Add the section of Graph Traversal.

docs/chapter_graph/graph.md

@@ -22,15 +22,15 @@ $$
 
 根据边是否有方向，分为「无向图 Undirected Graph」和「有向图 Directed Graph」。
 
-- 在无向图中，边表示两结点之间“双向”的连接关系，例如微信或 QQ 中的“好友关系”；
+- 在无向图中，边表示两顶点之间“双向”的连接关系，例如微信或 QQ 中的“好友关系”；
 - 在有向图中，边是有方向的，即 $A \rightarrow B$ 和 $A \leftarrow B$ 两个方向的边是相互独立的，例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系；
 
 ![directed_graph](graph.assets/directed_graph.png)
 
 根据所有顶点是否连通，分为「连通图 Connected Graph」和「非连通图 Disconnected Graph」。
 
-- 对于连通图，从某个结点出发，可以到达其余任意结点；
-- 对于非连通图，从某个结点出发，至少有一个结点无法到达；
+- 对于连通图，从某个顶点出发，可以到达其余任意顶点；
+- 对于非连通图，从某个顶点出发，至少有一个顶点无法到达；
 
 ![connected_graph](graph.assets/connected_graph.png)
 
@@ -52,6 +52,8 @@ $$
 
 设图的顶点数量为 $n$ ，「邻接矩阵 Adjacency Matrix」使用一个 $n \times n$ 大小的矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，使用 $1$ 或 $0$ 来表示两个顶点之间有边或无边。
 
+如下图所示，记邻接矩阵为 $M$ 、顶点列表为 $V$ ，则矩阵元素 $M[i][j] = 1$ 代表着顶点 $V[i]$ 到顶点 $V[j]$ 之间有边，相反地 $M[i][j] = 0$ 代表两顶点之间无边。
+
 ![adjacency_matrix](graph.assets/adjacency_matrix.png)
 
 邻接矩阵具有以下性质：

docs/chapter_graph/graph_operations.md

@@ -89,7 +89,7 @@ comments: true
 === "Zig"
 
     ```zig title="graph_adjacency_matrix.zig"
-
+    
     ```
 
 ## 9.2.2. 基于邻接表的实现
@@ -119,11 +119,17 @@ comments: true
 
 基于邻接表实现图的代码如下所示。
 
+!!! question "为什么需要使用顶点类 `Vertex` ？"
+
+    如果我们直接通过顶点值来区分不同顶点，那么值重复的顶点将无法被区分。
+    如果建立一个顶点列表，用索引来区分不同顶点，那么假设我们想要删除索引为 `i` 的顶点，则需要遍历整个邻接表，将其中 $> i$ 的索引全部执行 $-1$ ，这样的操作是比较耗时的。
+    因此，通过引入顶点类 `Vertex` ，每个顶点都是唯一的对象，这样在删除操作时就无需改动其余顶点了。
+
 === "Java"
 
     ```java title="graph_adjacency_list.java"
     [class]{Vertex}-[func]{}
-
+    
     [class]{GraphAdjList}-[func]{}
     ```
 
@@ -131,7 +137,7 @@ comments: true
 
     ```cpp title="graph_adjacency_list.cpp"
     [class]{Vertex}-[func]{}
-
+    
     [class]{GraphAdjList}-[func]{}
     ```
 
@@ -139,7 +145,7 @@ comments: true
 
     ```python title="graph_adjacency_list.py"
     [class]{Vertex}-[func]{}
-
+    
     [class]{GraphAdjList}-[func]{}
     ```
 
@@ -147,7 +153,7 @@ comments: true
 
     ```go title="graph_adjacency_list.go"
     [class]{vertex}-[func]{}
-
+    
     [class]{graphAdjList}-[func]{}
     ```
 
@@ -155,7 +161,7 @@ comments: true
 
     ```javascript title="graph_adjacency_list.js"
     [class]{Vertex}-[func]{}
-
+    
     [class]{GraphAdjList}-[func]{}
     ```
 
@@ -163,7 +169,7 @@ comments: true
 
     ```typescript title="graph_adjacency_list.ts"
     [class]{Vertex}-[func]{}
-
+    
     [class]{GraphAdjList}-[func]{}
     ```
 
@@ -171,7 +177,7 @@ comments: true
 
     ```c title="graph_adjacency_list.c"
     [class]{vertex}-[func]{}
-
+    
     [class]{graphAdjList}-[func]{}
     ```
 
@@ -179,7 +185,7 @@ comments: true
 
     ```csharp title="graph_adjacency_list.cs"
     [class]{Vertex}-[func]{}
-
+    
     [class]{GraphAdjList}-[func]{}
     ```
 
@@ -187,7 +193,7 @@ comments: true
 
     ```swift title="graph_adjacency_list.swift"
     [class]{Vertex}-[func]{}
-
+    
     [class]{GraphAdjList}-[func]{}
     ```
 
@@ -195,7 +201,7 @@ comments: true
 
     ```zig title="graph_adjacency_list.zig"
     [class]{Vertex}-[func]{}
-
+    
     [class]{GraphAdjList}-[func]{}
     ```
 

docs/chapter_graph/graph_traversal.md

@@ -4,28 +4,255 @@ comments: true
 
 # 图的遍历
 
-与遍历树类似，遍历图也需要通过搜索算法来实现，并也可根据遍历顺序来分为「广度优先遍历 Breadth-First Traversal」和「深度优先遍历 Depth-First Travsersal」，简称分别为 BFS 和 DFS 。
+!!! note "图与树的关系"
 
-!!! tip 「树」与「图」的关系
+    树代表的是“一对多”的关系，而图则自由度更高，可以代表任意“多对多”关系。本质上，**可以把树看作是图的一类特例**。那么显然，树遍历操作也是图遍历操作的一个特例，两者的方法是非常类似的，建议你在学习本章节的过程中将两者融会贯通。
 
-    本质上，可以把树看作是图的一种特例，即树是一种限制条件下的图。
+「图」与「树」都是非线性数据结构，都需要使用「搜索算法」来实现遍历操作。
+
+类似地，图的遍历方式也分为两种，即「广度优先遍历 Breadth-First Traversal」和「深度优先遍历 Depth-First Travsersal」，也称「广度优先搜索 Breadth-First Search」和「深度优先搜索 Depth-First Search」，简称为 BFS 和 DFS 。
 
 ## 广度优先遍历
 
-广度优先遍历（BFS）代表一种优先遍历最近的顶点、一层层向外扩张的遍历方式。具体来看，从某个顶点出发，则优先遍历该顶点的所有邻接顶点，随后遍历下个顶点的所有邻接顶点，以此类推……
+**广度优先遍历优是一种由近及远的遍历方式，从距离最近的顶点开始访问，并一层层向外扩张**。具体地，从某个顶点出发，先遍历该顶点的所有邻接顶点，随后遍历下个顶点的所有邻接顶点，以此类推……
 
-（图）
+![graph_bfs](graph_traversal.assets/graph_bfs.png)
 
-BFS 常借助「队列」来实现，队列具有“先入先出”的性质，这与 BFS 的“由近及远”的遍历方式是异曲同工的。具体地，在每轮迭代中弹出队首顶点且访问之，并将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部，直到所有顶点访问完成即可。
+### 算法实现
 
-为了防止重复遍历顶点，我们需要借助一个 HashSet 来记录哪些结点已被访问，从而避免走“回头路”。
+BFS 常借助「队列」来实现。队列具有“先入先出”的性质，这与 BFS “由近及远”的思想是异曲同工的。
 
-```java
+1. 将遍历起始顶点 `startVet` 加入队列，并开启循环；
+2. 在循环的每轮迭代中，弹出队首顶点弹出并记录访问，并将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部；
+3. 循环 `2.` ，直到所有顶点访问完成后结束。
 
-```
+为了防止重复遍历顶点，我们需要借助一个哈希表 `visited` 来记录哪些结点已被访问。
 
+=== "Java"
 
+    ```java title="graph_bfs.java"
+    [class]{graph_bfs}-[func]{graphBFS}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="graph_bfs.cpp"
+
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="graph_bfs.py"
+
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="graph_bfs.go"
+
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```javascript title="graph_bfs.js"
+
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="graph_bfs.ts"
+
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="graph_bfs.c"
+
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="graph_bfs.cs"
+
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="graph_bfs.swift"
+
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="graph_bfs.zig"
+
+    ```
+
+代码相对抽象，建议对照以下动画图示来加深理解。
+
+=== "Step 1"
+    ![graph_bfs_step1](graph_traversal.assets/graph_bfs_step1.png)
+
+=== "Step 2"
+    ![graph_bfs_step2](graph_traversal.assets/graph_bfs_step2.png)
+
+=== "Step 3"
+    ![graph_bfs_step3](graph_traversal.assets/graph_bfs_step3.png)
+
+=== "Step 4"
+    ![graph_bfs_step4](graph_traversal.assets/graph_bfs_step4.png)
+
+=== "Step 5"
+    ![graph_bfs_step5](graph_traversal.assets/graph_bfs_step5.png)
+
+=== "Step 6"
+    ![graph_bfs_step6](graph_traversal.assets/graph_bfs_step6.png)
+
+=== "Step 7"
+    ![graph_bfs_step7](graph_traversal.assets/graph_bfs_step7.png)
+
+=== "Step 8"
+    ![graph_bfs_step8](graph_traversal.assets/graph_bfs_step8.png)
+
+=== "Step 9"
+    ![graph_bfs_step9](graph_traversal.assets/graph_bfs_step9.png)
+
+=== "Step 10"
+    ![graph_bfs_step10](graph_traversal.assets/graph_bfs_step10.png)
+
+=== "Step 11"
+    ![graph_bfs_step11](graph_traversal.assets/graph_bfs_step11.png)
+
+!!! question "广度优先遍历的序列是否唯一？"
+
+    不唯一。广度优先遍历只要求“由近及远”，而相同距离的多个顶点的遍历顺序允许任意被打乱。以上图为例，顶点 $1$ , $3$ 的访问顺序可以交换、顶点 $2$ , $4$ , $6$ 的访问顺序也可以任意交换、以此类推……
+
+### 复杂度分析
+
+**时间复杂度：** 所有顶点都会入队、出队一次，使用 $O(|V|)$ 时间；在遍历邻接顶点的过程中，由于是无向图，因此所有边都会被访问 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。
+
+**空间复杂度：** 列表 `res` ，哈希表 `visited` ，队列 `que` 中的顶点数量最多为 $|V|$ ，使用 $O(|V|)$ 空间。
 
 ## 深度优先遍历
 
-深度优先遍历（DFS）代表一种优先走到底，无路可走再回头的遍历方式。从某个顶点出发，首先不断地通过指针向下一个顶点遍历，直到走到头开始回溯，再继续走到底 + 回溯，以此类推……
+**深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式**。具体地，从某个顶点出发，不断地访问当前结点的某个邻接顶点，直到走到尽头时回溯，再继续走到底 + 回溯，以此类推……直至所有顶点遍历完成时结束。
+
+![graph_dfs](graph_traversal.assets/graph_dfs.png)
+
+### 算法实现
+
+这种“走到头 + 回溯”的算法形式一般基于递归来实现。与 BFS 类似，在 DFS 中我们也需要借助一个哈希表 `visited` 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="graph_dfs.java"
+    [class]{graph_dfs}-[func]{dfs}
+
+    [class]{graph_dfs}-[func]{graphDFS}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="graph_dfs.cpp"
+
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="graph_dfs.py"
+
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="graph_dfs.go"
+
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```javascript title="graph_dfs.js"
+
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="graph_dfs.ts"
+
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="graph_dfs.c"
+
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="graph_dfs.cs"
+
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="graph_dfs.swift"
+
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="graph_dfs.zig"
+
+    ```
+
+深度优先遍历的算法流程如下图所示，其中
+
+- **直虚线代表向下递推**，代表开启了一个新的递归方法来访问新顶点；
+- **曲虚线代表向上回溯**，代表此递归方法已经返回，回溯到了开启此递归方法的位置；
+
+为了加深理解，请你将图示与代码结合起来，在脑中（或者用笔画下来）模拟整个 DFS 过程，包括每个递归方法何时开启、何时返回。
+
+=== "Step 1"
+    ![graph_dfs_step1](graph_traversal.assets/graph_dfs_step1.png)
+
+=== "Step 2"
+    ![graph_dfs_step2](graph_traversal.assets/graph_dfs_step2.png)
+
+=== "Step 3"
+    ![graph_dfs_step3](graph_traversal.assets/graph_dfs_step3.png)
+
+=== "Step 4"
+    ![graph_dfs_step4](graph_traversal.assets/graph_dfs_step4.png)
+
+=== "Step 5"
+    ![graph_dfs_step5](graph_traversal.assets/graph_dfs_step5.png)
+
+=== "Step 6"
+    ![graph_dfs_step6](graph_traversal.assets/graph_dfs_step6.png)
+
+=== "Step 7"
+    ![graph_dfs_step7](graph_traversal.assets/graph_dfs_step7.png)
+
+=== "Step 8"
+    ![graph_dfs_step8](graph_traversal.assets/graph_dfs_step8.png)
+
+=== "Step 9"
+    ![graph_dfs_step9](graph_traversal.assets/graph_dfs_step9.png)
+
+=== "Step 10"
+    ![graph_dfs_step10](graph_traversal.assets/graph_dfs_step10.png)
+
+=== "Step 11"
+    ![graph_dfs_step11](graph_traversal.assets/graph_dfs_step11.png)
+
+!!! question "深度优先遍历的序列是否唯一？"
+
+    与广度优先遍历类似，深度优先遍历序列的顺序也不是唯一的。给定某顶点，先往哪个方向探索都行，都是深度优先遍历。
+    
+    以树的遍历为例，“根 $\rightarrow$ 左 $\rightarrow$ 右”、“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”、“左 $\rightarrow$ 右 $\rightarrow$ 根”分别对应前序、中序、后序遍历，体现三种不同的遍历优先级，而三者都属于深度优先遍历。
+
+### 复杂度分析
+
+**时间复杂度：** 所有顶点都被访问一次；所有边都被访问了 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。
+
+**空间复杂度：** 列表 `res` ，哈希表 `visited` 顶点数量最多为 $|V|$ ，递归深度最大为 $|V|$ ，因此使用 $O(|V|)$ 空间。