储到非连续的内存空间。「链表 Linked List」是一种线性数据结构，其中每个元素都是单独的对象，各个元素（即结点）之间通过指针连接。由于结点中记录了连接关系，因此链表的存储方式相比于数组更加灵活，系统可将结点分散在内存各处，而不必保证内存地址的连续性。
+与数组相比，链表更具灵活性，因为它可以存储在非连续的内存空间。「链表 Linked List」是一种线性数据结构，其每个元素都是一个结点对象，各个结点之间通过指针连接，从当前结点通过指针可以访问到下一个结点。由于指针记录了下个结点的内存地址，因此无需保证内存地址的连续性，从而可以将各个结点分散存储在内存各处。
 
-链表的「结点 Node」包含两项数据，一是结点「值 Value」，二是指向下一结点的「指针 Pointer」（或称「引用 Reference」）。
+链表「结点 Node」包含两项数据，一是结点「值 Value」，二是指向下一结点的「指针 Pointer」，或称指向下一结点的「引用 Reference」。
 
 ![链表定义与存储方式](linked_list.assets/linkedlist_definition.png)
 
@@ -154,13 +154,15 @@
     }
     ```
 
-**尾结点指向什么？** 我们一般将链表的最后一个结点称为「尾结点」，其指向的是「空」，在 Java / C++ / Python 中分别记为 `null` / `nullptr` / `None` 。在不引起歧义下，本书都使用 `null` 来表示空。
+!!! question "尾结点指向什么？"
 
-**链表初始化方法**。建立链表分为两步，第一步是初始化各个结点对象，第二步是构建引用指向关系。完成后，即可以从链表的首个结点（即头结点）出发，访问其余所有的结点。
+    我们将链表的最后一个结点称为「尾结点」，其指向的是“空”，在 Java, C++, Python 中分别记为 `null`, `nullptr`, `None` 。在不引起歧义的前提下，本书都使用 `null` 来表示空。
 
-!!! tip
+!!! question "如何称呼链表？"
 
-    我们通常将头结点当作链表的代称，例如头结点 `head` 和链表 `head` 实际上是同义的。
+    在编程语言中，数组整体就是一个变量，例如数组 `nums` ，包含各个元素 `nums[0]` , `nums[1]` 等等。而链表是由多个结点对象组成，我们通常将头结点当作链表的代称，例如头结点 `head` 和链表 `head` 实际上是同义的。
+
+**链表初始化方法**。建立链表分为两步，第一步是初始化各个结点对象，第二步是构建引用指向关系。完成后，即可以从链表的头结点（即首个结点）出发，通过指针 `next` 依次访问所有结点。
 
 === "Java"
 
@@ -223,7 +225,6 @@
     n2 := NewListNode(2)
     n3 := NewListNode(5)
     n4 := NewListNode(4)
-    
     // 构建引用指向
     n0.Next = n1
     n1.Next = n2
@@ -335,7 +336,7 @@
 
 ## 链表优点
 
-**在链表中，插入与删除结点的操作效率高**。比如，如果我们想在链表中间的两个结点 `A` , `B` 之间插入一个新结点 `P` ，我们只需要改变两个结点指针即可，时间复杂度为 $O(1)$ ，相比数组的插入操作高效很多。
+**链表中插入与删除结点的操作效率高**。例如，如果我们想在链表中间的两个结点 `A` , `B` 之间插入一个新结点 `P` ，我们只需要改变两个结点指针即可，时间复杂度为 $O(1)$ ；相比之下，数组的插入操作效率要低得多。
 
 ![链表插入结点](linked_list.assets/linkedlist_insert_node.png)
 
@@ -399,7 +400,7 @@
     [class]{}-[func]{insert}
     ```
 
-在链表中删除结点也很方便，只需要改变一个结点指针即可。如下图所示，虽然在完成删除后结点 `P` 仍然指向 `n1` ，但实际上 `P` 已经不属于此链表了，因为遍历此链表是无法访问到 `P` 的。
+在链表中删除结点也非常方便，只需改变一个结点的指针即可。如下图所示，尽管在删除操作完成后，结点 `P` 仍然指向 `n1`，但实际上 `P` 已经不再属于此链表，因为遍历此链表时无法访问到 `P`。
 
 ![链表删除结点](linked_list.assets/linkedlist_remove_node.png)
 
@@ -465,7 +466,7 @@
 
 ## 链表缺点
 
-**链表访问结点效率低**。上节提到，数组可以在 $O(1)$ 时间下访问任意元素，但链表无法直接访问任意结点。这是因为计算机需要从头结点出发，一个一个地向后遍历到目标结点。例如，倘若想要访问链表索引为 `index` （即第 `index + 1` 个）的结点，那么需要 `index` 次访问操作。
+**链表访问结点效率较低**。如上节所述，数组可以在 $O(1)$ 时间下访问任意元素。然而，链表无法直接访问任意结点，这是因为系统需要从头结点出发，逐个向后遍历直至找到目标结点。例如，若要访问链表索引为 `index`（即第 `index + 1` 个）的结点，则需要向后遍历 `index` 轮。
 
 === "Java"
 
@@ -527,7 +528,7 @@
     [class]{}-[func]{access}
     ```
 
-**链表的内存占用多**。链表以结点为单位，每个结点除了保存值外，还需额外保存指针（引用）。这意味着同样数据量下，链表比数组需要占用更多内存空间。
+**链表的内存占用较大**。链表以结点为单位，每个结点除了保存值之外，还需额外保存指针（引用）。这意味着在相同数据量的情况下，链表比数组需要占用更多的内存空间。
 
 ## 链表常用操作
 
@@ -595,11 +596,11 @@
 
 ## 常见链表类型
 
-**单向链表**。即上述介绍的普通链表。单向链表的结点有「值」和指向下一结点的「指针（引用）」两项数据。我们将首个结点称为头结点，尾结点指向 `null` 。
+**单向链表**。即上述介绍的普通链表。单向链表的结点包含值和指向下一结点的指针（引用）两项数据。我们将首个结点称为头结点，将最后一个结点成为尾结点，尾结点指向 `null` 。
 
-**环形链表**。如果我们令单向链表的尾结点指向头结点（即首尾相接），则得到一个环形链表。在环形链表中，我们可以将任意结点看作是头结点。
+**环形链表**。如果我们令单向链表的尾结点指向头结点（即首尾相接），则得到一个环形链表。在环形链表中，任意结点都可以视作头结点。
 
-**双向链表**。单向链表仅记录了一个方向的指针（引用），在双向链表的结点定义中，同时有指向下一结点（后继结点）和上一结点（前驱结点）的「指针（引用）」。双向链表相对于单向链表更加灵活，即可以朝两个方向遍历链表，但也需要占用更多的内存空间。
+**双向链表**。与单向链表相比，双向链表记录了两个方向的指针（引用）。双向链表的结点定义同时包含指向后继结点（下一结点）和前驱结点（上一结点）的指针。相较于单向链表，双向链表更具灵活性，可以朝两个方向遍历链表，但相应地也需要占用更多的内存空间。
 
 === "Java"
 

docs/chapter_array_and_linkedlist/list.md

@@ -1,12 +1,12 @@
 # 列表
 
-**由于长度不可变，数组的实用性大大降低**。在很多情况下，我们事先并不知道会输入多少数据，这就为数组长度的选择带来了很大困难。长度选小了，需要在添加数据中频繁地扩容数组；长度选大了，又造成内存空间的浪费。
+**数组长度不可变导致实用性降低**。在许多情况下，我们事先无法确定需要存储多少数据，这使数组长度的选择变得困难。若长度过小，需要在持续添加数据时频繁扩容数组；若长度过大，则会造成内存空间的浪费。
 
-为了解决此问题，诞生了一种被称为「列表 List」的数据结构。列表可以被理解为长度可变的数组，因此也常被称为「动态数组 Dynamic Array」。列表基于数组实现，继承了数组的优点，同时还可以在程序运行中实时扩容。在列表中，我们可以自由地添加元素，而不用担心超过容量限制。
+为解决此问题，出现了一种被称为「动态数组 Dynamic Array」的数据结构，即长度可变的数组，也常被称为「列表 List」。列表基于数组实现，继承了数组的优点，并且可以在程序运行过程中动态扩容。在列表中，我们可以自由添加元素，而无需担心超过容量限制。
 
 ## 列表常用操作
 
-**初始化列表**。我们通常会使用到“无初始值”和“有初始值”的两种初始化方法。
+**初始化列表**。通常我们会使用“无初始值”和“有初始值”的两种初始化方法。
 
 === "Java"
 
@@ -106,7 +106,7 @@
     try list.appendSlice(&[_]i32{ 1, 3, 2, 5, 4 });
     ```
 
-**访问与更新元素**。列表的底层数据结构是数组，因此可以在 $O(1)$ 时间内访问与更新元素，效率很高。
+**访问与更新元素**。由于列表的底层数据结构是数组，因此可以在 $O(1)$ 时间内访问和更新元素，效率很高。
 
 === "Java"
 
@@ -204,7 +204,7 @@
     list.items[1] = 0; // 将索引 1 处的元素更新为 0  
     ```
 
-**在列表中添加、插入、删除元素**。相对于数组，列表可以自由地添加与删除元素。在列表尾部添加元素的时间复杂度为 $O(1)$ ，但是插入与删除元素的效率仍与数组一样低，时间复杂度为 $O(N)$ 。
+**在列表中添加、插入、删除元素**。相较于数组，列表可以自由地添加与删除元素。在列表尾部添加元素的时间复杂度为 $O(1)$ ，但插入和删除元素的效率仍与数组相同，时间复杂度为 $O(N)$ 。
 
 === "Java"
 
@@ -392,7 +392,7 @@
     _ = list.orderedRemove(3); // 删除索引 3 处的元素
     ```
 
-**遍历列表**。与数组一样，列表可以使用索引遍历，也可以使用 `for-each` 直接遍历。
+**遍历列表**。与数组一样，列表可以根据索引遍历，也可以直接遍历各元素。
 
 === "Java"
 
@@ -545,7 +545,7 @@
     }
     ```
 
-**拼接两个列表**。再创建一个新列表 `list1` ，我们可以将其中一个列表拼接到另一个的尾部。
+**拼接两个列表**。给定一个新列表 `list1`，我们可以将该列表拼接到原列表的尾部。
 
 === "Java"
 
@@ -628,7 +628,7 @@
     try list.insertSlice(list.items.len, list1.items); // 将列表 list1 拼接到 list 之后
     ```
 
-**排序列表**。排序也是常用的方法之一，完成列表排序后，我们就可以使用在数组类算法题中经常考察的「二分查找」和「双指针」算法了。
+**排序列表**。排序也是常用的方法之一。完成列表排序后，我们便可以使用在数组类算法题中经常考察的「二分查找」和「双指针」算法。
 
 === "Java"
 
@@ -699,15 +699,15 @@
     std.sort.sort(i32, list.items, {}, comptime std.sort.asc(i32));
     ```
 
-## 列表简易实现 *
+## 列表实现 *
 
-为了帮助加深对列表的理解，我们在此提供一个列表的简易版本的实现。需要关注三个核心点：
+为了帮助加深对列表的理解，我们在此提供一个简易版列表实现。需要关注三个核心点：
 
-- **初始容量**：选取一个合理的数组的初始容量 `initialCapacity` 。在本示例中，我们选择 10 作为初始容量。
-- **数量记录**：需要声明一个变量 `size` ，用来记录列表当前有多少个元素，并随着元素插入与删除实时更新。根据此变量，可以定位列表的尾部，以及判断是否需要扩容。
-- **扩容机制**：插入元素有可能导致超出列表容量，此时需要扩容列表，方法是建立一个更大的数组来替换当前数组。需要给定一个扩容倍数 `extendRatio` ，在本示例中，我们规定每次将数组扩容至之前的 2 倍。
+- **初始容量**：选取一个合理的数组初始容量。在本示例中，我们选择 10 作为初始容量。
+- **数量记录**：声明一个变量 size，用于记录列表当前元素数量，并随着元素插入和删除实时更新。根据此变量，我们可以定位列表尾部，以及判断是否需要扩容。
+- **扩容机制**：插入元素时可能超出列表容量，此时需要扩容列表。扩容方法是根据扩容倍数创建一个更大的数组，并将当前数组的所有元素依次移动至新数组。在本示例中，我们规定每次将数组扩容至之前的 2 倍。
 
-本示例是为了帮助读者对如何实现列表产生直观的认识。实际编程语言中，列表的实现远比以下代码复杂且标准，感兴趣的读者可以查阅源码学习。
+本示例旨在帮助读者直观理解列表的工作机制。实际编程语言中，列表实现更加标准和复杂，各个参数的设定也非常有考究，例如初始容量、扩容倍数等。感兴趣的读者可以查阅源码进行学习。
 
 === "Java"
 

docs/chapter_array_and_linkedlist/summary.md

@@ -1,10 +1,10 @@
 # 小结
 
-- 数组和链表是两种基本数据结构，代表了数据在计算机内存中的两种存储方式，即连续空间存储和离散空间存储。两者的优点与缺点呈现出此消彼长的关系。
-- 数组支持随机访问、内存空间占用小；但插入与删除元素效率低，且初始化后长度不可变。
-- 链表可通过更改指针实现高效的结点插入与删除，并且可以灵活地修改长度；但结点访问效率低、占用内存多。常见的链表类型有单向链表、循环链表、双向链表。
-- 列表又称动态数组，是基于数组实现的一种数据结构，其保存了数组的优势，且可以灵活改变长度。列表的出现大大提升了数组的实用性，但副作用是会造成部分内存空间浪费。
-- 下表总结对比了数组与链表的各项特性。
+- 数组和链表是两种基本数据结构，分别代表数据在计算机内存中的连续空间存储和离散空间存储方式。两者的优缺点呈现出互补的特性。
+- 数组支持随机访问、占用内存较少；但插入和删除元素效率低，且初始化后长度不可变。
+- 链表通过更改指针实现高效的结点插入与删除，且可以灵活调整长度；但结点访问效率低、占用内存较多。常见的链表类型包括单向链表、循环链表、双向链表。
+- 动态数组，又称列表，是基于数组实现的一种数据结构。它保留了数组的优势，同时可以灵活调整长度。列表的出现极大地提高了数组的易用性，但可能导致部分内存空间浪费。
+- 下表总结并对比了数组与链表的各项特性。
 
 <div class="center-table" markdown>
 
@@ -17,11 +17,11 @@
 
 </div>
 
-!!! question "缓存局部性的简单解释"
+!!! note "缓存局部性"
 
     在计算机中，数据读写速度排序是“硬盘 < 内存 < CPU 缓存”。当我们访问数组元素时，计算机不仅会加载它，还会缓存其周围的其它数据，从而借助高速缓存来提升后续操作的执行速度。链表则不然，计算机只能挨个地缓存各个结点，这样的多次“搬运”降低了整体效率。
 
-- 下表对比了数组与链表的各种操作效率。
+- 下表对比了数组与链表在各种操作上的效率。
 
 <div class="center-table" markdown>